Proiectul unitatii de învatare - APLICAŢII ALE DERIVATELOR

CONŢINUTURI

COMPETENŢE

SPECIFICE

ACTIVITĂŢI DE ÎNVĂŢARE

RESURSE

EVALUARE

Rolul

derivatei

întâi

În

studiul

functiilor

( intervale

de

monotonie,

puncte

de

extrem)

Teorema : Fie f: IR ( IR, interval), o functie derivabila pe I. Daca :

f' > 0 ( respective f' 0) pe I, atunci f este strict crescatoare (respectiv crescatoare) pe I.

f' < 0 ( respective f' 0) pe I, atunci f este strict descrescatoare ( respectiv descrescatoare) pe I.

Daca f' nu se anuleaza pe I, atunci f este strict monotona pe I (f pastreaza semn constant pe I ).

Observatii.

Daca domeniul de definitie nu este interval, teorema nu mai are loc.

Determinarea intervalelor de monotonie, ale unei functii, se reduce la aflarea intervalelor pe care derivata pastreaza acelasi semn.

Derivata întâi, ne indica monotonia unei functii derivabile si eventualele puncte de extrem.

Punctele de extrem, din interiorul intervalului I ( conform teoremei lui Fermat ) trebuie cautate printre punctele critice

Presupunem f'(x₀) = 0; daca pe I :

a)       pentru x < x₀, f'(x) > 0 si pentru x > x₀, f'(x) < 0, atunci x₀ este punct de maxim al functiei.

b)       pentru x < x₀, f'(x) < 0 si pentru x > x₀, f'(x) > 0, atunci x₀ este punct de minim al functiei.

Comentarii. Pentru determinarea intervalelor de monotonie, ale unei functii derivabile f : DR, se procedeaza astfel

se determina derivate f' pe D.

se rezolva în R, ecuatia f'(x) = 0, xD (se determina punctele critice ).

Se determina intervalele din D, pentru care f pastreaza semn constant.

Se aplica teorema.

Aplicatii. Determinati intervalele de monotonie si eventual punctele de extrem, ale functiilor

f : RR, f(x) = x³ - 3x + 1; 2) f : RR, f(x) = x³ ;

f : [ - 2, 2 ] R, f(x) = ;

f : ( - , - 3 )( 3 , ) R, f(x) = ln ( x² - 9 ).

Manual.

Metode :

explicatia, conversatia, conversatia euristica, demonstratia, exercitiul,

activitati

frontale si individuale.

Tema

Manual, pag.184, ex.1( b, c, d, e) si exercitiile

rezolvate

Observarea sistematica a elevilor; aprecierea

verbala,

chestionarea orala,

aprecierea raspunsurilor primate;

evaluare

în ora

urmatoare

prin

tema

pentru

acasa.

Rolul

derivatei

a doua

În

studiul

functiilor

(intervale

de

convexitate,

concavitate,

puncte

de

inflexiune)

Definitie: Functia f : IR, ( I interval) derivabila pe I, se numeste convexa pe I ( respectiv concava ) pe I, daca tangenta în orice punct la graficul functiei, se afa sub ( respectiv deasupra) graficului functiei.

Teorema 1). Fie f : [ a, b ] R, derivabila de doua ori pe [a,b], a < b. Daca :

f'' 0 pe (a,b), atunci f este convexa pe [a,b].

f'' 0 pe (a,b), atunci f este concava pe [a,b].

Observatie:1) Sunt adevarate si reciprocele.

2) Uneori spunem despre graficul convex, ca tine apa" si despre cel concav, ca "nu tine apa".

Definitie. Fie f : DR si fie x₀ un punct din intervalul ID.

Spunem ca x₀ este punct de inflexiune al functiei f, derivabila în x₀, daca pe I, f este convexa ( respective concava) de o parte a lui x₀ si f este concava ( respectiv convexa) de cealalta parte a lui x₀.

Observatie. Tangenta la graficul functiei, într-un punct de inflectiune,  traverseaza graficul.

Teorema 2 Fie f : DR si fie x₀ D. Daca f este de doua ori derivabila, într-o vecinatate V a lui x₀ si daca a,bV, astfel încât :

a < x₀ <b.

f'' (x₀) = 0.

f'' 0 pe (a,x₀), f'' 0 pe (x₀,b) sau f'' 0 pe (a,x₀), f''0 pe(x₀,b),

atunci x₀ este punct de inflexiune pentru f.

Comentarii.

1) Pentru determinarea intervalelor de convexitate(concavitate), eventual si a punctelor de inflexiune, parcurgem etapele

- calculam f

- rezolvam ecuatia f''(x) = 0.

- cu ajutorul radacinilor ecuatiei f''(x) = 0, se determina intervalele pe care derivata a doua pastreaza semn constant.

- se aplica teoremele 1) si 2

2) Conditia f''(x₀) = 0 (singulara) nu implica faptul ca x₀ este punct de inflexiune; exemplu : f : RR, f(x) = 2x⁴ - 1.

Aplicatii. Sa se determine intervalele de convexitate/concavitate, precum si

punctele de inflexiune, pentru functiile urmatoare :

1) f : RR, f(x) = x³ + 3x² ; 2) f : R - R, f(x) = ;

3) RR, f(x) = x² e^x ; 4) f : ( 0, )R, f(x) = xlnx.

Manual.

Metode :

explicatia, conversatia, conversatia euristica, demonstratia, exercitiul,

activitati

frontale si individuale.

Tema

pag. 199,

ex.

1(a,.,l)

Verificarea

temei

pentru

acasa,

prin

sondaj,

aprecierea

raspunsurilor

primite,

observarea sistematica a

elevilor,

chestionarea

orala,

evaluare

în

ora

urmatoare,

prin

tema

pentru

acasa.

Aplicatii

ale

derivatelor

Rolul derivatelor n studiul functiilor.

A. E. L.

1) Rolul derivatei întâi în studiul functiilor............25 min.

) Derivata întâi - aplicatii..................25 min.

3) Rolul derivatei a doua în studiul functiilor...........25 min.

) Puncte de inflexiune................... 25 min.

5) Derivata - aplicatii................... 15 min.

Manualul profesorului.................1 min.

Asa arata lectia, programata, dar din ea , voi pune accent pe partea grafica, pentru punctele: 1), 3), 4) iar pentru punctele: 2), 5) din lectie, vom parcurge toate etapele, deci voi pune accent pe aplicatii.

Computer.

Laboratorul

de informatica.

Metode :

explicatia,

conversatia,

problematizarea,

descoperirea, studiu de caz.

Tema : aplicatiile din lectia

A.E.L,

dar

si

din

culegeri.

Observarea sistematica/dirijata a elevilor, chestionarea orala,

aprecierea raspunsurilor primite,

aprecierea abilitatilor în operarea la calculator, în executarea

pasilor lectiei , conform

indicatiilor prezentate.

Regulile

lui

L'Hospital

Teorema ;(cazul ) Fie I un interval (marginit sau nemarginit) si x₀ punct de acumulare al lui I (finit sau infinit).

Daca f si g au proprietatile :

a) = = 0.

b) f si g sunt derivabile pe I- .

c) g(x) 0 , pentru xx₀.

d) exista în ) , atunci exista = .

Teorema : ( cazul ) Fie f, g: IR, x₀ punct de acumulare pentru I.

Daca f si g au proprietatile :

a) = = ( sau - ).

b) f si g sunt derivabile pe I - .

c) g'(x) 0 si g(x) 0 într-o vecinatate a lui x₀ .

d) exista în ), atunci exista = .

Observatii : 1) Cazul se reduce la cazul .

2) Uneori este nevoie ca regula lui l'Hospital sa se aplice de mai multe ori, de ex. pentru , nN^*.

3) Calculul unor limite de siruri se poate reduce la calculul unor limite de functii, ex. = = = 0.

Aplicatii. Sa se calculeze limitele : a) ; b)

c) ; d) ; e) .

Manual.

Metode :

explicatia, conversatia, conversatia euristica, demonstratia, exercitiul,

activitati

frontale si individuale.

Tema

Pag. 192, ex.

1( a,b,c,d,g,h,k,l)

2(a,b,c,e,f)

Verificarea

temei

pentru

acasa,

prin

sondaj,

aprecierea

raspunsurilor

primite,

observarea sistematica a

elevilor,

chestionarea

orala,

evaluare

în

ora

urmatoare,

prin

tema

pentru

acasa.

Regulile

lui

I'Hospital,

nedeterminari

pentru

limite

de

functii

Rezolvarea exercitiilor din tema, pe care elevii nu le-au putut finaliza.

Cazuri de nedeterminare pentru limite de functii.

) Cazul 0.. Presupunem ca f(x) = 0, g(x) = + (sau - ). Presupunem ca g(x) xV - , V vecinatate a lui x₀. Atunci f(x).g(x) = si limita devine de forma . Scriind f(x).g(x) = se ajunge la cazul

2) Cazul - . Presupunem ca f(x) =g(x) = + . Daca f(x) g(x) într-o vecinatate V a lui x₀( cu exceptia lui x₀), atunci f(x) - g(x) =

si limita este în cazul .Daca scriem f(x)-g(x)=f(x)(1-), atunci este în cazul . Daca 1,atunci limita data este  + sau - . Daca = 1, se ajunge la cazul 0.

Aplicatii . Sa se determine limitele : 1) x².lnx , x > x₀ ; 2) (- ctgx)

3) ln(x - e)( lnx - 1), x > e .

Manual.

Metode :

explicatia, conversatia euristica, problematizarea,

descoperirea,

exercitiul,

studiu de caz,

activitati

frontale si individuale.

Tema: pag.

195, ex. 1 (a,b,c,d,e,f,

g,h,i,j,k)

Verificarea

temei

pentru

acasa,

prin

sondaj,

aprecierea

raspunsurilor

primite,

observarea sistematica a

elevilor,

chestionarea

orala,

evaluare

în

ora

urmatoare,

prin

tema

pentru

acasa.

Regulile

lui

I'Hospital,

nedeterminari

pentru

limite

de

functii.

Rezolvarea exercitiilor din tema, pe care elevii nu le-au putut finaliza.

Cazuri de nedeterminare pentru limite de functii.

Cazurile : 0⁰ , , ⁰ ,

Consideram f(x) > 0, pentru xI - .

Daca

f(x) = g(x) = 0, atunci f^g este în cazul 0⁰.

f(x) = 1, g(x) = +(sau - ), atunci f^g este în cazul .

f(x) = , g(x) = 0, atunci f^g este în cazul ⁰ .

Deoarece

suntem condusi la calcularea limitei : g(x)lnf(x), care conduce la cazul 0. ( în toate cele tri cazuri

Aplicatii. Sa se calculeze limitele  :

1) x^x, x >0 ; 2) ; 3) , 4) (sinx)^tgx .

Manual.

Metode :

explicatia, conversatia euristica, problematizarea,

descoperirea,

exercitiul,

studiu de caz,

activitati

frontale si individuale.

Tema, pag. 195, ex. 1(m,..,x)

Verificarea

temei, prin

sondaj.

Observarea sistematica a elevilor; aprecierea

verbala,

chestionarea orala,

aprecierea raspunsurilor primate;