Permutari, matrici, determinanti

Permutãri, matrici, determinanti

XV.1. Permutãri

Definitie XV.1.1. Fie A=, j se numeste permutare de gradul n daacã j:A A si j bijectivã.

j =

S_n - multimea permutãrilor de grad n; card S_n = n!

1_A = e, permutarea identicã e =

Compunerea permutãrilor

Fie s,t S_n atunci sot = S_n

Transpozitii

Definitia XV.1.2. Fie i,j A, i j, t_ij S_n, t_ij se numeste transpozitie dacã:

Observatii: 1. (t_ij)^-1 = t_ij;

2. Numãrul transpozitiilor de grad n este

Signatura (semnul) unei permutãri

Definitia XV.1.3. Fie (i,j) AxA, i<j, (i,j) se numeste inversiune a lui j dacã j(j)<j(i), m(j) numãrul inversiunilor lui j: ;

e(j) = (-1)^m(j) se numeste signatura lui j.

Observatii: 1. Permutarea j se numeste parã dacã e(j) = 1, respectiv imparã dacã e(j) = - 1;

2. Orice transpozitie este imparã;

3. ;

4. e j os) = e(j)e(s).

XV.2. Matrici

Definitia XV.2.1. Fie M = si N = . O aplicatie A:MxN C A(i,j)=a_ij se numeste matrice de tipul (m,n): cu m linii si n coloane:

si notãm M_m,n(C) multimea matricelor de tipul (m,n) cu elemente numere complexe.

Definitia XV.2.2. Dacã m=n atunci matricea se numeste pãtraticã de ordinul n, iar multimea lor se noteazã M_n(C).

Definitia XV.2.3. Douã matrici A,B M_m,n(C) sunt egale dacã si numai dacã a_ij = b_ij "(i,j) MxN.

Operatii cu matrici:

Adunarea

Fie A,B M_m,n(C) atunci C = A + B M_m,n(C) unde c_ij=a_ij + b_ij " (i,j) MxN este suma lor.

Proprietãti "A,B,C M_m,n(C):

A+B = B+A (comutativitate);

(A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate);

A+0 = 0+A = A (elementul neutru este matricea nula 0);

A+(-A) = (-A)+A = 0 (opusul lui A este -A).

Înmultirea cu scalari

Fie A M_m,n(C) si l C atunci B=lA M_m,n(C) unde b_ij=l_ij "(i,j) MxN este produsul matricei A cu scalarul l.

Proprietãti "A,B M_m,n(C) si lm C.

1 A = A;

l A = A l;

l(A+B) = lA + lB;

(l+m)A = lA + mA;

l(mA) = (lm)A = m (lA).

Transpusa unei matrici

Fie A M_m,n(C) atunci ^tA M_m,n(C) unde ^ta_ij = a_ji, "(i,j) MxN

Înmultirea matricelor

Fie A M_m,n(C) si B M_n,p(C) atunci C=A B M_m,p(C) unde , "(i,j) MxN este produsul lor

Proprietãti:

(A B) C = A (B C) (asociativitate);

A I_n = I_n A (element neutru-matricea unitate)

(A+B) C = A C + B C;

A (B+C) = A B + A C.

XV.3. Determinanti

Fie M_n(C) - multimea matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din C:

, A M_n(C)

Definitia XV.3.1. Se numeste determinantul matricii A, numãrul

det A =

det A =

det A = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + . + a_inA_in unde A_ij este complementul algebric al elementului a_ij din matricea A:

A_ij = (-1)^i+j

Dacã C = AB, atunci det C = det A det B (A,B,C M_n(C))

Determinantul de ordinul 2:

Determinantul de ordinul 3:

XV.4. Inversa unei matrici

Fie A M_n(C), dacã det A 0 existã A^-1 M_n(C) astfel încât AA^-1 = I_n, I_n M_n(C), I_n - matricea unitate: