SPATII CU NUCLEU COMPACT

SPAŢII CU NUCLEU COMPACT

Fie un spatiu topologic si , multimi deschise ale lui .

Notam , si spunem ca este mult mai jos" decât , iar relatia este definita în capitolul I.3.

Proprietati:

daca atunci ,

daca atunci ,

întotdeauna si, daca si atunci .

Teorema IV.1   Pentru multimile desch 10410j92k ise si ale spatiului ,

relatia implica ,

daca topologia Scott pe este aproximanta atunci relatia implica .

Demonstratie: Presupunem ca . Atunci exista o vecinatate Scott deschisa a lui astfel încât , oricare ar fi . Pe baza definitiei Scott-deschise, orice acoperire deschisa a lui contine o subacoperire finita a unui membru al lui , prin urmare si a lui , deci .

Reciproc, presupunem ca topologia Scott pe este aproximanta si .

Deoarece reuniunea multimilor deschise , avem ca , unde este o reuniunea unui numar finit de , rezulta deci . ■

Un spatiu se numeste cu nucleu compact (core-compact space) daca fiecare vecinatate deschisa a unui punct din contine o vecinatate deschisa a lui . Aceasta este echivaent cu a spune ca orice multime deschisa este reuniune de multimi deschise .

Observatie : Orice spatiu local compact este cu nucleu compact .

Teorema IV.2 Fie un spatiu cu nucleu compact.

Daca în atunci pentru un .

Multimea este Scott deschisa.

Daca este Scott deschisa si atunci pentru un .

Multimea pentru formeaza o baza pe topologia Scott a lui .

Daca atunci .

Demonstratie : Multimea deschisa este reuniune de multimi deschise , si fiecare multime deschisa este reuniune de multimi deschise . este reuniunea familiei de multimi deschise pentru care exista o multime deschisa cu . Deoarece este închisa în raport cu reuniunile finite, rezulta pentru un . Din definitia lui rezulta ca exista o multime deschisa cu , deci .

(2): Multimea este evident Alexandroff-deschisa. Daca atunci pentru un , aceasta rezulta din , am aratat ca fiecare acoperire deschisa a unui membru din are o subacoperire finita a unui membru din .

Multimea deschisa este reuniune de multimi deschise , si astfel de multimi deschise sunt închise în raport cu reuniuni finite.

Este o consecinta imediata din si

este o multime Scott deschisa cu si oricare ar fi .

Teorema IV.3 Un spatiu este exponentiabil daca si numai daca este cu nucleu compact. Mai mult, daca este un spatiu cu nucleu compact si este orice spatiu atunci topologia exponetialei este generata de multimi

,

unde acopera si acopera .

Demonstratie: Daca este exponentiabil atunci are o topologie exponentiala, deci este cu nucleu compact, aceasta rezulta din Teorema III.6 si din Teorema IV.1 .

Reciproc, daca este cu nucleu compact atunci are o topologie exponentiala, conform Teoremei III.6 si Teoremei IV.2 , rezulta ca este exponentiabil.

Pentru partea a doua, este usor de aratat ca daca este o topologie în cu o baza , atunci topologia în indusa de are ca subbaza multimile pentru în . Rezulta, multimile pentru formeaza o baza pe topologia Scott din daca este cu nucleu compact, deci topologia Isbell este indusa de topologia Scott. ■

Terminam aceasta parte arucând o scurta privire spre spatiile Hausdorff exponentiabile. Pentru multimile desch 10410j92k ise si ale unui spatiu Hausdorff, daca atunci pentru o multime compacta . Demonstratia aceste proprietati se gaseste în -[8], rezulta ca un spatiu Hausdorff este cu nucleu compact daca si numai daca este local compact. Mai mult, daca este Hausdorff si local compact atunci topologia exponentiala a lui este generata de multimile

unde parcurge submultimile compacte ale lui , iar pe cele deschise ale lui . Aceasta înseamna ca topologia exponentiala este topologie compact deschisa a carei proprietati sunt expuse în cartea lui Kelley "General topology". În acest caz topologia Scott a lui are multimile ca baza si este echivalent cu .