Polinomul Taylor asociat unei functii
5.1 Consideram functia si
,
oarecare, dar fixat. Presupunem ca functia
este
de clasa
intr-o vecinatate
.
Atunci polinomul (functia polinomiala)
,
. (1)
se
numeste polinomul asociat functiei
in
punctul
.
De exemplu, daca este un polinom de gradul
si
este functia polinomiala asociata, atunci polinomul Taylor asociat functiei
are gradul
si reprezinta dezvoltarea functiei
dupa puterile lui
.
Avem
.
(2)
Vom observa ca si
.
Formula lui Taylor in care dezvoltarea se face dupa
puterile lui (
),
adica are loc reprezentarea
,
(3)
este numita formula lui MacLaurin .
In particular, consideram polinomul .
Se cere sa se dezvolte dupa puterile lui
.
Fie
,
,
functia polinomiala asociata lui
.
Avem
;
Polinomul Taylor de gradul al treilea asociat functiei
polinomiale are forma
.
(4)
Exercitii
Fie .
Sa se dezvolte dupa puterile lui
.
Sa se scrie polinomul ,
in punctul
.
Sa se scrie polinomul ,
in
.
Fie .
Sa se scrie polinomul
asociat functiei
in
.
Sa se scrie
polinomul asociat functiei
,
in punctul
.
Sa se calculeze si
stiind ca
este functie polinomiala de gradul al patrulea
determinata de conditiile:
;
;
si
.
5.2. Formula
lui Taylor pentru functii de o variabila reala. Fie un interval inchis, nedegenerat din
si functia
care verifica conditiile:
1). (exista derivatele pana la ordinul
inclusiv si acestea 747b16h sunt functii continue pe
);
exista (derivata de ordinul
a lui
),
finita sau infinita, in orice punct din
;
Atunci exista astfel incat
, (5)
unde
reprezinta restul care se obtine, in punctul
,
cand inlocuim valoarea
cu valoarea
a polinomului
asociat lui
.
Mai mult, restul poate fi scris sub una din formele:
a). restul sub forma lui Lagrange,
. (6)
b). restul sub forma lui Cauchy,
(7)
c). restul sub forma integrala,
. (8)
Demonstratie. Alegem restul sub forma ,
unde
este o constanta care depinde de alegerea lui
,
iar
oarecare. Atunci problema se reduce la
determinarea constantei
a.i.
.
Consideram functia ,
definita pentru orice
prin relatia
.
Vom observa ca functia este continua pe
deoarece functia initiala
a fost presupusa de clasa
pe
.
In plus, pentru
din formula (
)
obtinem
si pentru
deducem
.
Functia
este derivabila pe intervalul deschis
deoarece
a fost presupusa de clasa
pe
.
In consecinta, functia
satisface conditiile teoremei lui Rolle pe
intervalul
.
Asadar, exista un punct
,
a.i.
.
Alegem
cu
.
Avem
Dupa reducerea termenilor asemenea, rezulta
Deoarece ,
din ultima relatie, pentru
,
obtinem
Deci, si atunci gasim urmatoarea expresie a restului
, cu
. (9)
Vom observa ca restul obtinut depinde de ,
unde
este un numar natural oarecare.
Daca alegem atunci, din ultima relatie, obtinem restul sub forma lui Lagrange (6), iar
pentru
obtinem restul
sub forma lui Cauchy (7).
5.3. Observatie.
Presupunand ca ,
atunci restul sub forma lui Lagrange devine
unde
, cand
.
Aici
am folosit faptul ca este functie continua pe
si atunci
, cand
.
In consecinta, daca atunci
,
cand
. (10)
Formula (10) este cunoscuta sub numele
de formula lui Taylor corespunzatoare functiei
in
punctul
cu restul sub forma lui Peano .
In continuare vom arata ca restul formulei lui Taylor poate fi scris sub forma integrala (8), adica are loc formula
.
Pentra aceasta folosim inductia matematica dupa natural.
Pentru putem scrie relatia
, care evident, arata ca formula lui Taylor este
adevarata cand
.
Presupunem ca formula este
adevarata pentru
,
atunci putem scrie
.
Integrand prin parti expresia restului, obtinem
Asadar, avem
,
de unde deducem ca
formula ramane adevarata si pentru pasul ,
deci relatia
este adevarata pentru orice
.
5.4.
Observatie. Formula lui Taylor ramane
adevarata daca ,
un interval nedegenerat si
este de
derivabila
intr-un punct
deoarece prin aceasta conditie intelegem ca
este de
derivabila
intr-o vecinatate
a punctului
si
si exista derivata de ordinul
a lui
in
.
5.5. Observatie. Formula lui Taylor cu restul sub forma integrala are numeroase aplicatii. De exemplu, in cazul functiilor suficient de netede, aceasta formula serveste la evaluarea restului in formulele de cuadratura numerica (integrare numerica).
5.6. Aplicatii ale formulei lui Taylor la dezvoltarea unor functii elementare.
Fie .
Deoarece
putem scrie
unde .
In consecinta, formula lui Taylor scrisa dupa puterile
lui (dezvoltarea are loc in jurul punctului
),
corespunzatoare functiei
,
cu restul lui Lagrange se scrie
, (11)
unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia
. (12)
Mai mult, au loc extimarile:
a) pentru orice ,
avem
.
b) pentru orice ,
avem
.
Fie ,
.
In acest caz
si avem
,
In consecinta, formula lui Taylor dupa puterile lui (in polinomul Taylor apar numai puterile pare
ale lui
)
poate fi scrisa astfel
, (13)
unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia
. (14)
Putem scrie extimarea.
Fie ,
.
Atunci
si avem
,
Atunci putem scrie formula lui Taylor dupa puterile lui
(in dezvoltare apar numai puterile impare ale lui
)
, (15)
unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia
. (16)
Din formula (16) deducem evaluarea.
Fie .
Atunci
si pentru orice
,
avem
Atunci formula lui Taylor dupa puterile lui ,
devine
, (17)
unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia
. (18)
Daca din formula (18) obtinem
.
Daca
atunci nu putem trage concluzii despre modul
cum restul tinde catre zero deoarece alegerea lui
depinde atat de
cat si de
.
Folosind restul sub forma lui Cauchy,
, (19)
pe baza inegalitatilor ,
respectiv
,
putem scrie evaluarea
.
Daca
,
atunci formula lui Taylor poate fi scrisa dar restul nu tinde catre zero cand
.
5.7. Observatie.
Daca in formula (17) schimbam cu
si cerem ca
,
atunci obtinem dezvoltarea functiei
dupa puterile lui
:
, (17')
Fie functia .
a)
Analizam
cazul cand .
Atunci functia
este bine definita pentru orice
si admite
derivate de orice ordin pe
.
Cum derivata de ordinul
a lui
este identic nula, deducem ca
si avem
Atunci pentru dezvoltarea functiei folosim binomul lui Newton
,
pentru orice
, (20)
unde ,
reprezinta combinari de
elemente luate cate
,
.
b)
Pentru cazul
cand nu este numar natural, atunci functia
este bine definita,
impreuna cu toate derivatele sale de orice ordin,
pentru orice .
Asadar, pentru
putem scrie formulele
si formula lui Taylor, scrisa in jurul punctului ,
devine
, (7.21)
unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia
. (22)
Daca si
atunci restul tinde la zero cand
.
In cazul cand
,
folosind restul sub forma lui Cauchy
, (23)
deducem ca restul
tinde la zero cand .
Pentru
restul nu tinde catre zero cand
.
Serii Taylor
5.8. Fie functia si
,
oarecare, dar fixat. Presupunem ca functia
este indefinit derivabila intr-o vecinatate
(adica, functia
admite derivate de orice ordin intr-o
vecinatatea a punctului
).
Atunci putem scrie formal seria Taylor
asociata functiei
in
punctul
,
. (1)
sau
seria de puteri a lui dupa puterile lui
.
Pentru valori fixate ale lui
si
seria poate fi convergenta sau divergenta. In
cazul cand seria Taylor asociata functiei
este convergenta atunci suma seriei este egala cu
.
Seria Taylor este convergenta catre functia daca si numai daca restul
,
al formulei lui Taylor
,
, (2)
tinde la zero cand .
Altfel spus, daca
,
atunci din (2) rezulta ca sirul sumelor partiale
(3)
converge uniform catre pentru orice
si reciproc (vezi, siruri de functii).
In acest caz vom spune ca seria Taylor este convergenta avand suma egala cu si scriem
. (4)
5.9. Observatie. Toate functiile analizate in
exemplele sunt dezvoltabile in serie Taylor dupa
puterile lui
(dezvoltabile in serie de puteri in jurul
punctului
)
si avem:
. (5)
. (6)
. (7)
. (8)
,
. (9)
Exercitiul 1. Sa se dezvolte in serie Taylor in jurul punctului functia
.
Indicatie. Fie .
Pentru calculul derivatelor de ordin superior ale lui
se poate folosi
identitatea: .
Deducem ca
si
,
In consecinta, obtinem seria Taylor
5.10. Formula lui Taylor poate fi utilizata la
calculul "elegant" al unor limite de
functii, in cazurile de nedeterminare de tipul etc..
Exemple: 1). .
.
.
Calculati integrala cu o precizie mai mica decat
.
Avem
.
Calculati limitele: (i). (ii).
.
(iii). ; (iv).
.
5.11. Observatie.
Exista functii de clasa pe
care nu sunt dezvoltabile in serie Taylor.
De exemplu, functia ,
definita prin
unde
sunt polinoame,
,
este de clasa
pe
,
insa nu este dezvoltabila in serie Taylor in jurul punctului
.
Demonstratie. Aratam ca este
functie continua pe
.
Intr-adevar, prin definitie, functia
este continua pentru
.
In punctul
putem scrie
si
.
Deci este continua pe
si
.
Aratam ca si
Intr-adevar, pentru
avem
unde sunt polinoame,
si
.
Daca atunci
.
Asadar, derivata in
exista si este egala cu zero. Rezulta ca
este diferentiabila pe
si derivata
are aceeasi forma cu
.
Prin recurenta deducem ca
este diferentiabila si are aceeasi forma cu
,
deci
si avem
.
Analog
se arata ca functia este de clasa
pe
si nu este dezvoltabila in serie Taylor in
jurul punctului
.
Extreme libere. Maxime si minime relative
5.12. Definitie. Fie un spatiu metric si
.
Punctul
se numeste punct de maxim relativ pentru
(sau, functia
are in punctul
un maxim
relativ) daca si numai daca exista o vecinatate
,
a.i.
.
In aceleasi conditii ca mai sus, punctul se numeste punct de minim relativ pentru
(sau, functia
are in punctul
un minim
relativ) daca si numai daca exista o vecinatate
,
a.i.
.
Daca
proprietatile din definitie au loc pentru orice ,
atunci punctul
se numeste extrem
absolut (global) care poate fi un
maxim absolut, respectiv un minim absolut.
5.13. Teorema
lui Fermat . Fie un interval deschis si
,
.
Daca
este punct de extrem local pentru
(maxim sau minim local) si
este diferentiabila in
,
atunci
.
Demonstratie. Vom presupune ca este punct de maxim local. Atunci exista o
vecinatate
in
,
a.i.
pentru orice
.
Deoarece
este diferentiabila in
,
rezulta ca exista
si deci,
si
.
Cum si
atunci, datorita
egalitatii anterioare, deducem .
5.14.
Observatie. Conditia este o conditie necesara ca
sa fie un punct
de extrem local, dar in general nu este si suficienta. De exemplu, fie
functia
.
Atunci
derivabila pe
si
desi
nu este punct de extrem local.
5.15. Teorema. Fie si
.
Presupunem ca exista intervalul
a.i.
,
diferentiabila pe
si
iar
.
Atunci
este punct de maxim local pentru
.
(Enuntati
teorema in cazul cand punctul este minim
local).
Demonstratie. Deoarece pe
,
atunci
.
Din relatia
pe
,
rezulta ca
.
In concluzie, avem care arata ca
este un maxim local pentru
.
5.16. Teorema
lui Cauchy. Fie un interval oarecare (nu se precizeaza natura intervalului),
si
,
avand proprietatile:
i)
functiile sunt diferentiabile in
;
ii)
iii)
atunci exista
o vecinatate ,
continuta
in
,
a.i.
si avem
Demonstratie. Fie si
(in cazul cand
,
atunci luam
).
Daca
si
,
atunci putem scrie
,
deci exista o vecinatate
a lui
continuta in
a.i. pentru orice
sa avem
.
Cum
,
rezulta ca
.
Avem
Exemplu. Consideram functile si
.
Atunci ,
este functie diferentiabila pe
si
,
iar
este diferentiabila in
si
.
Asadar, conditiile teoremei lui Cauchy sunt verificate si avem
5.17. Lema. Fie un interval oarecare (nu se precizeaza natura
intervalului),
,
o functie de
diferentiabila in
,
.
Atunci exista
a.i. functia
este continua in
,
si sa avem egalitatea:
, (9.1)
pentru orice .
Demonstratie. Definim functia
Aratam ca este functie continua in
,
adica
.
Pentru avem
.
Aplicand teorema lui Cauchy, deducem, pentru
,
ca
.
Pentru avem
.
Se verifica, relativ usor, ca functiile care apar in
acest raport satisfac conditiile teoremei lui l'Hospital si deci, exista limita
si avem
.
Pentru calculul acestei limite vom observa ca sunt indeplinite conditiile teoremei lui Cauchy. Atunci, deducem
In cazul general, aplicand de teorema lui l´Hospital, deducem
Apoi, aplicand teorema lui Cauchy, obtinem ,
deci functia
este continua in
.
5.18. Teorema. Fie un interval deschis,
,
o functie
de
diferentiabila
in
,
si
,
iar
.
Atunci
1). Daca este numar par, atunci
este punct de extrem local pentru
si avem:
i). daca ,
atunci
este punct
de maxim local;
ii). daca ,
atunci
este punct
de minim local.
2). Daca este numar impar si
,
atunci
nu este punct de extrem local pentru
.
Demonstratie. Conform lemei, exista ,
functie continua in
,
,
a.i.
oricare ar fi
.
Consideram functia ,
.
Din felul cum a fost definita functia
este continua in
si
.
Presupunem
,
atunci exista o vecinatate
care este continuta in
,
a.i.
.
Fie numar par. Atunci
,
deci
pentru orice
si
este punct de minim local pentru
.
Fie numar impar. Deoarece s-a admis ca
,
atunci avem
si din relatia
,
rezulta ca diferenta
nu pastreaza semn constant. In adevar,
deoarece
pentru
putem considera situatia
si atunci avem
,
iar pentru
si
,
avem
.
Exerctiul 1. Aratati ca functia are un minim local in punctul
.
Solutie. Determinam punctele
critice ale lui (acestea
sunt radacinile ecuatiei
).
Avem
si deci,
este singurul punct critic. Incercam sa vedem,
cu ajutorul derivatei de ordinul al doilea, daca acest punct critic este un
extrem local. Avem
si deci
.
In acest caz nu putem preciza natura punctului critic si de aceea, studiem semnul derivatei de ordin
minim, care nu se anuleaza in acest punct. Asadar, calculam derivatele de ordin
superior. Obtinem
.
Prin urmare, in punctul critic
avem:
si
,
deci, punctul
critic este un punct de minim local.
Exerctiul 2. Determinati punctele de extrem local si valorile extreme ale functiei
Solutie. Punctele critice ale lui sunt radacinile ecuatiei
.
Avem
.
Deci,
si
sunt singurele puncte critice. Fie
.
Deoarece
rezulta ca
este punct de minim local si valoarea minima a
lui
este
.
In punctul critic
avem
si nu putem decide natura acestui punct
critic. Observam ca
,
deci punctul
nu este extrem local. Acesta este punct de
inflexiune (vezi fig. 1)
Figura 1.
Brook Taylor (1685-1731), matematician englez, membru al Royal Society din Londra. In lucrarea "Methodus incrementorum directa et inversa" (1715), expune metoda dezvoltarii in serie a unei functii. A pus, pentru prima data, problema coardei vibrante, de la care ulterior Fourier a ajuns la seriile trigonometrice.
Colin MacLaurin (1698-1746), matematician scotian. Numele sau este legat de calculul infinitesimal si in special de dezvoltarea functilor in serii de puteri.
Aceasta expresie se numeste restul sub forma lui Schlömilch . Schlömilch O.X. (1823-1901), matematician german.
Giuseppe Peano (1858-1932), logician si matematician italian. Profesor la Academia regala de artilerie si geniu si la Universitatea din Torino. In lucrarile sale a dat o prezentare axiomatica si deductiva a aritmeticii, geometriei proiective, teoriei multimilor etc.. Considera primul exemplu de curba continua, in sensul lui Jordan, care trece prin toate punctele interioare unui patrat.
Pierre Fermat (1601-1665), matematician
francez (autodidact). A facut studii de drept, a fost Consilier al
Parlamentului din Toulouse. Creator al geometriei analitice (ca si Descartes)
si al calculului probabilitatilor (alaturi de Pascal). A enuntat in 1637
formula celebra: ecuatia nu are solutii intregi
pentru
(cunoscuta sub numele
de " Marea Teorema a lui Fermat"). Demonstratia acestei celebre teoreme a fost
data in 1995 de matematicianul englez Andrew Wiles, profesor la Universitatea
din Princeton.
|