Sondaje statistice - tipuri de sondaje

SONDAJE STATISTICE

1 Tipuri de sondaje

Sondajul este o modalitate de investigare statistica foarte des utilizata in practica.

Cuvinte cheie:

POPULATIE – totalitatea elementelor supuse cercetarii statistice

ESANTION - o parte a populatiei selectata pentru studiu

PARAMETRU – indicator la nivelul populatiei

STATISTICA – indicator la nivelul esantionului

Avantajele sondajului:

Avantajul costului

Avantajul timpului obtinerii rezultatelor

Avantajul acuratetii rezultatelor

Avantajul utilizarii in conditiile in care observarea totala este imposibila

Tipuri de sondaje:

Sondaje dirijate

Sondaje probabilistice

sondaj simplu aleator – repetat/nerepetat

sondaj stratificat

sondaje cluster

2. Intervale de incredere

Pentru selectia simpla cu revenire: .

Pentru selectia simpla cu revenire: .

Verificarea ipotezelor statistice

Concepte si erori in testarea ipotezelor statistice

In statistica, ipotezele apar intotdeauna in perechi: ipoteza nula si ipoteza alternativa. Ipoteza statistica ce urmeaza a fi testata se numeste ipoteza nula si este notata, uzual, H₀. Ea consta intotdeauna in admiterea caracterului intamplator al deosebirilor, adica in presupunerea ca nu exista deosebiri esentiale. Respingerea ipotezei nule care este testata implica acceptarea unei alte ipoteze. Aceasta alta ipoteza este numita ipoteza alternativa, notata H₁. Cele doua ipoteze reprezinta teorii, mutual exclusive si exhaustive, asupra valorii parametrului populatiei sau legii de repartitie. Spunem ca ele sunt mutual exclusive deoarece este imposibil ca ambele ipoteze sa fie adeva­rate. Spunem ca ele sunt exhaustive, deoarece acopera toate posibilitatile, adica ori ipoteza nula, ori ipoteza alternativa trebuie sa fie adevarata.

Procedeul de verificare a unei ipoteze statistice se numeste test sau cri­teriu de semnificatie. O secventa generala de pasi se aplica la toate situa­tiile de testare a ipotezelor statistice. Ipotezele se vor schimba, tehnicile sta­tis­tice aplicate se vor schimba, dar procesul ramane acelasi si anume:

Cand ipoteza nula nu poate fi respinsa (nu exista suficiente dovezi pentru a fi respinsa), sunt doua posibilitati: ipoteza nula este adevarata si ipoteza nula este totusi falsa, gresita desi nu am respins-o. De aceea, este mai corect sa spunem ca pe baza datelor din esantionul studiat, nu putem respinge ipoteza nula, decat sa spunem ca ipoteza nula este adevarata.

Eroarea pe care o facem eliminand o ipoteza nula, desi este adevarata, se numeste eroare de genul intai. Probabilitatea comiterii unei astfel de erori reprezinta riscul de genul intai (α) si se numeste nivel sau prag de sem­ni­ficatie.

Nivelul de incredere al unui test statistic este (1-α) iar in expresie procentuala, (1-α reprezinta probabilitatea de garantare a rezultatelor.

Eroarea pe cere o facem acceptand o ipoteza nula, desi este falsa, se nu­meste eroare de genul al doilea, iar probabilitatea (riscul) comiterii unei astfel de erori se noteaza cu β. Puterea testului statistic este (1-β).

Ipoteza alternativa poate avea una din trei forme (pe care le vom exem­plifica pentru testarea egalitatii parametrului „media colectivitatii generale“, μ cu valoarea μ₀):

i) sa testam daca parametrul din colectivitatea generala (media μ) este egal cu o anumita valoare (inclusiv zero, μ₀), cu alternativa media diferita de valoarea μ₀. Atunci:

H₀: μ = μ₀

H₁: μ ≠ μ₀ (μ < μ₀ sau μ > μ₀);

si acest test este un test bilateral;

ii) sa testam ipoteza nula μ = μ₀, cu alternativa media μ este mai mare decat μ_0.

H₀: μ = μ₀

H₁: μ > μ₀

care este un test unilateral dreapta;

iii) sa testam ipoteza nula μ = μ₀, cu alternativa media μ este mai mica decat μ_0.

H₀: μ = μ₀

H₁: μ < μ₀

care este un test unilateral stanga.

Regiunea critica pentru testul bilateral difera de cea pentru testul uni­la­teral. Cand incercam sa detectam o diferenta fata de ipoteza nula, in am­bele directii, trebuie sa stabilim o regiune critica Rc in ambele cozi ale dis­tri­butiei de esantionare pentru testul statistic. Cand efectuam un test uni­la­teral, vom stabili o regiune critica intr-o singura parte a distributiei de esan­tionare, astfel (vezi fig.):

μ μ

a) b) c)

Regiunea critica pentru a) test bilateral; b) test unilateral stanga; c) test unilateral dreapta

Testarea ipotezei privind media populatiei generale (μ) pentru esantioane de volum mare

Utilizarea esantioanelor de volum mare (n > 30) face posibila aplicarea teoremei limita centrala. Dupa cum am vazut, putem intalni teste unilaterale sau bilaterale, astfel:

i) in cazul testului bilateral, ipotezele sunt:

H₀: μ = μ₀ (μ - μ₀=0)

H₁: μ ≠ μ₀ (μ - μ₀≠0) (adica μ < μ₀ sau μ > μ₀);

Testarea se face pe baza mediei esantionului si, pentru a o efectua, este nevoie sa construim un test cu un nivel de semnificatie α prestabilit. Uti­li­zand teorema limita centrala am vazut ca daca volumul esantionului este mare, media esantionului este aproximativ normal distribuita. De aceea, variabila aleatoare z urmeaza o distributie normala standard.

Daca pragul de semnificatie (α) este stabilit, putem determina valoarea z_α/2, pentru care P(z> z _α/2)= α/2. Aceasta inseamna ca regiunea critica Rc este data de:

Rc: z< - z _α/2 sau z> z _α/2

Regula de decizie este, deci:

Respingem H₀ daca

sau

Exemplu: Presupunem ca un fabricant de materiale de constructii comercializeaza ciment in pungi, care trebuie sa contina 12 kg/punga. Pentru a detecta eventuale abateri in ambele sensuri de la aceasta cantitate, selecteaza 100 de pungi, pentru care calculeaza kg, s_x= 0,5 kg. Pentru α = 0 (grad de incredere (1- α)100=99%) sa se determine daca se accepta ipoteza nula, aceea ca greutatea pungilor este in medie de 12 kg.

H₀: μ = 12

H₁: μ ≠ 12 < 12 sau μ > 12);

z _α/2=z_0,005=2,575

Regiunea critica: z< - z _α/2 sau z> z _α/2

Cum z = - 3 < - 2,575 rezulta ca sunt suficiente evidente pentru a respinge ipoteza nula H₀ si a accepta ipoteza alternativa, aceea ca greutatea pungilor difera, in medie, de 12 kg.

ii) pentru testul unilateral dreapta, ipotezele sunt:

H₀: μ = μ₀ (μ - μ₀=0)

H₁: μ > μ₀ (μ - μ₀>0);

Testul statistic calculat este:

Regiunea critica este data de:

Rc: z > z_α

Regula de decizie este:

Respingem ipoteza H₀ daca

iii) Pentru testul unilateral stanga, ipotezele sunt:

H

H : μ < μ₀ (μ - μ₀<0);

Testul statistic calculat este:

Regiunea critica este data de:

Rc: z < –z_α

Regula de decizie este:

Respingem ipoteza H₀ daca

Sa remarcam ca in nici una dintre aceste situatii nu trebuie facuta o presupunere speciala, deoarece teorema limita centrala ne asigura ca testul statistic va fi aproximativ normal distribuit, indiferent de forma distributiei din colectivitate.

Teste pentru esantioane de volum redus

In afaceri, multe decizii trebuie luate pe baza unor in-formatii foarte limi­tate, adica pe baza datelor provenite din esantioane mici (de volum redus, n≤30). In aceste situatii, efectul imediat este acela ca forma distributiei de esantionare a mediei depinde, acum, de forma populatiei generale din care a fost extras esantionul. In cazul esantionului de volum redus se utilizeaza testul statistic t. Distributia de esantionare a lui va fi normala (sau aproximativ normala), in cazul esantioanelor de volum redus, doar daca colectivitatea generala este distribuita normal (sau aproximativ normal).

Pe de alta parte, daca nu se cunoaste dispersia din colectivitatea generala (), atunci dispersia esantionului (), poate sa nu ofere o aproximare foarte buna a lui (in cazul esantioanelor mici). Ca atare, in locul statis­ticii z care necesita cunoasterea (sau o buna aproximare) a lui , vom fo­losi statistica:

,

unde: .

Elementele procesului de testare a ipotezelor statistice privind media co­lectivitatii generale (μ) pe baza datelor din esantioane de volum redus, devin atunci:

- pentru test bilateral;

H₀: μ = μ₀,

H₁: μ ≠ μ₀ (μ < μ₀ sau μ > μ₀);

- pentru test unilateral dreapta;

H₀: μ = μ₀,

H₁: μ > μ₀,

- pentru test unilateral stanga;

H₀: μ = μ₀,

H₁: μ < μ₀.

Testul statistic utilizat:

.

Presupunerea speciala ce trebuie facuta este aceea ca populatia gene­rala este normal sau aproximativ normal distribuita.

Regiunea critica este data de:

i) t > t _α/2,n-1 sau t < - t _α/2,n-1,

ii) t > t _α,n-1,

iii) t < - t _α,n-1.

Exemplu

Exemplu:

Conducerea unei companii apeleaza la 5 experti pentru a previziona profitul companiei in anul curent. Valorile previzionate sunt: 2,60; 3,32; 1,80; 3,43; 2,00 (miliarde lei, preturile anului anterior).

Stiind ca profitul companiei in anul anterior a fost de 2 mld. lei, sunt suficiente dovezi pentru a concluziona ca media previziunilor expertilor este semnificativ mai mare decat cifra anului anterior (pentru α = 0,05)?

Media previziunilor expertilor este mld. lei, cu dispersia:

si abaterea medie patratica:

mld. lei.

Elementele procesului de testare a ipotezei statistice sunt:

H₀: μ = 2 ,

H₁: μ > 2 (test unilateral dreapta).

.

In scopul folosirii statisticii t, vom face presupunerea ca populatia gene­rala din care s-a extras esantionul este normal distribuita.

Cum t_α,n-1 = t_0,05;4 = 2,132, regiunea critica este data de t>t_α,n-1. Cum t=1,874< t_0,05;4=2,132, nu putem trage concluzia ca media profitului previ­zionata de cei 5 experti pentru anul curent este semnificativ mai mare decat profitul anului trecut, de 2,01 mld. lei.