Punct.Dreapta.Plan

Punct.Dreapta.Plan

Planul - este o notiune abstracta despre care ne facem o idee apropiata de cea exacta privind , de exemplu ,suprafata unei mese si inchipuindu-ne ca e prelungita la nesfarsit in toate partile.In plus vom considera ca el nu are grosime.

Punctul - este de asemenea o notiune abstracta, ni-l imaginam , spre exemplu ca intepatura unui ac.Il reprezentam : ×B

S-a convenit ca o multime de puncte sa se numeasca figura geometrica , deci punctul este si el o figura geometrica (o multime cu un singur element )

×A ×B → puncte diferite (A B) - punctul A este diferit de punctul B sau punctele A si B sunt distincte (evident daca A B si B A)

×A,B puncte identice sau puncte confundate sau punctele A si B coincide (evident daca A=B si B=A)

Dreapta ne-o imaginam ca pe un fir de ata foarte subtire si foarte bine intins.

Reprezentare : ×B

_× a

A

O gandim prelungita la nesfarsit in ambele parti (sensuri ) , dreapta nu are latime sau grosime.

Spunem ca punctul A se afla pe dreapta a si scriem A a si citim punctul A apartine dreptei a

Despre punctul B se obisnuieste sa se spuna ca este exterior dreptei sau este in exteriorul dreptei a .

Daca se dau doua puncte distincte (diferite) A si B ,deci daca A B,atunci putem desena o singura dreapta care sa treaca prin punctele A si B.(fig 1)

Doua puncte distincte determina o singura dreapta

_{× ×} fig 1

A B

_{× × × ×} fig 2

A B D E

Dreptei AB ii mai apartin si alte puncte ,de exemplu D si E ,scriem D AB , E AB si putem desena ca in fig 2.Spunem ca punctele ce apartin unei drepte , ca de exemplu punctele A,B,D,E din fig 2 sunt puncte coliniare (adica apartin aceleiasi drepte).Multimea punctelor ce apartin dreptei AB formeaza o multime de puncte coliniare.Dreptele AB,AE,DB sau BE au aceleasi puncte ,din care motiv s-a convenit sa se numeasca drepte identice sau drepte confundate. De fapt e vorba de una si aceeasi dreapta ,de aceea pentru toate folosim o singura notatie (de exemplu AB)

Daca F nu apartine dreptei AB (F AB) spunem ca A,B si F sunt puncte necoliniare si putem desena aceasta ca in fig 3

_{× ×} fig 3

A B

×F

^{× ×} fig 4

A B

×G ×H

Mai putem desena si alte puncte exterioare dreptei AB , ca in fig 4 .Scriem F AB,G AB,H AB.Spunem in acest caz ,ca multimea punctelor A,B,F,G,H este o multime de puncte necoliniare (nu apartin toate aceleiasi drepte)

Oricare ar fi punctele P,Q,R pe o dreapta are loc relatia : PR PQ QR

^{× × ×} fig 5

P Q R

In fig 6 ,dreapta AB si dreapta BF au un singur punct comun (punctul B).S-a convenit ca astfel de drepte sa se numeasca drepte concurente si sa se noteze BA BF = ,punand astfel in evidenta punctul lor de concurenta B.

A

fig 6

^B

F

Se observa ca ,in fig 6 , punctele A si F nu sunt fixate,deci A si F pot fi oriunde pe dreapte (A B,B F), asta pentru ca dreptele tot concurente vom spune ca sunt.

Spunem ca dreptele sunt concurente sau se intersecteaza in B.

Distanta de la un punct la o dreapta este distanta dintre punctul considerat si piciorul perpendicularei din acel punct pe acea dreapta.

Drepte paralele

Def. Doua drepte distincte (diferite) continute in acelasi plan , care nu au nici un punct comun se numesc drepte paralele

Th. Daca doua drepte intersectate cu o secanta formeaza o pereche de unghiuri alterne in

terne congruente atunci dreptele sunt paralele.

Th.R. Daca sunt date doua drepte paralele, atunci unghiurile alterne interne pe care aceasta le formeaza cu o secanta sunt congruente doua cate doua

daca doua drepte intersectate de o secanta formeaza o pereche de unghiuri alterne externe congruente , atunci dreptele sunt paralele.

daca doua drepte intersectate de o secanta formeaza o pereche de unghiuri corespondente congruente , atunci dreptele sunt paralele.

daca doua drepte intersectate de o secanta formeaza o pereche de unghiuri interne congruente , atunci dreptele sunt paralele.

daca doua drepte intersectate de o secanta formeaza o pereche de unghiuri externe

si de aceeasi parte a secantei care sunt suplementare, atunci dreptele sunt paralele.

doua drepte distincte perpendiculare pe o a treia sunt paralele

Axioma lui Euclid ( Axioma paralelelor) Printr-un punct dat , exterior unei drepte date , exista o singura paralela la dreapta data.

daca doua drepte paralele se intersecteaza cu o a treia dreapta , atunci unghiurile alterne externe care se formeaza sunt congruente doua cate doua.

daca doua drepte paralele se intersecteaza cu o a treia dreapta , atunci unghiurile corespondente care se formeaza sunt congruente doua cate doua.

daca doua drepte paralele se intersecteaza cu o a treia dreapta , atunci unghiurile interne si de aceeasi parte a secantei care se formeaza sunt suplementare.

daca doua drepte paralele se intersecteaza cu o a treia dreapta , atunci unghiurile externe si de aceeasi parte a secantei care se formeaza sunt suplementare.

doua drepte paralele cu o a treia sunt paralele intre ele

daca doua drepte sunt paralele , atunci orice dreapta care se intersecteaza cu una dintre ele se intersecteaza si cu cealalata.