SIRURI DE NUMERE REALE

Matematica

ALTE DOCUMENTE

LUCRARE SCRISA LA CLASA A VIII-A Mate

Functia logaritmica

Recapitulare pentru Bacalaureat: Conice - cerc, elipsa - PROIECT DIDACTIC

MATEMATICĂ - Obiective cadru / de referinta si PLANIFICAREA ANUALĂ

Functia exponentiala

PROBLEME REZOLVATE CU AJUTORUL VECTORILOR

PERMUTARI

Densitatea Normala

Trasarea graficului unei functii

ELEMENTE DE STRATEGIE A ANALIZEI STATISTICE

SIRURI DE NUMERE REALE

Definitie:

Fie o multime de elemente. O familie (parte, submultime a multimii se noteaza . Multimea se numeste multimea indicilor, iar orice element se numeste indice. Daca este multimea numerelor naturale o familie de elemente ale multimii se numeste sir. Daca sunt numere reale, avem siruri de numere reale, deci

Definitie:

Un sir de numere reale este o familie de numere reale , cu indici numere reale. De regula se noteaza un sir , intelegandu-se prin aceasta multimea: . Numerele se numesc termenii sirului; se numeste termenul general sau termenul de rangul al sirului. Prin definitie vom spune ca doua siruri si sunt egale daca termenii corespunzatori aceluias indice sunt egali adica:

2 - SIRURI MARGINITE

Un sir de numere este marginit inferior daca exista un numar astfel incat pentru orice .

Un sir de numere este marginit superior daca exista un numar astfel incat pentru orice .

Un sir de numere este marginit daca este marginit superior si inferior daca exista doua numere si astfel incat pentru orice

Observatie:

Daca exista , atunci pentru orice .

Un sir de numere este nemarginit daca oricare ar fi numarul exista astfel incat .

3 - SIRURI MONOTONE

Se spune ca un sir de numere este crescator daca si ca un sir este strict crescator daca:

Se spune ca un sir de numere este descrescator daca:

si este strict descrescator daca:

Sirul: , este un sir crescator si descrescator si se numeste si constant. Un sir crescator sau descrescator se numeste sir monoton. Un sir strict crescator sau strict descrescator se numeste sir strict monoton.

Fie un sir si , un sir strict crescator de numere naturale. Sirul se numeste subsir al sirului initial.

4 - PUNCTE LIMITA

Un numar este un punct limita al sirului , daca orice vecinatate a lui contine cel putin un termen al sirului, diferit de (numarul poate sa apartina sau sa nu apartina sirului). Orice vecinatate a lui contine o infinitate de termeni ai sirului. Daca notam cu L multimea punctelor limita a sirului , se numeste limita superioara a sirului marginea superioara a multimii L si se noteaza L = lim sup=.

Marginea inferioara a multimii L se numeste limita inferioara a sirului si se noteaza:

= inf L = lim inf = lim .

Din definitia data numerelor si rezulta ca au urmatoarele propietati:

Pentru numarul :

1. La stanga lui se gaseste un numar finit de termeni ai sirului ;

2. La stanga lui se gaseste o infinitate de termeni ai sirului . Intradevar, daca la stanga lui s-ar gasi o infinitate de termeni ai sirului , acestia ar avea un punct limita diferit de (eventual ) si nu ar mai fi margine inferioara a multimii L.

La stanga lui se gaseste o infinitate de termeni ai sirului , deoarece vecinatatea ) contine o infinitate de termeni ai sirului, fiind punct limita.

Pentru numarul :

1. La dreapta lui se gaseste un numar finit de termeni ai sirului .

2. La stanga lui se gaseste o infinitate de termeni ai sirului.

5 SIRURI CONVERGENTE

Definitia I

Un sir de numere se numeste convergent daca exista un numar astfel incat pentru orice sa existe un numar natural (care depinde de ) astfel incat pentru sa avem . Numarul se numeste limita sirului si se noteaza si se citeste" limita termenului general cind , este numarul ". Daca un sir este convergent se spune ca are limita.

Definitia II

Un sir de numere este convergent daca exista un numar astfel incat in afara fiecarei vecinatati a lui se afla cel mult un numar finit de termeni ai sirului. Fie un numar oarecare.

Din faptul ca in afara oricarei vecinatati a lui exista un numar finit de termeni ai sirului rezulta

numai pentru , fiind un numar natural care depinde de . Pentru , toti termenii sirului sint in vecinatatea si sirul este convergent cu definitia I.

Reciproc, prima definitie implica pe a doua. Intradevar, deoarece pentru avem:

, urmeaza ca numai cel mult, pentru , adica pentru un numar finit de termeni ai sirului.

Definitia III

Un sir este convergent daca =.

Daca ==, atunci conform propietatilor lui si pentru si arbitrar la stanga lui se va gasi un numar finit de termeni ai sirulu, iar la dreapta lui se va gasi tot un numar finit de termeni ai sirului, deci de la un rang inainte toti termenii sirului satisfac neegalitatea ; invers daca pentru , urmeaza ca la stanga lui se gaseste un numar finit de termeni ai sirului, iar la dreapta lui se gaseste un numar finit de termeni ai sirului, deci este si limita superioara si limita inferioara =; = deci =.

Un sir care nu este convergent se numeste sir divergent.

6. CRITERIUL GENERAL AL LUI CAUCHY PENTRU SIRURI

Un sir de numere este convergent daca si numai daca pentru orice numar exista un numar astfel incat oricare ar fi si orice intreg sa avem:

Demonstratie:

Conditia este necesara. Intradevar, sirul, fiind convergent, are o limita ; deci pentru orice exista , astfel incat pentru sa avem:

avem:

Conditia este suficienta. Sa dam lui valoarea fixa . Conform ipotezei:

, , deci cu exceptia termenilor toti ceilalti termeni pentru () se afla in intervalul (). Sa presupunem ca , rezulta de aici ca si se gasesc in acest interval, deci .

fiind arbitrar, iar si , fixe, diferenta lor nu poate fi arbitrar de mica decat daca =, iar sirul este convergent conform definitiei III.

7. SIRURI DIVERGENTE.

Spunem ca un sir are limita daca orice vecinatate a lui contine toti termenii sirului, cu exceptia unui numar finit sau:

Un sir are limita daca pentru orice numar exista un numar astfel incat pentru orice si se scrie .

Spunem ca un sir are limita daca orice vecinatate a lui contine toti termenii sirului cu exceptia unui numar finit sau:

Un sir are limita daca pentru orice numar exista un numar astfel incat penru orice si se scrie .

Un sir care are limita infinita este un sir divergent. Tot un sir divergent este un sir care are mai multe puncte limita, adica ; astfel de siruri se mai numesc si oscilante.

8. SIRURI MONOTONE

a) Siruri monotone convergente.

Teorema: Un sir monoton si marginit este convergent

Demonstratie: Sirul , fiind marginit, nu poate avea limite infinite. Ramane sa mai aratam ca nu are decat un punct limita. Sa presupunem ca are doua puncte limita si <; daca impartim intervalul (,) in trei, fie intervalele sunt disjuncte. Fie un indice pentru care apartine primului interval.

Exista un indice pentru care apartine celui de al doilea interval, deoarece in caz contrar, intervalul al doilea nu ar mai contine o infinitate de termeni si nu ar fi punct limita.

In consecinta, sirul fiind presupus crescator . Pentru intervalul al doilea nu poate contine toti termenii sirului deoarece, in acest caz, in primul interval am avea un numar finit si nu ar mai fi punct limita, rezulta pentru , insa aceste doua inegalitati sunt incompatibile cu monotonia sirului considerat, am ajuns la o contrazicere, deci = , iar sirul este convergent. Teorema este demonstrata.

6. Siruri monotone divergente.

Teorema. Un sir monoton si nemarginit este divergent.

Demonstratie: Sa presupunem ca sirul este crescator si nu este marginit superior. Pentru orice numar exista un numar pentru care avem: si cum sirul este nedescrescatorurmeaza ca pentru orice avem deci sirul este divergent, avand ca limita .

In mod analog se arata ca sirurile monoton descrescatoare nemarginite inferior au limita . Prin urmare, sirurile monotone au o singura limita, finita sau infinita.

9. Operatii cu siruri convergente

1. Adunarea sirurilor convergente.

Daca si sint doua siruri convergente, atunci sirul suma + este convergent si: =+

Demonstratie:

Fie = si =,

Sirurile fiind convergente urmeaza ca pentru orice numar exista un numar astfel incat pentru orice avem: si un numar astfel incat pentru avem: .

Sa plecam de la egalitatea:careia ii aplicam neegalitatea modulului deci: pentru orice =max(, de unde rezulta =+= ; se poate citi astfel: suma unui numar finit de siruri convergente, este un sir convergent si limita sumei este egala cu suma limitelor.

2. Scaderea sirurilor convergente

Teorema: Daca si sint doua siruri convergente, atunci sirul - este deasemenea convergent si : =-= sau limita diferentei a doua siruri convergente exista si este egala cu diferenta limitelor celor doua siruri.

Demonstratie:

Folosind datele de la teorema precedenta avem:

si aplicand inegalitatile modulului avem:

pentru orice = max(, de unde rezulta:

=-=

3. Produsul sirurilor convergente

Teorema: Daca si sint doua siruri convergente, atunci sirul produs este convergent si: =. sau limita produsului a doua siruri convergente exista si este egala cu produsul limitelor celor doua siruri.