Definitie XV.1.1. Fie A=, j se numeste permutare de gradul n daacă j:A A si j bijectivă.
j =
Sn - multimea permutărilor de grad n; card Sn = n!
1A = e, permutarea identică e =
Compunerea permutărilor
Fie s,t Sn atunci sot = Sn
Transpozitii
Definitia XV.1.2. Fie i,j A, i j, tij Sn, tij se numeste transpozitie dacă:
Observatii: 1. (tij)-1 = tij;
2. Numărul transpozitiilor de grad n este
Signatura (semnul) unei permutări
Definitia XV.1.3. Fie (i,j) AxA, i<j, (i,j) se numeste inversiune a lui j dacă j(j)<j(i), m(j) numărul inversiunilor lui j: ;
e(j) = (-1)m(j) se numeste signatura lui j.
Observatii: 1. Permutarea j se numeste pară dacă e(j) = 1, respectiv impară dacă e(j) = - 1;
2. Orice transpozitie este impară;
3. ;
4. e j os) = e(j)e(s).
Definitia XV.2.1. Fie M = si N = . O aplicatie A:MxN C A(i,j)=aij se numeste matrice de tipul (m,n): cu m linii si n coloane:
si notăm Mm,n(C) multimea matricelor de tipul (m,n) cu elemente numere complexe.
Definitia XV.2.2. Dacă m=n atunci matricea se numeste pătratică de ordinul n, iar multimea lor se notează Mn(C).
Definitia XV.2.3. Două matrici A,B Mm,n(C) sunt egale dacă si numai dacă aij = bij "(i,j) MxN.
Operatii cu matrici:
Adunarea
Fie A,B Mm,n(C) atunci C = A + B Mm,n(C) unde cij=aij + bij " (i,j) MxN este suma lor.
Proprietăti "A,B,C Mm,n(C):
A+B = B+A (comutativitate);
(A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate);
A+0 = 0+A = A (elementul neutru este matricea nula 0);
A+(-A) = (-A)+A = 0 (opusul lui A este -A).
Înmultirea cu scalari
Fie A Mm,n(C) si l C atunci B=lA Mm,n(C) unde bij=lij "(i,j) MxN este produsul matricei A cu scalarul l.
Proprietăti "A,B Mm,n(C) si lm C.
1 A = A;
l A = A l;
l(A+B) = lA + lB;
(l+m)A = lA + mA;
l(mA) = (lm)A = m (lA).
Transpusa unei matrici
Fie A Mm,n(C) atunci tA Mm,n(C) unde taij = aji, "(i,j) MxN
Înmultirea matricelor
Fie A Mm,n(C) si B Mn,p(C) atunci C=A B Mm,p(C) unde , "(i,j) MxN este produsul lor
Proprietăti:
(A B) C = A (B C) (asociativitate);
A In = In A (element neutru-matricea unitate)
(A+B) C = A C + B C;
A (B+C) = A B + A C.
Fie Mn(C) - multimea matricilor pătrate de ordin n cu elemente din C:
, A Mn(C)
Definitia XV.3.1. Se numeste determinantul matricii A, numărul
det A =
det A =
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . + ainAin unde Aij este complementul algebric al elementului aij din matricea A:
Aij = (-1)i+j
Dacă C = AB, atunci det C = det A det B (A,B,C Mn(C))
Determinantul de ordinul 2:
Determinantul de ordinul 3:
Fie A Mn(C), dacă det A 0 există A-1 Mn(C) astfel încât AA-1 = In, In Mn(C), In - matricea unitate:
|