SPATII CU TOPOLOGIA EXPONENTIALA PE LATICEA MULTIMILOR DESCHISE

SPAŢII CU TOPOLOGIA EXPONENŢIALĂ PE LATICEA MULŢIMILOR DESCHISE

Topologia discreta pe este tare, iar topologia indiscreta pe este slaba.

O multime se numeste Alexandroff-deschisa daca si atunci .

Propozitie III.1 Familia multimilor Alexandroff-deschise din este o topologie în .

Demonstratie 1. si sunt evident Alexandroff- 16116y2413q deschise

Fie o familie de multimi Alexandroff-deschise.

si rezulta pentru un . Oricare ar fi si rezulta atunci ca si deci rezulta este Alexandroff-deschisa.

Fie multimi Alexandroff-deschise, .

rezulta , rezulta oricare ar fi cu rezulta , adica , deci rezulta este multime Alexandroff-deschisa. ■

Teorema III.1 Topologia Alexandroff este tare.

În particular, orice multime deschisa într-o topologie slaba este Alexandroff-deschisa.

Demonstratie Daca atunci este o submultie Alexandroff-deschisa pe cu o submultime deschisa pe . ■

Propozitie III.2 O multime Alexandroff-deschisa se numeste Scott deschisa daca orice acoperire deschisa a unui element din are o subacoperire finita a unui element din .

Demonstratie Fie si o acoperire deschisa .

rezulta este o acoperire deschisa a lui .

Exista subacoperire finita a unui element , rezulta compact în . ■

Propozitie III.3 Fie o submultime a lui . Multimea Alexandroff-deschisa este Scott deschisa daca si numai daca este compact.

Demonstratie : Presupunem Scott deschisa. Fie o acoperire deschisa a lui .

rezulta rezulta rezulta ca exista , , acoperita de un numar finit de elemente din care formeaza familia , rezulta extras din , deci este acoperire finita pentru de unde rezulta este compact.

Reciproc, presupunem compact.

Fie echivalent cu si fie acoperire deschisa pentru , atunci acoperire deschisa si pentru , compact de unde rezulta ca exista o subacoperire finita a lui .

Fie deci rezulta Scott deschisa. ■

Multimile Scott deschise formeaza o topologie.

Teorema III.2 Topologia Scott este slaba.

Demonstratie Fie o multime deschisa, si o vecinatate a lui care este Scott deschisa . Pe baza definitiei multimilor deschise în topologia produs, pentru fiecare exista si cu .

Deoarece este reuniunea multimilor si este Scott deschisa, atunci reuniunea unui numar finit de multimii apartine lui .

Fie intersectia multimilor deschise . Evident este o vecinatate a lui .

Trebuie sa aratam ca pentru fiecare . Este suficient sa aratam ca deoarece este Alexandroff-deschisa si stim ca .

Fie . Atunci pentru un , dar si atunci de unde rezulta . ■

Fie o topologie pe . Pentru notam prin

si va însemna ca apartine interiorului multimii .

Teorema III.3 daca si numai daca pentru orice cu pentru orice .

Demonstratie Presupunem rezulta pentru ca rezulta ca exista cu , , rezulta .

Reciproc, presupunem pentru un din si oricare ar fi , rezulta si rezulta . ■

Observatii

Daca rezulta .

a) Daca rezulta .

b) Daca rezulta , cu conditia ca este mai slaba decât topologia Alexandroff.

(3) Daca , si si atunci .

Lema III.1 Fie o topologie mai slaba decât topologia Alexandroff, notata . Atunci daca si numai daca multimea deschisa.

Demonstratie : Presupunem rezulta rezulta ca exista , , , rezulta si cum rezulta rezulta de unde obtinem ca rezulta

, deci este deschisa .

Reciproc, daca rezulta

si rezulta . ■

Lema III.2 Relatia este reflexiva daca si numai daca este o topologie Alexandroff.

Demonstratie : Fie , echivalent cu rezulta .

este Alexandroff-deschisa , deschisa rezulta rezulta rezulta deci . ■

În acest caz daca si numai daca .

se numeste aproximanta daca pentru orice vecinatate deschisa a unui punct din exista o vecinatate deschisa a lui .

Teorema III.4 O topologie pe este tare daca si numai daca este aproximanta.

Demonstratie : Presupunem ca este tare si fie o vecinatate deschisa a unui punct din .

Din deschisa si rezulta ca exista si astfel încât . Daca atunci . Deci, daca pentru fiecare rezulta .

Reciproc, presupunem ca este aproximana si . Atunci si cu .

Fie cu si pentru toate multimile , atunci rezulta este deschisa, deci obtinem topologie tare. ■

Teorema III.5 Topologia Scott este intersectia topologiilor tari.

Demonstrtie: Fiind slaba ea este inclusa în aceasta intersectie.

Reciproc, pentru fiecare , fie multimea tuturor submultimilor Alexandroff-deschise ale lui cu proprietatea ca daca acopera un membru al lui atunci are o subacoperire finita a unui membru al lui . Se vede usor ca aceasta este o topologie pe si prin constructie topologia Scott este intersectia tuturor topologiilor de acest fel.

Pentru a termina demonstratia este acum suficient sa se arate ca aceste topologi sunt tari.

Fie . Daca , atunci , si astfel . Pe de alta parte, daca pentru un atunci , de unde rezulta . De aceea este tare pe bata Teoremei III.4 . ■

Corolar III.1 Un spatiu are o topologie exponentiala în daca si numai daca topologia Scott pe este aproximanta, în acest caz topologia exponentiala este topologie Scott.

Topologia în indusa de topologia Scott pe este cunoscuta ca topologia Isbell.

Teorema III.6 Un spatiu este exponentiabil daca si numai daca topologia Scott pe laticea multimilor deschise este aproximanta. Mai mult, topologia pe un exponential este topologie Isbell.

Conform corolarului precedent, este topologie Scott pe .

Propozitie III.4 Daca este un spatiu exponentiabil atunci asa este si .

Demonstratie: Este suficient sa aratam ca topologia lui este aproximanta.

Presupunem ca . Este suficient sa demonstram ca pentru orice . Dar este exponential atunci este o topologie aproximanta în . fiind Scott deschisa atunci exista în .

Multimea deschisa induce o multime , care este o multime Scott deschisa.

Din definitia lui exista cu si oricare ar fi . Deci implica pentru orice , deoarece este Alexandroff-deschisa.

Am aratat ca oricare ar fi si, pentru ca rezulta . ■

Propozitie III.5 Daca este un spatiu exponentiabil si este compact, atunci este deschisa.

Demonstratie: Deoarece este topologie tare în si este exponentiabil, multimea este deschisa, si, deoarece este topologie slaba în si spatiul fiind de asemenea exponentiabil, transpusa sa este continua. Este clar ca . Din compactitatea lui rezulta ca multimea este deschisa deci la fel este si . Dar daca si numai daca adica, daca si numai daca oricare ar fi , daca si numai daca , deci . ■