REZOLVAREA UNEI ECUATII INTEGRALE SINGULARE CU NUCLEU DE TIP CAUCHY-ABEL

REZOLVAREA UNEI ECUATII INTEGRALE SINGULARE CU NUCLEU

DE TIP CAUCHY-ABEL

Salari Anastasia,an IV(bac),Facultatea de matematica si informatica

Neagu Vasile,dr hab,prof. univ.,conducator stintific.

Lucrarea de fata este consacrata rezolvă 24324s1812y ;rii unei ecuatii integrala cu nucleu suprasingular si anume ecuatia de tipul: (1) (a<x<b,0<).

Daca =0 atunci ecuatia devine ecuatie cu nucleu de tip Cauchy care a fost studiata in monografia lui Gafov si Mincovschi. Daca insa nucleul are forma │y-x│^- atunci ecuatia (1) devine ecuatia lui Abel care de asemenea este rezolvata in monografiile mentionate.

Integrala din stânga a lui (1) se întelege in sensul valorii principale a lui Cauchy si ea exista daca se presupune ca φ(x) satisface conditia lui Holder cu exponentul <λ<1. Astfel ecuatia (1) poate fi propusa de a fi rezolvata in cazurile in care functia φ(x) are forma: φ(x)=φ^*(x)/(x-a)^γ₁(x-b)^γ₂. De aici rezulta ca sunt posibile urmatoarele clase de solutii: I-nemarginit la ambele capete ale segmentului [a;b], II-nemarginit in a si marginit in b, III-marginit in a si nemarginit in b, IV-marginit in a si in b. Cea mai vasta clasa este prima clasa. Aici ne vom ocupa de rezolvarea ecuatiei(1) in aceasta clasa. Vom cauta solutia sub forma: φ(x)= (2) undeeste functia cautata iar r(x)= .Înlocuind in ecuatia (1) in prealabil integrând-o de la a la x, se obtin integrale care pot fi calculate nemijlocit, iar altele se calculeaza prin metoda prelungirii analitice .Se considera functia F(z)= -analitica pe tot planul complex cu taietura care uneste punctual a cu b. Folosind rezultatele din T.F.V.C se obtine ca F⁺=, . Pentru a folosi teoria reziduurilor se alege un contur L care contine cercuri cu centru in punctual z=a,z=x,z=s,z=b si razele egale cu e. Deci se aplica teoria reziduurilor si se trece la limita cu e 0. In rezultat ecuatia (2) se transforma intr-o ecuatie cu nucleu de tip Cauchy. Aplicând rezultatele cunoscute obtinem ca solutia ecuatiei(1) are forma:

=

Observam ca trecând la limita cu a ∞, b -∞ se obtine rezultatul cunoscut a lui Mihailov, iar daca 0 solutia ecuatiei (1)coincide cu solutia ecuatiei cu nucleu Cauchy.