Primitive

Definitie: Fie f:I R, unde I R este un interval. Spunem ca f admite primitiva pe I daca exista o functie F:I R a.ī.

F este derivabila pe I

F (x)=f(x), (")x I

Functia F se numeste primitiva a functiei f.

Propozitie: Fie f:I R, I R. Daca F₁, F₂:I R sunt doua primitive ale lui f pe I atunci exista o constanta c R a.ī. F₂(x)=F₁(x)+c.

Definitie: Daca f:I R admite primitive, mul 636l1119g 55;imea primitivelor lui f se numeste integrala nedefinita a functiei f si se noteaza prin. Operatia de calculare a primitivelor unei functii (care admite primitive) se numeste integrare.

Proprietati

Orice functie continua f:I R admite primitive pe I.

Exemplu: Sa se arate ca f:R R, admite primitive pe R. Sa se determine o astfel de primitiva.

Daca x , f(x)=e^x continua pe R.

Daca x , f(x)=x+1 continua pe R.

Studiem continuitatea īn x=0:

; ; f(0)=1 f continua īn x=0 f continua pe R f admite primitive pe R.

Daca x : =e^x+c₁.

Daca x : =+x+c₂.

Deci F:R R, derivabila īn x=0 F continua īn x=0: c₂=1+c₁ .

F(0)=1+c₁

O functie care admite primitive are proprietatea lui Darboux.

O functie f:I R care nu are proprietatea lui Darboux nu admite primitive pe I.

Daca f:I R si f(I)= nu este interval, atunci f nu admite primitive.

Exemplu: f:R R, f(x)=sgn x (functia semn), , f(R)= nu este interval f nu admite primitive.

5 Exista functii care admit primitive si nu sunt continue.

6 Exista functii care au proprietatea lui Darboux si nu au primitive.

Operatii cu functii care admit primitive

Fie f, g :I R functii care admit primitive pe I si l R*, atunci f+g si lf admit primitive si

si

.

Exemplu: -2=x+x²-x³+c, x R

Integrarea prin parti

Daca f, g:I R sunt functii derivabile cu derivate continue, atunci functiile fg, f'g si fg' admit primitive si are loc egalitatea:

(formula de integrare prin parti).

Exemplu:

=-xcosx+sinx+c.

Prima metoda de schimbare de variabila

Fie I, J intervale din R si j:I J, f:J R functii cu proprietatile

1 j derivabila pe I

2 f admite primitive pe J (fie F o primitiva a sa).

Atunci functia (f j j' admite primitive pe I, iar functia F j este o primitiva a lui (f j j', adica:   =F (j(x))+c.

Integrarea functiilor rationale

a) Primitivele functiilor rationale simple (f:I R, I interval).

=ln x-a +c , I -a,+) sau I -, a)

=, n 2, I a,+) sau I -, a)

=, a

=, a

=

I_n===-=

=

b) Descompunerea functiilor rationale īn functii rationale simple

Teorema: Fie f I R o functie rationala f(x)= (Q(x) ")x I), unde P si Q sunt polinoame prime īntre ele. Presupunem ca descompunerea lui Q īn factori primi are forma:

Q(x)=.

Atunci f se descompune īn mod unic:

f(x)=L(x)++

+

unde L este un polinom cu coeficienti reali, iar a_k, b_k, c_k, A_kⁱ, B_kⁱ , C_kⁱ sunt numere reale,

b_k² 4c_k<0.

Aplicatii

1 Se considera functia f:R R, f(x)=.

a)     Sa se arate ca f admite primitive.

b)    Sa se calculeze o primitiva a functiei f.  (Bacalaureat 1985)

a)     Vom folosi proprietatea: "Orice functie continua pe I admite primitive pe I."

x ,0 f(x)=x^.e^x continua (produs de functii continue)

x (0,+) f(x)= continua pe (0,+).

Studiem continuitatea īn x=0.

f(0)=0^.1=0 f continua īn x=0.

Deci f continua pe R f admite primitive pe R.

b)    x ,0]: --

-+c₁=e^x(x c₁

x (0,+): =

Notam =t x=t², dx=2tdt.

Integrala asociata este : = =2-2 = =2-2=2-2=

=2-2ln(t+1)+c₂=t³-t²+2t-2ln(t+1)+c₂.

O primitiva a functiei f este:

F(x)=

=.

Aceasta functie trebuie sa fie continua:

-1+c₁

c₂=-1+c₁.

F(0)= -1 + c₁

Fie c₁=c si c₂= 1+c. Atunci functia devine:

F(x)= .

Se pot verifica conditiile: a) F derivabila,

b) F'(x)=f(x), (")x.

2 Sa se determine constantele reale a si b astfel īncāt functia F:R R, F(x) =(ax²+b-2)e^-x   sa fie o primitiva a functiei f(x)=x²e^-x.

F este o primitiva a functiei f daca : a) F derivabila pe R

b) F'(x)=f(x), (")x R

F'(x) =[(ax²+bx-2)e^-x ]'=(ax²+bx-2)'e^-x+(ax²+bx-2)(e^-x)'=(2ax+b)e^-x+(ax²+bx-2)(e^-x)=

=e^-x(2ax+b-ax²-bx+2)

F'(x)=f(x), (")x R -ax²+x(2a-b)+b+2=x² -a=1 a=-1

2a-b=0, b+2=0 b=-2 

2(-1)-(-2)=0 (A) a=-1, b= 2, F(x)=(-x²-2x-2)e^-x.

3 Sa se calculeze primitivele functiei f:(1, +) R, f(x)=.

Sa se determine primitiva F cu proprietatea F(e^e-1)=2.

= = =ln ln x+1 +c

F(e^e-1)=ln(ln e^e-1+1)+c=ln[(e-1)ln e+1]+c=ln(e-1+1)+c=ln e+c=1+c.

1+c=2 c=1.

Deci F(x)=ln ln x +1

(Varianta nr.6 Bacalaureat 1998)

4 Fie functia f:R R, f= x-2 e ^x

Sa se arate ca f admite primitive si sa se afle primitiva al carei grafic trece prin origine.

(Subiect propus Bacalaureat 1984)

f(x)=

f(x)=

Daca x (-,0) f(x)=(2-x)e^-x continua (produs de functii continue)

x f(x)= (2-x)e^x continua

x [2,+) f(x)= (x-2)e^x continua.

Studiem continuitatea īn x=0 si x=2.

f(0)=2 f continua īn x=0.

f(2)=0 f continua īn x=2.

Deci f continua pe R f admite primitive pe R.

Daca x (-,0): =-=-(2-x)e^-x

=-(2-x)e^-x =

=-(2-x)^.e^-x e^-x +c₁=e^-x(x-1)+c₁;

x 0, 2): ==(2-x)e^x

=(2-x)^.e^x e^x +c₂= e^x(3-x)+c₂;

x 2, +): ==(x-2) ^.e^x

=(x-2)^.e^-x =(x-2) ^.e^x e^x +c₃=

=e^x(x-3)+c₃.

F(x)= F trebuie sa fie continua īn x=0 si x=2

F(0)=3+c₂

-1+c₁=3+ c₂ c₂= c₁-4.

F(2)= -e²+c₃

e²+c₂= -e²+c₃ c₃= 2e²+c₂= 2e²+c₁-4.

F(x)=

Impunem conditia: graficul lui F trece prin origine F(0)=0

F(0) = 3+c-4 = c-1 c = 1

F(x)= .

Integrarea prin parti

f(x) = xⁿ ln x, x (0,+), n N

==-=-=

=- + c = +c.

f(x) = arcsin x, x

== x^.arcsin x - =

= x^.arcsin x += x^.arcsin x +=

= x^.arcsin x += x^.arcsin x +=

= x^.arcsin x ++ c = x^.arcsin x ++ c

f(x) = ln (x² +1), x R

== x^. ln (x² +1) - =

= x^. ln (x² +1) - = x^. ln (x² +1) - +=

= x^. ln (x² +1) - 2+ 2 arctg x + c.

f(x) = e^{2x .}sin 3x, x R

= = - =

= - = -+ +=- +.

Deci I =--I,

I = -+c

I = +c

I = - + c.

f(x) = , x R

==+ 4=

=+= x^. -+

I = x^. - I + + c

I =+ c.

Schimbarea de variabila

f(x)=, x R

=

x²+1 = t, 2xdx = dt I == + c

= + c = + c.

f(x) = , x

= -

9-x² = t, -2xdx = dt I == + c = + c

= .

3) f(x) =, x (0,+) = ?

ln x = t, = dt I == + c

= + c.

f(x) = sin²x^.cos x, x R

=

sin x = t , cos x dx = dt I == + c =+ c.

5) f(x) = cos³x^.sin x, x R

= -

cos x = t , -sin x dx = dt I == + c =+ c.

6) f(x) = , x

=

x² = t, 2xdx = dt I ==+ c

=+ c.

Integrarea functiilor rationale

1) , x < -1 = +c = ln(-x-1) + c.

2) , x> = =+ c =+ c.

3) , x > 1, ==+ c=+ c

4) , x>

3x+1=t, 3dx=dt I ===+ c

=+ c

5) , x R ==

6) , x R ===

==

===

=

Deci: =

=

7 ; x²+x+1= x²+2==

=

.

8)

==

=

9) , x > 1

=

=.

10) , x < 0

=

11) , x > 0

=

=

Exercitii propuse

Se considera functia f:R, f(x)=. Sa se determine Numerele a, b, c astfel īncāt functia F: R, F(x)=sa fie primitiva a functiei f.

BAC '98 varianta 2

Sa se arate ca functia f:R R, f(x)=admite primitive si sa se determine o astfel de primitiva.

BAC '98 varianta 2

Se considera functia f:R R, f(x)=. Sa se demonstreze ca functia f are primitive pe R si sa se afle o primitiva a sa.

BAC '98 varianta 4

(august)

Fie functia f:R R, f(x)=R. Pentru m=-2 calculati .

Fie functia f:D R, f(x)=, unde D este domeniul maxim de definitie al functiei f. Sa se determine primitivele functiei f pe intervalul (0,2).

Se considera functia f:R R, f(x)=.

Sa se arate ca f admite primitive pe R si sa se calculeze o primitiva a sa.

BAC '84 (iunie)

Fie f:R R, f(x)=, l R

Aflati pentru ce valori ale lui l functia data admite primitive pe R si īn acest caz determinati familia lor.

Sa se arate ca functia f(x)=min, x R admite primitive.

Fie f:R R, f(x)= a, b, c R, a

a)     Sa se studieze continuitatea lui f;

b)    Pentru c=1 sa se determine o primitiva a functiei f pe R.

Fie f:R R, f(x)=.

Sa se determine numerele reale a pentru care f admite primitive pe R si sa se determine aceste primitive.

Fie f: R R, f(x)= , a, b R

Sa se determine a, b astfel īncāt f sa admita primitive pe R.

Fie f: R R, f(x)= ,m, n R

a)     Sa se determine m, n astfel īncāt f sa fie continua pe R;

b)    Sa se determine m, n astfel īncāt f sa fie derivabila pe R;

c)     Cu m, n de la punctul b) sa se determine o primitiva a lui f pe R.