MCIMLucrarea 16 |
Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare |
Fie urmatorul sistem de ecuatii cu trei necunoscute: 18418r1712s
Acesta poate fi scris matriceal sub una din formele:
AX=B sau YC=D
Īn prima forma, adica AX=B:
A este matricea coeficientilor necunoscutelor, cu dimensiunea 3x3. Coeficientii aceleiasi necunoscute sunt pe aceeasi coloana,
X este matricea necunoscutelor, cu dimensiunea 3x1;
B este matricea termenilor liberi cu dimensiunea 3x1;
Īn cazul sistemului dat ca exemplu:
Īn a doua forma de scriere matriceala adica YC=D:
C este matricea coeficientilor necunoscutelor cu dimensiunea 3x3. Coeficientii aceleasi necunoscute sunt pe aceeasi linie; matricea C este transpusa matricei A.
Y este matricea necunoscutelor, cu dimensiunea 1x3; matricea Y este transpusa matricei X.
D este matricea termenilor liberi cu dimensiunea 1x3; matricea D este transpusa matricei B.
Pentru sistemul de mai sus, rezulta:
(x y z) D = B T = (10 5 -1)
2.Rezolvarea sistemelor prin īmpartirea matricelor
Una din metodele de rezolvare a sistemelor de N ecuatii cu N necunoscute consta īn īmpartirea matricelor. Astfel, rezolvarea ecuatiei matriceale AX=B presupune īmpartirea la stānga a matricelor:
AX=B X=A\B
Cu secventa MATLAB:
A=[3 2 .1;-1 3 2;1 -1 -1];
B=[10 5 -1];
X=A B
se obtine rezultatul:
X=[-2.000 5.000 6.000] care este echivalent cu:
x= -2 y= -5 z= -6
Daca sistemul de ecuatii este descris cu ecuatia matriceala YC=D, rezolvarea acestuia presupune īmpartirea la dreapta: Y=D/C.
Cu secventa MATLAB:
C=[3 -1 1;2 3 -1;-1 2 -1];
D=[10 5 -1];
Y=D/C
se obtine rezultatul:
Y=[-2.0000 5.0000 -6.0000] care este echivalent cu:
x=-2, y=-5, z=-6
3.Rezolvarea sistemelor prin folosirea matricei inverse
Daca sistemul a fost descris cu ecuatia matriceala:
AX=B
prin multiplicarea la stānga cu A-1 (matricea inversa a lui A),se obtine:
A-1AX=A-1B
Deoarece , A-1 A-I, unde I este matricea unitate, rezulta:
X=A-1B
Īn MATLAB ,ultima relatie se exprima sub forma:
X=inv(A)*B
inv fiind functia MATLAB de calcul a matricei inverse.
Daca sistemul este descris cu ecuatia matriceala:
YC=D
prin multiplicarea la dreapta cu C-1(matricea inversa la dreapta a lui C),se obtine:
YCC-1=DC-1
rezultānd:
Y=DC-1
Īn MATLAB ,ultima relatie se exprima sub forma:
Y=D*inv(C)
Cu secventa MATLAB:
C=[3 -1 1;2 3 -1;-1 2 -1];
D=[10 5 -1];
Y=D*inv(C)
se obtine rezultatul: Y=[-2.0000 5.0000 -6.0000]
|