Repartitia Gauss standard

Repartitia Gauss standard

Repartitia Gauss standard este o repartitie normala cu media 0 si deviatia standard 1. Este mult folosita datorita faptului ca orice repartitie Gauss poate fi adusa la forma standard printr-o transformare simpla. Anume, daca X este o variabila aleatoare care are repartitia Gauss cu media m si abaterea standard s, atunci putem crea o noua variabila aleatoare dupa formula:

Aceasta variabila are reparti&# 17117t191r 355;ie Gauss cu media 0 si abaterea standard 1. Este unica cu aceasta proprietate si orice variabila repartizata Gauss poate fi transformata în z, sau normalizata. Proprietatile fundamentale ale unei repartitii nu se schimba prin aceasta transformare. Singurele care se schimba sunt media si deviatia standard, dar se poate arata ca, dupa ce s-a lucrat cu o variabila care a fost adusa la aceasta forma, ea poate reveni la variabila care a fost înainte de transformare, prin transformarea inversa:

În figura 6.15, este desenat graficul curbei de repartitie normala standard. Se observa ca, asa cum am descris si în subcapitolul precedent, valorile pe care le ia variabila z sunt practic cuprinse între -3 si 3, dincolo de aceste limite probabilitatea de a avea valori este neglijabila.

Figura 6.15 Repartitia Gauss standard

Aceasta repartitie si transformarea repartitiilor Gauss la z pun unele probleme cum ar fi:

Modul de transformare si semnificatia valorilor transformate

Utilitatea transformarii

Legatura dintre repartitia initiala si z

Pentru a raspunde la problemele puse mai sus, sa luam un exemplu practic. Se masoara înaltimea si greutatea a 10 pacienti si se presupune ca sunt extrasi din populatia indivizilor maturi normali (sanatosi) adica si greutatea si înaltimea sunt repartizate normal (Gauss). Trecerea de la valorile masurate la valori standardizate se face în practica luând media si deviatia standard egale cu cele calculate pe lotul pe care s-au facut masuratorile (vezi tabelul 6.1).

Tabelul 6.1 Înaltimile si greutatile a zece pacienti, si modul de standardizare a lor

Se observa ca transformarea se face conform formulei pentru variabila z, prin scaderea din fiecare valoare a lui X (respectiv Y), a mediei, dupa care, diferentele obtinute se împart la deviatia standard.

Transformarea este utila din mai multe motive, dintre care citam acela ca, valorile standardizate arata mai usor care sunt indivizii în limitele de normalitate si care sunt cei pentru care masuratorile au dat valori aberante. De obicei, se considera ca valori ale lui z între -2 si 2 sunt normale, iar valori în afara intervalului de la -3 la 3 sunt aberante. În exemplul din tabelul 1, se observa ca un singur individ are greutatea în afara limitelor de normalitate si altul are înaltimea în afara acestor limite. Totusi, aceste valori nu par sa fie aberante, deoarece nu sunt în afara limitelor intervalului de la -3 la 3. Bineînteles ca valorile lui z în afara limitelor de normalitate, precum si valorile aberante, corespund unor greutati sau înaltimi care se afla si ele în afara limitelor de normalitate sau care sunt aberante. Aceasta este de fapt legatura între valorile variabilei initiale si valorile lui z. Aceste valori trebuie verificate, uneori se refac masuratorile, uneori cele aberante sunt pur si simplu eliminate ca imposibile.

Legatura dintre variabila initiala si z este data si de transformarea curbei, care poate fi observata în figura 6.16, unde este desenata transformarea unei repartitii Gauss de medie m si deviatie standard s în repartitia z.

Figura 6.16 Transformarea unei curbe Gauss oarecare într-o curba standard.