REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE

REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE

Daca numarul de ecuatii = numarul de necunoscute = rangul matricei sistemului = n , adica detA ...

(exemplu : sistem cu 3 ecuatii , 3 necunoscute si rang A = .. ) , atunci sistemul este .......... solutia sistemului este .... si pentru rezolvarea sa se aplica REGULA LUI ...

iar solutiile sale sunt date de FORMULELE LUI ...... :

, , . unde , , ... , se obtin din ............. prin .......... ..... ...... ..........

In studiul compatibilitatii unui sistem OARECARE de ecuatii liniare se folosesc

urmatoarele 2 teoreme :

TEOREMA LUI KRONECKER - CAPELLI : ...........................

TEOREMA LUI ROUCHE : .......... ..... ...... .......... ..... ...... .......... ..... ...... ...

Daca rang A = r < n , unde n este numarul de necunoscute si sistemul este compatibil ,

vom avea r necunoscute ........ si .... necunoscute ..........

Necunoscutele secundare le vom nota cu ........ iar necunoscutele principale

se vor exprima in functie de necunoscutele secundare .

Un sistem compatibil cu - 1 necunoscuta secundara se numeste .............. ,

- 2 necunoscute secundare se numeste .............

- 3 necunoscute secundare se numeste .............

analog pentru celelalte situatii . Un sistem compatibil cu una sau mai multe necunoscute secundare

are ........... de solutii .

4. ALGORITM DE REZOLVARE A UNUI SISTEM DE ECUATII LINIARE OARECARE :

I ) Studiem daca sistemul este compatibil : scriem matricea A a sistemului si calculam

rang A , afland astfel si .................

II ) Prin bordarea minorului principal ( numit si ..............) cu ..........

......... obtinem ...........( numit si ...............)

Calculam minorul (minorii ) caracteristic ( caracteristici )

si obtinem urmatoarele 2 situatii , conform TEOREMEI LUI ..... :

III ) Daca sistemul este COMPATIBIL , procedam astfel :

Selectam dintre ecuatiile sistemului acele ecuatii care «  se sprijina «  pe minorul principal .

In aceste ecuatii , pastram in membrul stang necunoscutele principale si ..........

................ pe care le notam cu ...................

Rezolvam sistemul astfel obtinut cu REGULA LUI ...... sau cu metodele

invatate in clasele de gimnaziu .

SISTEME DE ECUATII OMOGENE

Forma generala a unui sistem liniar omogen cu m ecuatii si n necunoscute este :

- obs. ca intr - un sistem liniar omogen , toti termenii liberi sunt ...

Un sistem liniar omogen este compatibil ...... , el avand mereu solutia ........... numita solutia nula banala sau triviala

Daca presupunem m = n , atunci :

sistemul este compatibil determinat ( are solutie unica ) daca si numai daca

sistemul este compatibil nedeterminat ( are o infinitate de solutii ) daca si numai daca