Puncte
si multimi topologic - remarcabile în 
I
I.1) Fie R
sau , dupa caz , 
, cu topologia uzuala ( indusa de metrica
euclidiana ). Sa se determine toate punctele izolate si toate
punctele de acumulare ale multimii A
în urmatoarele cazuri 131v218b :
a) 
; b) 
; c) 
;
d) 
; e) 
;
f) 
.
I.2) Fie d o metrica pe 
, A o
submultime nevida a spatiului 
si 
. Se defineste 
. Sa se arate ca x este un punct de aderenta al multimii A, daca si numai daca 
.
II
II.1) Sa se verifice gaseasca interiorul, închiderea
(aderenta), multimea derivata, frontiera si exteriorul
urmatoarelor submultimi ale lui R,
respectiv , cu topologia uzuala:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
si
II.2) Fie 
o aplicatie ce
satisface conditiile:
i) 
,
ii) 
iii) 
Sa se arate ca:
a)
daca 
, atunci 
;
b)
d este o metrica pe si, în topologia
indusa de d, orice sfera
este atât o multime deschisa cât si închisa.
II.3) Fie 
si 
, definite respectiv prin
si 
,
în raport cu care se considera 
, unde
.
Sa se arate ca 
, dotat cu d, este
un spatiu metric în care orice submultime a sa, A, este marginita.
II.4) Fie înzestrat cu o
topologie de spatiu metric. Sa se arate ca, pentru orice 
, sunt adevarate urmatoarele afirmatii:
a) 
; b) 
; c) 
;
d) 
; e) 
; f) 
;
g) 
; h) 
; i) 
;
j) 
; k) 
;
l) 
;
m) A
este simultan deschisa si închisa, daca si numai
daca 
.
II.5) Fie 
o topologie pe si 
. Sa se arate ca:
a)
D este deschisa în raport cu daca si
numai daca, pentru orice 
, 
implica 
;
b)
daca D este o multime deschisa în 
, atunci, pentru orice 
, avem: 
.
II.6) Pentru orice submultime A
a spatiului metric euclidian , se noteaza cu 
interiorul
aderentei lui A si cu 
aderenta
interiorului lui A.
Sa se arate ca:
i) daca A este deschisa, atunci 
;
ii) daca A
este închisa, atunci 
;
iii) 
si 
.
F. Iacob / 28.09.2005
|
