REZOLVAREA UNEI ECUATII INTEGRALE SINGULARE CU NUCLEU
DE TIP CAUCHY-ABEL
Salari Anastasia,an IV(bac),Facultatea de matematica si informatica
Neagu Vasile,dr hab,prof. univ.,conducator stintific.
Lucrarea de fata este consacrata
rezolvă 24324s1812y ;rii unei ecuatii integrala cu nucleu suprasingular si anume
ecuatia de tipul: 
(1) (a<x<b,0<
).
Daca =0 atunci ecuatia devine ecuatie cu nucleu de tip Cauchy care a fost studiata in monografia lui Gafov si Mincovschi. Daca insa nucleul are forma │y-x│- atunci ecuatia (1) devine ecuatia lui Abel care de asemenea este rezolvata in monografiile mentionate.
Integrala din stānga a lui (1) se īntelege
in sensul valorii principale a lui Cauchy si ea exista daca se presupune ca
φ(x) satisface conditia lui Holder cu exponentul 
<λ<1. Astfel ecuatia
(1) poate fi propusa de a fi rezolvata in cazurile in care functia φ(x)
are forma: φ(x)=φ*(x)/(x-a)γ1(x-b)γ2. De aici rezulta ca sunt posibile urmatoarele
clase de solutii: I-nemarginit la ambele capete ale segmentului [a;b],
II-nemarginit in a si marginit in b, III-marginit in a si nemarginit
in b, IV-marginit in a si in b. Cea mai vasta clasa este prima clasa. Aici
ne vom ocupa de rezolvarea ecuatiei(1) in aceasta clasa. Vom cauta solutia
sub forma: φ(x)=
(2) unde
este functia cautata iar r(x)=
.Īnlocuind in ecuatia
(1) in prealabil integrānd-o de la a la x, se obtin integrale care pot fi
calculate nemijlocit, iar altele se calculeaza prin metoda prelungirii
analitice .Se considera functia F(z)=
-analitica pe tot planul complex cu taietura care uneste
punctual a cu b. Folosind rezultatele din T.F.V.C se obtine ca F+=
, 
. Pentru a folosi teoria reziduurilor se alege un contur L care
contine cercuri cu centru in punctual z=a,z=x,z=s,z=b si razele egale cu e. Deci se aplica teoria reziduurilor
si se trece la limita cu e 0. In rezultat ecuatia (2) se transforma
intr-o ecuatie cu nucleu de tip Cauchy. Aplicānd rezultatele cunoscute obtinem
ca solutia ecuatiei(1) are forma:
=
Observam ca trecānd la limita cu a ∞, b -∞ se obtine rezultatul cunoscut a lui Mihailov, iar daca 0 solutia ecuatiei (1)coincide cu solutia ecuatiei cu nucleu Cauchy.
|
