Primitive
Definitie: Fie f:I R, unde I R este un interval. Spunem ca f admite primitiva pe I daca exista o functie F:I R a.ī.
F este derivabila pe I
F (x)=f(x), (")x I
Functia F se numeste primitiva a functiei f.
Propozitie: Fie f:I R, I R. Daca F1, F2:I R sunt doua primitive ale lui f pe I atunci exista o constanta c R a.ī. F2(x)=F1(x)+c.
Definitie: Daca f:I R admite primitive,
mul 636l1119g 55;imea primitivelor lui f se numeste integrala nedefinita a
functiei f si se
noteaza prin. Operatia de calculare a primitivelor unei functii
(care admite primitive) se numeste integrare.
Proprietati
Orice functie continua f:I R admite primitive pe I.
Exemplu: Sa se arate ca f:R R, admite primitive pe R.
Sa se determine o astfel de primitiva.
Daca x , f(x)=ex continua pe R.
Daca x , f(x)=x+1 continua pe R.
Studiem continuitatea īn x=0:
;
; f(0)=1 f continua īn x=0 f continua pe R f admite primitive pe R.
Daca x : =ex+c1.
Daca x : =
+x+c2.
Deci F:R R, derivabila īn
x=0 F continua īn x=0:
c2=1+c1
.
F(0)=1+c1
O functie care admite primitive are proprietatea lui Darboux.
O functie f:I R care nu are proprietatea lui Darboux nu admite primitive pe I.
Daca f:I R si f(I)= nu este interval, atunci f nu admite primitive.
Exemplu: f:R R, f(x)=sgn
x (functia semn), , f(R)= nu este interval f nu admite
primitive.
5 Exista functii care admit primitive si nu sunt continue.
6 Exista functii care au proprietatea lui Darboux si nu au primitive.
Fie f, g :I R functii care admit primitive pe I si l R*, atunci f+g si lf admit primitive si
si
.
Exemplu:
-2
=x+x2-
x3+c, x R
Integrarea prin parti
Daca f, g:I R sunt functii derivabile cu derivate continue, atunci functiile fg, f'g si fg' admit primitive si are loc egalitatea:
(formula de integrare prin parti).
Exemplu:
=-xcosx+sinx+c.
Prima metoda de schimbare de variabila
Fie I, J intervale din R si j:I J, f:J R functii cu proprietatile
1 j derivabila pe I
2 f admite primitive pe J (fie F o primitiva a sa).
Atunci functia
(f j j' admite primitive pe I, iar functia F j este o
primitiva a lui (f j j', adica: =F (j(x))+c.
a) Primitivele functiilor rationale simple (f:I R, I interval).
=ln x-a +c , I -a,+
) sau I -
, a)
=
, n 2, I a,+
) sau I -
, a)
=
, a
=
, a
=
In==
=
-
=
=
b) Descompunerea functiilor rationale īn functii rationale simple
Q(x)=.
Atunci f se descompune īn mod unic:
f(x)=L(x)++
+
unde L este un polinom cu coeficienti reali, iar ak, bk, ck, Aki, Bki , Cki sunt numere reale,
bk2 4ck<0.
Aplicatii
1 Se considera
functia f:R R, f(x)=.
a) Sa se arate ca f admite primitive.
b) Sa se calculeze o primitiva a functiei f. (Bacalaureat 1985)
a) Vom folosi proprietatea: "Orice functie continua pe I admite primitive pe I."
x ,0 f(x)=x.ex continua (produs
de functii continue)
x (0,+) f(x)=
continua pe (0,+
).
Studiem continuitatea īn x=0.
f(0)=0.1=0 f continua īn
x=0.
Deci f continua pe R f admite primitive pe R.
b) x ,0]:
-
-
-
+c1=ex(x c1
x (0,+):
=
Notam
=t x=t2,
dx=2tdt.
Integrala asociata este : =
=2
-2
= =2
-2
=2
-2
=
=2-2ln(t+1)+c2=
t3-t2+2t-2ln(t+1)+c2.
O primitiva a functiei f este:
F(x)=
=.
Aceasta functie trebuie sa fie continua:
-1+c1
c2=-1+c1.
F(0)= -1 + c1
Fie c1=c si c2= 1+c. Atunci functia devine:
F(x)= .
Se pot verifica conditiile: a) F derivabila,
b) F'(x)=f(x), (")x.
2 Sa se determine constantele reale a si b astfel īncāt functia F:R R, F(x) =(ax2+b-2)e-x sa fie o primitiva a functiei f(x)=x2e-x.
F este o primitiva a functiei f daca : a) F derivabila pe R
b) F'(x)=f(x), (")x R
F'(x) =[(ax2+bx-2)e-x ]'=(ax2+bx-2)'e-x+(ax2+bx-2)(e-x)'=(2ax+b)e-x+(ax2+bx-2)(e-x)=
=e-x(2ax+b-ax2-bx+2)
F'(x)=f(x), (")x R -ax2+x(2a-b)+b+2=x2 -a=1 a=-1
2a-b=0, b+2=0 b=-2
2(-1)-(-2)=0 (A) a=-1, b= 2, F(x)=(-x2-2x-2)e-x.
3 Sa se calculeze
primitivele functiei f:(1, +) R, f(x)=
.
Sa se determine primitiva F cu proprietatea F(ee-1)=2.
=
=
=ln ln x+1 +c
F(ee-1)=ln(ln ee-1+1)+c=ln[(e-1)ln e+1]+c=ln(e-1+1)+c=ln e+c=1+c.
1+c=2 c=1.
Deci F(x)=ln ln x +1
(Varianta nr.6 Bacalaureat 1998)
4 Fie functia f:R R, f= x-2 e x
Sa se arate ca f admite primitive si sa se afle primitiva al carei grafic trece prin origine.
(Subiect propus Bacalaureat 1984)
x |
0 2 |
x-2 x |
f(x)=
f(x)=
Daca x (-,0) f(x)=(2-x)e-x continua
(produs de functii continue)
x f(x)= (2-x)ex continua
x [2,+) f(x)= (x-2)ex
continua.
Studiem continuitatea īn x=0 si x=2.
f(0)=2 f continua īn x=0.
f(2)=0 f continua īn x=2.
Deci f continua pe R f admite primitive pe R.
Daca x (-,0):
=-
=-(2-x)e-x
=-(2-x)e-x
=
=-(2-x).e-x e-x +c1=e-x(x-1)+c1;
x 0, 2): =
=(2-x)ex
=(2-x).ex ex +c2=
ex(3-x)+c2;
x 2, +):
=
=(x-2) .ex
=(x-2).e-x
=(x-2) .ex ex +c3=
=ex(x-3)+c3.
F(x)= F trebuie sa fie continua īn x=0 si x=2
F(0)=3+c2
-1+c1=3+ c2 c2= c1-4.
F(2)= -e2+c3
e2+c2= -e2+c3 c3= 2e2+c2= 2e2+c1-4.
F(x)=
Impunem conditia: graficul lui F trece prin origine F(0)=0
F(0) = 3+c-4 = c-1 c = 1
F(x)= .
f(x) = xn ln x, x (0,+), n N
=
=
-
=
-
=
=-
+ c =
+c.
f(x) = arcsin x, x
=
= x.arcsin x -
=
= x.arcsin
x += x.arcsin x +
=
= x.arcsin
x += x.arcsin x +
=
= x.arcsin
x ++ c = x.arcsin x +
+ c
f(x) = ln (x2 +1), x R
=
= x. ln (x2 +1) -
=
= x.
ln (x2 +1) - = x. ln (x2 +1) -
+
=
= x.
ln (x2 +1) - 2+ 2 arctg x + c.
f(x) = e2x .sin 3x, x R
=
=
-
=
= -
=
-
+ +
=
-
+
.
Deci I =-
-
I,
I =
-
+c
I = +c
I = -
+ c.
f(x) = , x R
=
=
+ 4
=
=+
= x.
-
+
I = x.
- I +
+ c
I =+ c.
f(x)=, x R
=
x2+1 = t, 2xdx = dt I ==
+ c
=
+ c =
+ c.
f(x) = , x
= -
9-x2 = t, -2xdx = dt I ==
+ c =
+ c
=
.
3) f(x) =, x (0,+
)
= ?
ln x = t, = dt I =
=
+ c
=
+ c.
f(x) = sin2x.cos x, x R
=
sin x = t , cos x dx = dt I ==
+ c
=
+ c.
5) f(x) = cos3x.sin x, x R
= -
cos x = t , -sin x dx = dt I ==
+ c
=
+ c.
6) f(x)
= , x
=
x2 = t, 2xdx = dt
I ==
+ c
=
+ c.
1) , x < -1
=
+c = ln(-x-1) + c.
2) , x>
=
=
+ c =
+ c.
3) , x > 1,
=
=
+ c=
+ c
4) , x>
3x+1=t, 3dx=dt I ==
=
+ c
=
+ c
5) , x R
=
=
6) , x R
=
=
=
==
=
=
=
=
Deci: =
=
7 ; x2+x+1= x2+2
=
=
=
.
8)
=
=
=
9) , x > 1
=
=.
10) , x < 0
=
11) , x > 0
=
=
Exercitii propuse
Se considera
functia f:R, f(x)=
. Sa se determine Numerele a, b, c astfel īncāt
functia F:
R, F(x)=
sa fie primitiva a functiei f.
BAC '98 varianta 2
Sa se arate
ca functia f:R R, f(x)=admite primitive si sa se determine o astfel de
primitiva.
BAC '98 varianta 2
Se considera
functia f:R R, f(x)=. Sa se demonstreze ca functia f are primitive
pe R si sa se afle o
primitiva a sa.
BAC '98 varianta 4
(august)
Fie functia f:R R, f(x)=R. Pentru m=-2
calculati
.
Fie functia f:D R, f(x)=, unde D este domeniul maxim de definitie al
functiei f. Sa se
determine primitivele functiei f
pe intervalul (0,2).
Se considera
functia f:R R, f(x)=.
Sa se arate ca f admite primitive pe R si sa se calculeze o primitiva a sa.
BAC '84 (iunie)
Fie f:R R, f(x)=, l R
Aflati pentru ce valori ale lui l functia data admite primitive pe R si īn acest caz determinati familia lor.
Sa se arate
ca functia f(x)=min, x R admite primitive.
Fie f:R R, f(x)= a, b, c R, a
a) Sa se studieze continuitatea lui f;
b) Pentru c=1 sa se determine o primitiva a functiei f pe R.
Fie f:R R, f(x)=.
Sa se determine numerele reale a pentru care f admite primitive pe R si sa se determine aceste primitive.
Fie f:
R R, f(x)= , a, b R
Sa se determine a, b astfel īncāt f sa admita primitive pe R.
Fie f:
R R, f(x)= ,m, n R
a) Sa se determine m, n astfel īncāt f sa fie continua pe R;
b) Sa se determine m, n astfel īncāt f sa fie derivabila pe R;
c) Cu m, n de la punctul b) sa se determine o primitiva a lui f pe R.
|