Probleme matematica

3. Fie A, B M₃ (C), A = si B = . Calculati Aⁿ si Bⁿ, pentru n N, n 2.

Solutie. Avem A² = = -I₃, deci A³ = -A, A⁴ = I₃. Rezulta: Aⁿ = . Avem B = 2I₃ + D, unde

D =

Cum 2I₃ comuta cu D, avem

Dar D² = si D³ = O₃, deci D^k = O₃, () k 3. Rezulta

Bⁿ

4. Fie R. Calculati Aⁿ ,

Solutie.

Aratam prin inductie propozitia: P(n):

Pentru n=1 si n=2, propozitia este adevarata. Demonstram ca

Avem:

Conform pricipiului inductiei matematice, propozitia este adevarata pentru orice

Observatie Formula demonstra,

se numeste formula lui Moivre pentru matrice, din cauza analogiei evidente cu formula

5. Calculati A¹⁰⁰   si B¹⁰⁰ unde

Solutie. Aplicam formula lui Moivre pentru matrice.

Cum

obtinem

Analog, deoarece , obtinem: