Rezumat la geometrie pe semestrul al II-lea
Unghi exterior unui triunghi
Definitie: Se numeste unghi exterior unui triunghi unghiul format într-un vârf al triunghiului de o latura a triunghiului si de prelungirea celelaltei laturi a triunghiului.
Un triunghi are 6 unghiuri exterioare 2 câte 2 opuse la vârf si congruente.
Teorema: Suma masurilor unghiurilor unui triunghi este 180°.
Teorema unghiului exterior: Masura unui unghi exterior unui triunghi este egala cu suma masurilor unghiurilor interioare neadiacente.
Congruenta triunghiurilor
Definitie Spunem ca 2 trunghiuri sunt congruente daca au laturile si unghiurile respective congruente.
Cazuri de congruenta a triunghiurilor oarecare
Sunt niste enunturi care ne permit noua sa afirmam ca 2 triunghiuri sunt congruente cunoscând ca numai 3 din cele 6 relatii de congruenta între elementele lor sunt adevarate.
Cazul latura unghi latura (L.U.L):
daca 2 triunghiuri au 2 laturi si unghiul cuprins între ele
respective congruente atunci cele 2 tringhiuri 939g623j sunt congruente. 
Cazul unghi latura unghi (U.L.U): daca 2 triunghiuri au o latura si unghiurile alaturate ei respectiv congruente atunci cele 2 tringhiuri 939g623j sunt congruente.
Cazul latura unghi unghi (L.U.U): daca 2 triunghiuri au o latura, un unghi alaturat ei si unghiul opus ei respectiv congruente atunci cele 2 tringhiuri sunt congruente.
Cazul latura latura latura (L.L.L): daca 2 triunghiuri au laturile respectiv congruente atunci cele 2 tringhiuri 939g623j sunt congruente.
Definitii: 1.Orice triunghi este congruent cu el însusi.
2.Daca un triunghi este congruent cu un al doilea triunghi atunci si al doilea triunghi este congruent cu primul triunghi.
3.Daca un triunghi este congruent cu un al doilea triunghi si al doilea triunghi este congruent cu al treilea triunghi atunci primul triunghi este congruent cu al treilea triunghi.
Dreapte perpendiculare
Spunem ca 2 drepte sunt perpendiculare daca unul din unghiurile formate este de 90°.
Daca 2 drepte sunt perpendiculare atunci se formeaza 4 unghiuri drepte.
Orice dreapta care intersecteaza dreapta data fara a forma unghi de 90° se numeste oblica la dreapta data.
Printr-un punct exterior unei drepte trec o infinitate de oblice la acea dreapta.
Mediatoarea: mediatoarea unui segment este dreapta ce trece prin mijlocul segmentului si este perpendiculara pe segment.
Cazurile de congruenta ale triunghiurilor dreptunghice
Cazul cateta cateta (C.C) : provine din cazul general L.U.L
Daca 2 triunghiuri dreptunghice au catetele respectiv congruente atunci triunghiurile sunt congruente.
Cazul cateta unghi (C.U) : provine din cazul general U.L.U sau U.U.L
Daca 2 triunghiuri dreptunghice au o cateta si un unghi respectiv congruente atunci triunghiurile sunt congruente.
Cazul ipotenuza unghi (I.U.) : provine din cazul general U.U.L)
Daca 2 triunghiuri dreptunghice au
ipotenuza si un unghi ascutit respectiv
congruente atunci triunghiurile sunt congruente.
Cazul ipotenuza cateta (I.C.) : nu provine din nici un caz general
Daca 2 triunghiuri au ipotenuza si o cateta respectiv congruente atunci triunghiurile sunt congruente.
Linii importante într-un triunghi
Bisectoarele: bisectoarele unui triunghi sunt bisectoarele unghiurilor sale. Se mai numesc interioare ale triunghiului.
Propietatea bisectoarei
Teorema: Daca un punct este situate pe bisectoare atunci el este egal departat de laturile unghiului.
Reciproca: Daca un punct din interiorul unui unghi este egal departat de laturile unghiului atunci el este situate pe bisectoarea unghiului.
Un triunghi are 3 bisectoare concurente într-un punct notat de obicei I, punct care este egal departat de laturile triunghiului si care este centrul unui cerc situate în interiorul triunghiului si care are câte un singur punct comun cu laturile triunghiului.
Acest cerc se numeste cercul înscris în triunghi.
Proprietatea mediatoarei unui segment.
Un punct se afla pe mediatoaredaca si numai daca este egal departat de capetele segmentului.
Un triunghi are 3 mediatoare concurente într-un punct notat cu O, punct ce este egal departat de vârfurile triunghiului deci este centrul unui cerc care trece prin toate vârfurile triunghiului si este numit cerc circumscri
Centrul cercului circumscris se afla:
-în interiorul triunghiuluii daca triunghiul este ascutitunghi
-în mijlocul ipotenuzei daca triunghiul este dreptunghic
-în exteriorul triunghiului daca triunghiul este obtuzunghic.
Drepte paralele
Unghiuri formate de 2 drepte taiate de o secanta
Denumiri:
-unghiuri interne : unghiuri cuprinse de a si b
-unghiuri externe: unghiuri din exteriorul spatiului cuprins între a si b.
Perechi de unghiuri:
-alterne: unul de o parte a secantei si celalalt de cealalta parte a secantei
-corespondente: unul este intern, celalalt extern si de aceeasi parte a secantei
Spunem ca 2 drepte sunt paralele daca sunt în acealsi plan si nu au nici un punct comun.
Teoreme de existenta a dreptelor paralele
Daca 2 drepte taiate de o secanta formeaza o pereche de unghiuri alterne-interne congruente atunci cele 2 drepte sunt paralele.
Daca 2 drepte taiate de o secanta formeaza o pereche de unghiuri alterne-externe congruente atunci cele 2 drepte sunt paralele.
Daca 2 drepte taiate de o secanta formeaza o pereche de unghiuri corespondente congruente atunci cele 2 drepte sunt paralele.
Daca 2 drepte taiate de o secanta formeaza o pereche de unghiuri interne de aceeasi parte a secantei suplementare atunci cele 2 drepte sunt paralele.
Daca 2 drepte taiate de o secanta formeaza o pereche de unghiuri externe de aceeasi parte a secantei suplementare atunci cele 2 drepte sunt paralele.
Axioma paralelelor(lui
Teorema de tranzitivitate a relatiei de parallelism între drepte
Daca 2 drepte diferite sunt paralele cu acea dreapta atunci cele 2 drepte sunt paralele între ele.
Linia mijlocie într-un triunghi
Se numeste lini mijlocie într-un triunghi segmental ce uneste mijloacele a doua laturi ale triunghiului.
Teorma liniei mijlocii: Într-un triunghi linia mijlocie este paralela cu latura a 3-a si are lungimea egala cu jumatate din lungimea laturii a 3-a
Înaltimile unui triunghi
Înaltimea unui triunghi este perpendiculara dusa dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusa.
Un triunghi are 3 înaltimi care sunt concurente într-un punct notat cu H si numit ortocentrul triunghiului. Ortocentrul triunghiului poate fi: 1.
în interiorul triunghiuluii daca triunghiul este ascutitunghi
-în mijlocul ipotenuzei daca triunghiul este dreptunghic
-în exteriorul triunghiului daca triunghiul este obtuzunghic.
Aria unui triunghi
Aria unui triunghi se calculeaza dupa
formula: 
,
unde baza este lungimea unei laturi iar înaltimea
corespunzatoare acelei baze.
Deoarece la un triunghi dreptunghic laturile au denumiri speciale si 2 din înaltimi sunt chiar catetele aria triunghiului dreptunghic poate fi exprimata în 2 feluri:
A=ip·h=C1·C2
Medianele: Se numeste mediana într-un triunghi segmental care uneste un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.
Un triunghi are 3 mediane concurente într-un punct notat cu G si numit centru de greutate. Este întotdeauna în interiorul triunghiului.
Proprietate: Centrul de greutate se afla pe fieare mediana la 2 treimi de vârf si la o treime de mijlocul bazei.
O mediana imparte un triunghi în 2 triunghiuri cu aceeasi arie.
Într-un triunghi dreptunghic mediana corespunzatoare ipotenuzei este jumatate din ipotenuza si reciproc.
Simetria fata de o dreapta.
Simetricul unui punct xterior unei drepte fata de acea dreapta este un punct astfel încât dreapta data sa fie mediatoarea segmentului determinat de punctual initial si simetricul sau.
Daca punctual este pe dreapta atunci simetricul fata de acea dreapta este el însusi.
Spunem ca o figura are axa de simetrie daca exista o dreapta astfel încât simetricul oricarui punct al figurii fata de acea dreapta se afla tot pe acea figura.
Triunghiul isoscel
Triunghiul isoscel este triunghiul cu 2 laturi congruente,
Proprietati
Teorema: Într-un triunghi isosel unghiurile alaturate bazei sunt congruente,
Reciproca: Daca un triunghi are 2 unghiuri congruente atunci el este isoscel. (laturile alaturate bazei sunt congruente)
Teorema: Într-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului de la vârf este si mediana corespunzatoare bazei.
Teorema reciproca 1: Într-un triunghi isoscel mediana corespunzatoare bazei este si bisectoare pentru unghiul de la vârf.
Teorema reciproca 2: Daca într-un triunghi o bisectoare este si mediana atunci triunghiul este isoscel
Într-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului de la vârf, mediana corespunzatoare bazei, înaltimea corespunzatare bazei si mediatoarea corespunzatoare bazei coincid.
Într-un triunghi isoscel medianele corespunzatoare laturilor congruente sunt congruente.
Reciproca: Daca un triunghi are 2 mediane congrunte etunci el este isoscel.
Triunghiul echilateral
Triunghiul echilateral este triunghiul care are toate laturile congruente.
Un triunghi echilateral poate fi considerat isoscel în 3 moduri. Deci un triunghiuri echilateral are toate proprietatile triunghiului isoscel.
Într-un triunghi echilateral orice bisectoare este si înaltime si mediana si reciprocele corespunzatoare.
Într-un triunghi echilateral toate înaltimile, toate bisectoarele si toate medianele sunt congruent.
Teorema: Într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt congruente fieare avân 60°.
Proprietati ale triunghiului dreptunghic
Teorema unghiului de 30°: Daca un triunghi dreptunghic are un unghi de 30° atunci cateta care I se opune este jumatate din ipotenuza.
Reciproca: Daca într-un triunghi dreptunghic o cateta este jumatate din ipotenuza atunci unghiul care se opune catete este de 30°.
Teorema medianei: Într-un triunghi dreptunghic mediana corespunzatoare ipotenuzei este jumatatea din ipotenuza.
Deci centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei.
Reciproca: Daca într-un triunghi o mediana este jumatate din latura corespunzatoare atunci triunghiul este dreptunghic.
Inegalitati într-un triunghi
Teorema: Într-un triunghi la un unghi mai mare se opune o latura mai mare si reciproc.
Teorema de existenta: Într-un triunghi orice latua este strict mai mica decât suma celorlalte 2 laturi.
3 numere positive sunt lungimile laturilor unor triunghiuri daca si numai daca fiecare dintre ele este strict mai mic decât suma celorlalte 2.
Teorema! Într-un triunghi fiecare latura este strict mai mare decât modulul diferentei celorlalte 2 laturi/
Poligoane
Un poligon este o linie frânta închisa fara autointersectii.
Teorema: Suma masurilor unghiurilor unui polygon convex cu n laturi este: Sn=180° (n-2).
Patrulatere
Patrlaterul este poligonul cu 4 laturi.
Paralelogramul
Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele.
Proprietati:
Teorema: Într-un paralelogram laturile opuse sunt congruente.
Reciproca: Daca într-un patrulater convex laturile opuse sunt congruente atunci el este paralelogram.
Reciproca 2: Daca într-un patrulater convex 2 laturi opuse sunt paralele si congruente atunci el este paralelogram.
Teorema: Într-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruente.
Teorema reciproca: Daca într-un patrulater convex unghiurile opuse sunt congruente atunci el este paralelogram.
|
