Prezentarea lucrarii - ecuatii diofantiene

Prezentarea lucrarii - ecuatii diofantiene

Matematica alaturi de celelalte discipline de învatamânt contribuie la spiritul stiintific caracterizat prin: precizie, rigoare, corectitudine, operativitate, eficienta, spirit constructiv, dinamism, pronfunzime.

Denumirea provine de la numele matematicianului grec Diofant (325-409), care a locuit în Alexandria în secolul al III-lea. Cu toate ca epoca în care Diofant a trait este în linii mari cunoscuta, este extrem de greu de specificat perioada exacta în care el a trait.

Daca nu se cunoaste mult despre viata lui Diofant, nu acelasi lucru se poate spune despre opera lui, " Aritmetica ". Diofant a folosit abreviatii atât pentru puterile numerelor cât si pentru relatii si operatii. Acest lucru arata in mod clar ca " Aritmetica " apartine celui de-al doilea st 343b13d adiu de dezvoltare a algebrei. Înainte de Diofant, abrevierile pentru puteri, relatii si operatii nu au fost folosite. Introducând aceste prescurtari, Diofant si-a ridicat opera deasupra standardului calitativ al epocii alexandriene.

" Aritmetica " este o colectie de 150 de probleme cu solutii aproximative ale unor ecuatii determinate de grad cel mult trei si continând totodata ecuatii nedeterminate. Acestea din urma sunt legate de teoria numerelor.

În continuare am definit ecuatia diofantiana ca fiind o ecuatie de forma

Unde este o functie de variabile si . Daca este polinomiala cu coeficienti întregi, (1) poarta numele de ecuatie diofantiana algebrica.

În zilele noastre ecuatiile diofantiene au aplicatii în teoria grupurilor finite, în informatica, în tehnica si în stiinta.

Lucrarea de fata cuprinde 7 capitole.

Primul capitol, intitulat Notiuni preliminare, este consacrat prezentarii notiunilor necesare în elaborarea temei lucrarii : multimea numerelor naturale, multimea numerelor întregi, divizibilitatea numerelor, numere prime.

În acest capitol am definit: un numar divizibil, cel mai mic multiplu comun si cel mai mare divizor comun al numerelor intregi, un numar congruent, un numar prim, un numar compus si am enuntat teorema fundamentala a aritmeticii, care spune ca " Orice numar natural poate fi descompus în mod unic, abstractie facând de ordinea factorilor, în produs de numere prime

În al doilea capitol, având ca titlu Ecuatii diofantiene, prezentam notiunea de ecuatie diofantiana si problemele relative la ecuatiile diofantiene.

Rezolvarea ecuatiilor n numere ntregi este unul din cele mai importante capitole din teoria numerelor, având multe aplicatii teoretice si practice.

Chestiunile care se pun n legatura cu rezolvarea ecuatiilor diofantiene se pot grupa n trei probleme:

Stabilirea faptului daca ecuatia diofantiana are cel putin o solutie;

Precizarea daca ecuatia diofantiana are un numar finit sau infinit de solutii;

Gasirea tuturor solutiilor ecuatiei;

Nu exista metode standard de rezolvare a ecuatiilor diofantiene, de multe ori metoda depinzând de forma ecuatiei. Totusi, putem afirma ca multe din ecuatiile diofantiene se pot rezolva, fie folosind divizibilitatea numerelor naturale ntregi, fie folosind aritmetica modulara, fie apelând la concepte matematice din algebra, geometrie si analiza matematica.

Exista ecuatii diofantice la care raspunsul la toate cele trei probleme este necunoscut.

Sunt ecuatii diofantiene pentru care stim rezolvarea teoretica, dar nerealizabila practic din punct de vedere a calculelor, chiar cu folosirea celor mai puternice calculatoare.

Capitolul trei, cu numele Ecuatii diofantiene liniare, abordeaza ecuatiile diofantiene liniare si problema lui Frobenius relativa la aceste ecuatii.

Am definit o ecuatie diofantiana liniara , ecuatia de forma

, (1)

unde si sunt numere întregi fixate.

Am enuntat si o teorema importanta care spune ca o ecuatie diofantiana liniara (1) admite solutii în numere întregi daca si numai daca , unde d este cel mai mare divizor comun al numerelor si în caz de solvabilitate, solutiile întregi ale ecuatiei (1) se exprima în functie de parametri întregi.

Pentru orice numere naturale cu , definim ca fiind cel mai mare numar natural N pentru care ecuatia

nu este solvabila în numere naturale nenule a lui este cunoscuta sub numele de problema Frobenius a monezilor (Frobenius a fost primul matematician care a pus problema determinarii celei mai mari sume de bani care nu poate fi platita cu monede în valoare de centi).

În urmatorul capitol, intitulat Ecuatia lui Pitagora, în care este prezentata forma ecuatiei lui Pitagora si o generalizare a acesteia, si încercam sa gasim toate solutiile ei.

Am numit ecuatia lui Pitagora ecuatia diofantiana de grad doi cu trei necunoscute

(1).

Se stie ca aceasta ecuatie apare, n particular, n trigonometrie, geometrie si n cazul special , n studiul existentei numerelor irationale.

Am definit notiunile: numere pitagoreice, triunghi pitagoreic, solutie primitiva. În cadrul acestui capitol am enuntat teorema care spune ca:

"Toate solutiile primitive ale ecuatiei lui Pitagora sunt generate prin formulele:

(3),

unde si sunt numere naturale relativ prime ntre ele, si de paritati diferite."

Capitolul cinci, intitulat Ecuatia lui Pell, se ocupa de ecuatiile de tip Pell si abordeaza mai multe metode de gasirea efectiva a unei solutii pentru ecuatia lui Pell.

O ecuatie diofantiana cu importante aplicatii n aproximarea numerelor rationale prin numere rationale este ecuatia diofantiana

(1)

numar natural, numita ecuatia lui Pell.

În continuare am enuntat o teorema care spune ca: " Daca este un numar natural care nu este patratul unui numar natural, atunci ecuatia lui Pell are o infinitate de solutii n numere naturale."

Capitolul sase, numit Ecuatii diofantiene exponentiale, abordeaza ecuatia lui Catalan, teorema lui Moret Blanc, precum si ecuatia lui Euler.

În literatura matematica sunt studiate diferite tipuri de ecuatii diofantiene exponentiale. Ele au multe aplicatii n teoria grupurilor si n informatica.

Ecuatiile diofantiene exponentiale sunt acele ecuatii diofantiene n care cel putin o necunoscuta apare la rezolvarea problemelor de rationalitate sau irationalitate a unor logaritmi, n teoria grupurilor finite, la probleme de teoria codurilor.

Printre cele mai celebre ecuatii de acest tip este ecuatia lui Eugène Catalan. Acesta a emis conjunctura, cu peste 150 ani n urma (in 1842), ca ecuatia

unde sunt numere naturale nenule si diferite de , are doar solutie .

În continuare am elaborat " Ecuatia lui Euler" 

si am aflat ca prin urmare ecuatia lui Euler are solutiile si .

Prin solutia data aici am dorit sa ilustram si utilizarea notiunilor de analiza matematica n rezovarea ecuatiilor diofantiene.

În ultimul capitol, cu titlul Metode elementare de rezolvare a ecuatiilor diofantiene, sunt prezentate câteva metode de rezolvare a ecuatiilor diofantiene, si anume : metoda descompunerii, rezolvarea ecuatiilor diofantiene cu ajutorul inegalitatilor, metoda parametrica, metoda aritmeticii modulare, metoda inductiei matematice, metoda descendentei infinite a lui Fermat (MDIF) si ,în final alte probleme rezolvate cu ecuatii diofantiene.

Metoda descompunerii consta în scrierea ecuatiei (1) sub forma

unde si . Folosind descompunerea în factorii primi ai lui , obtinem un numar finit de descompuneri în factori întregi . Fiecare astfel de descompunere conduce la un sistem de ecuatii de forma

Rezolvând aceste sisteme de ecuatii obtinem multimea de solutii pentru ecuatia considerata.

Rezolvarea ecuatiilor diofantiene cu ajutorul inegalitatilor consta în determinarea unor intervale în care se afla necunoscutele, prin utilizarea unor inegalitati adecvate. În general, acest proces conduce la un numar finit de posibilitati pentru toate necunoscutele sau pentru o parte dintre acestea.

Metoda parametrica: în multe situatii solutiile întregi ale ecuatiei diofantiene (1) pot fi reprezentate parametric sub forma

unde sunt functii de l-variabile, cu valori întregi si .

Pentru unele ecuatii diofantiene multimea solutiilor poate avea mai multe reprezentari parametrice.

În multe cazuri, nu este posibil sa gasim toate solutiile pentru o ecuatie diofantiana. Metoda parametrica este o cale utila de a pune în evidenta familii infinite de solutii.

Metoda aritmeticii modulare: în multe situatii consideratii simple de aritmetica modulara se dovedesc a fi extrem de utile în demonstratia faptului ca anumite ecuatii diofantiene nu sunt solvabile sau în reducerea posibilitatilor de alegere a solutiilor acestora.

Metoda inductiei matematice: inductia matematica este o metoda utila si eleganta în demonstrarea unor afirmatii care depind de multimea numerelor naturale.

Fie un sir de propozitii. Metoda inductiei matematice ne ajuta sa demonstram ca propozitia este adevarata pentru orice , unde este un numar natural fixat.

Inductia matematica (forma slaba): Presupunem ca

- este adevarata;

- Pentru orice , din faptul ca este adevarata rezulta ca este adevarata.

Atunci propozitia este adevarata pentru orice .

Inductia matematica (cu pasul ): Fie un numar natural fixat . Presupunem ca:

sunt adevarate;

- Pentru orice , din faptul ca propozitia este adevarata

rezulta ca este adevarata.

Atunci este adevarata pentru orice .

Inductia matematica (forma tare): Presupunem ca

este adevarata;

- Pentru orice , din faptul ca este adevarata pentru orice m cu , rezulta ca este adevarata.

Atunci este adevarata pentru orice .

Aceasta metoda de demonstratie este frecvent utilizata în diferite discipline matematice, inclusiv în teoria numerelor.

Metoda descendentei infinite a lui Fermat (MDIF): Pierre de Fermat (1601-1665) este renumit pentru contributiile sale în matematica cu toate ca el a fost un matematician amator. Fermat a obtinut diploma în drept civil la universitatea din Orleans în jurul anului 1631 dupa care a activat ca jurist si consilier la Toulouse.

Cercetarile lui Fermat au avut un puternic impact in lumea matematicienilor, descoperirile si metodele sale impunându-se cu repeziciune. El a fost unul dintre primii matematicieni care a utilizat o metoda de demonstratie cunoscuta sub numele de "descendenta infinita".

Fie o proprietate referitoare la numerele naturale nenule si sirul de propozitii:

: " satisface proprietatea "

Aceasta ultima metoda este utila în a demonstra ca propozitia este falsa pentru orice n suficient de mare.

Fie k un numar natural. Se presupune ca:

este falsa;

- daca este adevarata pentru un , atunci exista j, , pentru care este adevarata.

În aceste conditii propozitia este falsa pentru orice .

Acest lucru se întâmpla deoarece daca ar exista pentru care propozitia este adevarata, atunci s-ar putea construi un sir infinit de numere naturale , ceea ce evident nu este posibil.

Doua cazuri particulareale MDIF sunt deosebit de utile în studiul ecuatiilor diofantiene.

MDIF - Varianta 1: " Nu exista un sir infinit strict descrescator de numere naturale "

În unele situatii este convenabil sa înlocuim MDIF- Varianta 1 cu urmatoarea formulare echivalenta: Daca este cel mai mic numar natural n pentru care propozitia este adevarata, atunci este falsa pentru orice .

MDIF - Varianta 2: " Daca sirul de numere naturale satisface inegalitatile , atunci exista un indice astfel încât "

În limbaj metaforic, daca nu putem ajunge la o treapta oarecare a unei scari fara sa urcam mai întâi una dintre treptele inferioare si daca nu avem acces la prima treapta a scarii, atunci nu putem ajunge la niciuna dintre trepte.

În lucarea de fata am exemplificat fiecare metoda.

si în final am dat mai multe exemple cu diverse motode de rezolvare a ecuatiilor diofantiene.