Repartitia chi patrat

Repartitia chi patrat

Este o repartitie care intervine mult īn calculul si testele statistice referitoare la disperiile si deviatiile standard ale variabilelor aleatoare. Se stie ca pentru calculul dispersiilor trebuie sumate patratele celor n diferente dintre valorile dintr-o serie de date si media lor. Cum toate aceste diferente pot fi de multe ori asimilate unor variabile aleatoare distribuite Gauss cu media 0 si abaterea standard s, a populatiei din care provine esantionul, suma patratelor este o variabila aleatoare repartizata chi patrat. Se spune ca avem o repartite chi patrat cu dispersia s² si cu n grade de libertate. Daca o variabila aleatoare X are valorile repartizate chi patrat cu dispersia s², acest fapt se scrie:

Graficul repartitiei chi patrat este asimetric, cu atāt mai asimetric cu cāt n este mai mic. Īn figura 6.26, sunt desenate graficele a patru repartitii chi patrat, corespunzator la un numar de grade de libertate n=2, n=5, n=15 si n=25. Se observa ca odata cu cresterea lui n, graficul devine din ce īn ce mai simetric.

Figura 6.26 Graficele a patru curbe de repartitie chi patrat

Teorema2: Fie W un spatiu de baza si n variabile aleatoare independente , fiecare dintre ele distribuite normal , atunci :

Proprietate Daca doua variabile aleatoare sunt repartizate chi patrat cu n₁ si, respectiv n₂ grade de libertate, ambele avānd dispersia s² atunci suma lor este distribuita tot chi patrat cu n₁+n₂ grade de libertate si dispersia s².

Desi pare sa fie asemanatoare cu densitatea Poisson, densitatea de repartitie Chi patrat este diferita de aceasta. Asemanarea provine din faptul ca ambele au excentricitate spre dreapta.

6.5.2.3 Densitatea Student

Este o repartitie care intervine mult īn aplicatiile referitoare la testele statistice. Are o forma simetrica si seamana ca aspect cu distributia Gauss standard.

Este īn realitate o familie infinita de repartitii, pentru fiecare n, numar de grade de libertate (df), avānd o forma diferita.

Figura 6.27 Curbe de repartitie Student corespunzator la 3, 6 si n>120 grade de libertate. Pentru n>120, forma curbei este practic aceeasi cu cea a curbei normale standard si nu se mai schimba odata cu n

Aceasta densitate are proprietatea ca are un maxim īn 0 si este simetrica stānga-dreapta lui 0, ca forma. Are un aspect cu atāt mai aplatizat cu cāt numarul de grade de libertate este mai mic. Desi pare sa se asemene cu curba lui Gauss, a densitatii normale, īn realitate, īntre ele este o diferenta.

Cīnd numarul de grade de libertate tinde la infinit, aspectul ei se apropie tot mai mult de forma repartitiei Gauss.