SPAŢII EUCLIDIENE
Parcurgând aceasta lectie ve ti dobândi cunostinte referitoare la:
Spatii vectoriale euclidiene;
Produs scalar, norma unghi, distanta;
Baze ortonormate, transformari ortogonale, procedee de ortogonalizare;
Operatori autoadjuncti pe spatii euclidiene;
Aducerea unei forme patratice la o suma de patrate prin metoda transformarilor ortogonale.
Timpul minim pe care trebuie sa-l acordati aces 13113f56n tei lectii este de 4 ore.
L.VI.2.1 Produs scalar, norma, unghi, distanta
Notiunea de produs scalar
În spatiul vectorial real tridimensional al vectorilor geometrici, reprezentati de sageti, am pus în evidenta si alte operatii în afara de cele care definesc structura de spatiu vectorial: produsul scalar, produsul vectorial, produsul mixt. Aceste operatii au fost definite, ca si cele de adunare si de înmultire a vectorilor cu numere, folosindu-se notiunile geometrice de unghi si distanta, de care nu dispunem în cazul spatiului real cu mai multe dimensiuni.
Notiunea de produs scalar, într-un spatiu oarecare, se defineste preluând proprietatile esentiale ale produsului scalar din spatiul fizic.
Definitie
Se numeste produs scalar pe spatiul vectorial real V o operatie în care la
fiecare
pereche de vectori x si y din V se asociaza un scalar
(numar real) notat astfel încât sunt îndeplinite urmatoarele conditii:
;
;
;
, daca si
numai daca
.
Asa cum s-a stabilit în capitolul "Calculul vectorial", produsul scalar al vectorilor geometrici îndeplineste aceste conditii. Acest fapt are doua semnificatii. În primul rând el ofera un exemplu de produs scalar în sensul definit aici. Ca atare definitia este consistenta. În al doilea rând putem spune ca acest produs scalar este o generalizare a celui definit geometric în spatiul tridimensional.
Conditiile (2) si (3) exprima faptul ca produsul scalar, ca functie reala de doua variabile vectoriale x si y, este definit astfel încât, daca se fixeaza variabila x, se obtine o functie reala liniara în y. Conditia (1), de simetrie asigura ca produsul scalar este liniar si în x. Asadar, conditiile (1), (2) si (3) exprima faptul ca produsul scalar este o forma biliniara simetrica. Urmatoarea propozitie releva continutul conditiei (4).
Propozitie
O forma biliniara simetrica definita pe spatiul vectorial real V este produs scalar daca si numai daca forma patratica asociata ei este pozitiv definita.
Demonstratie
Fie o forma
biliniara simetrica a spatiului V.
Notând , sunt îndeplinite conditiile (1), (2) si (3).
Daca forma patratica asociata
este pozitiv
definita, atunci exista o baza în care expresia formei
patratice este:
,
în care sunt coordonatele
vectorului x în acea baza.
Deoarece
este o suma de
patrate rezulta ca
. În plus, suma de patrate
daca si
numai daca toti termenii sumei sunt nuli, deci atunci si numai
atunci când
.
Reciproc,
sa presupunem ca forma biliniara simetrica din care provine
forma patratica este un produs scalar
adica îndeplineste conditia (4):
daca si
numai daca
. Fie
o baza în care
expresia formei patratice este o suma de patrate:
. Rezulta ca pentru orice
si deci
, adica forma patratica
este pozitiv
definita. Q.E.D.
Din propozitia anterioara rezulta ca un produs scalar este o forma biliniara simetrica a carei forma patratica este pozitiv definita. Evident ca pe un spatiu vectorial real se pot defini mai multe produse scalare si anume atâtea câte forme patratice pozitiv definite sunt.
Daca
spatiul este finit generat, de dimensiune n, atunci multimea formelor patratice pozitiv definite
(deci a produselor scalare) este în corespondenta bijectiva cu
multimea matricelor patratice reale de ordinul n, simetrice, având toti minorii care au fost
definiti în metoda Iacobi strict pozitivi.
Notiunea de spatiu euclidian
Se
numeste spatiu euclidian un
spatiu vectorial real împreuna cu un produs scalar pe care-l vom nota
ca mai sus: înseamna produsul
scalar al vectorilor x si y. Pentru a desemna un spatiu
euclidian vom folosi de regula litera E
în loc de V.
Asa cum am mentionat, pe un spatiu vectorial real V exista o infinitate de produse scalare. Alegerea unuia dintre acestea confera spatiului V o structura algebrica prevazuta cu o operatie în plus fata de cele ale spatiului vectorial. Aceasta structura poarta numele de spatiu euclidian.
Inegalitatea lui Cauchy
Pentru
orice vector x al spatiului
euclidian E notam: .
Din definitia
produsului scalar, numarul de sub radical este pozitiv (chiar strict
pozitiv daca ), astfel încât radacina sa patratica
este corect definita ca numar real pozitiv si îl numim norma lui x. Pentru orice pereche de vectori x si y este
îndeplinita urmatoarea inegalitate numita inegalitatea lui Cauchy:
.
Într-adevar,
pentru orice numar real , din definitia produsului scalar, avem
, deci
. Rezulta ca discriminantul acestui trinom de
gradul doi în
este negativ:
, de unde se obtine inegalitatea enuntata.
Inegalitatea triunghiului (Mincowski)
Pentru
demonstratie folosim proprietatile din definitia produsului
scalar: . Cu notatia introdusa aceasta înseamna:
de unde, folosind inegalitatea lui Cauchy, , obtinem inegalitatea triunghiului.
Spatii normate, spatii Banach, spatii Hilbert.
Se
numeste norma pe
spatiul vectorial real V o
functie având urmatoarele
proprietati:
daca si
numai daca
;
;
.
Un spatiu vectorial real se numeste spatiu vectorial normat daca pe acest spatiu s-a definit o norma.
Exemplu
În
orice spatiu euclidian E se
poate defini norma: . Din proprietatile produsului scalar si din
inegalitatile Cauchy si Mincowski, rezulta cele trei
conditii din definitia normei.
Un vector al unui spatiu normat (în particular euclidian) se numeste versor daca are norma egala cu unu.
O
multime oarecare X se
numeste spatiu metric
daca exista o functie: numita distanta având
urmatoarele proprietati:
.
.
daca si
numai daca
.
Exemple
Pe
orice spatiu normat (si deci pe orice spatiu euclidian) se poate
defini distanta în felul urmator: . Folosind proprietatile din definitia normei
se pot demonstra cu usurinta proprietatile din
definitia distantei.
Pe
un spatiu vectorial real se pot defini distante care sa nu
provina din nici-o norma, cum ar fi: pentru
si
pentru
.
Pe orice spatiu metric se poate defini o topologie cunoscuta sub numele de
"topologia spatiului metric". Mentionam ca un spatiu topologic se numeste spatiu topologic complet daca orice sir fundamental este convergent.
Se numeste spatiu Banach un spatiu normat care, cu topologia corespunzatoare, este complet. Daca, în plus, spatiul este euclidian, adica norma este definita de un produs scalar, atunci spatiul se numeste spatiu Hilbert.
Unghiul a doi vectori nenuli într-un spatiu euclidian
Fie
E un spatiu euclidian si x, y doi vectori nenuli din E. Numim unghiul vectorilor x si y, notat unghiul din intervalul
definit de:
.
Inegalitatea
lui Cauchy asigura ca membrul drept al egalitatii este un
numar cuprins în intervalul deci poate fi
cosinusul unui unghi. Pe de alta parte, din monotonia functiei cos pe
intervalul
rezulta ca
acest unghi este determinat.
Spunem
ca vectorii x si y sunt ortogonali daca unghiul lor este drept. Acest lucru este
echivalent cu conditia: .
Alegând pe spatiul vectorial al vectorilor geometrici (definiti cu ajutorul sagetilor) produsul scalar obisnuit, unghiul definit mai sus este acelasi cu cel obtinut prin masurarea cu ajutorul raportorului. La fel, norma unui vector, coincide cu lungimea lui obtinuta prin masurarea cu ajutorul riglei gradata adecvat.
Daca însa alegem pe acest spatiu alt produs scalar, atunci nici lungimea vectorilor si nici unghiul lor nu vor mai fi aceleasi. De exemplu, pe de o parte se pierde atât calitatea de versor, cât si calitatea de vectori ortogonali, iar pe de alta parte unii vectori cu lungimea diferita de unu devin versori si alti vectori ce formeaza unghiuri ascutite sau obtuze devin ortogonali.
L.VI.2.2 Baze ortonormate, transformari ortogonale
Baze ortonormate
Fie
E un spatiu euclidian finit
generat. Se numeste baza
ortonormata o baza formata din
versori ortogonali doi câte doi.
Din
definitia versorului si a unghiului a doi vectori rezulta
ca o baza ortonormata se caracterizeaza prin faptul ca
simbolul lui Kronecker, care este
elementul generic al matricei unitate. Asadar o baza este ortonormata daca si numai daca
matricea produsului scalar, considerat ca forma biliniara
simetrica este tocmai matricea unitate
.
Reamintim ca daca A este matricea unei forme biliniare φ în baza :
sunt coordonatele lui x,
iar
sunt coordonatele lui y, atunci:
.
Luând în locul formei
φ produsul scalar, faptul ca, în acest caz, conduce la:
Asadar o baza ortonormata se poate caracteriza prin faptul ca produsul scalar a doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzatoare ale celor doi vectori în aceasta baza.
Metoda lui Gauss pentru construirea unei baze ortonormate
În capitolul anterior am aratat deja ca daca o forma patratica este pozitiv definita atunci exista o baza în care matricea sa este matricea unitate. Produsul scalar se defineste tocmai ca forma biliniara simetrica a carei forma patratica este pozitiv definita. Asadar exista o baza în care matricea produsului scalar este matricea unitate.
Reamintim procedeul
de obtinere a unei astfel de baze. Folosind metoda lui Gauss se aduce la o
suma de patrate forma patratica definita de produsul
scalar. Se obtine o baza în care matricea acestei
formei patratice este o matrice diagonala.
Deoarece forma este
pozitiv definita elementele de pe diagonala sunt numere strict
pozitive. Faptul ca matricea produsului scalar este o matrice
diagonala înseamna ca pentru
, adica vectorii
sunt ortogonali doi
câte doi. Evident ca ei vor ramâne tot ortogonali daca vor fi
înmultiti cu scalari nenuli.
Pe de alta parte
orice vector nenul x devine versor
daca se înmulteste cu scalarul . Într-adevar,
.
Operatia
prin care din vectorul nenul x
obtinem versorul se numeste normare. Matricea coordonatelor
versorilor
în baza
este matricea
diagonala având pe diagonala inversele normelor vectorilor
, deci este o matrice nesingulara, de unde rezulta
ca acesti versori constituie o baza.
Metoda lui Gramm de ortonormare
Urmatoarea
metoda descrie construirea pas cu pas a unei baze ortonormate. Fie o baza oarecare a
spatiului euclidian E si
notam
versorul obtinut prin normarea lui
.
Pentru
a obtine urmatorul versor al unei baze ortonormate calculam
vectorul auxiliar . În primul rând sa observam ca
deoarece
este o combinatie
liniara a vectorilor
în care coeficientul
lui
este egal cu unu
(vectorul
se obtine prin
înmultirea vectorului
cu un numar). Pe
de alta parte,
,
adica este ortogonal pe
. Notând cu
versorul obtinut
prin normarea lui
, acesta va fi, de asemenea, ortogonal pe
.
Analog, consideram vectorul auxiliar .
Deoarece si
sunt combinatii
liniare numai de vectorii
rezulta ca
este o combinatie
liniara de vectorii liniar independenti
în care
coeficientul lui
este nenul, deci
.
Vom
arata ca este ortogonal si pe
si pe
.
unde am folosit liniaritatea produsului scalar si ca
.
Versorul
al lui
va fi iarasi
ortogonal si pe
si pe
.
Se
continua acest procedeu pâna se obtin versorii ortogonali doi câte
doi. Acestia sunt liniar independenti deoarece daca
, înmultind scalar ambii membri ai acestei
egalitati cu versorul
se obtine
pentru orice indice i. Asadar ei formeaza o
baza.
Este util de retinut ca orice sistem de n versori ortogonali doi câte doi constituie o baza.
În continuare vom studia multimea bazelor ortonormate ale unui spatiu euclidian finit generat.
Transformari ortogonale
Se
numeste transformare ortogonala
trecerea de la o baza ortonormata la o alta baza ortonormata
.
Notând
matricea de trecere,
observam ca:
.
Ţinând
seama ca atât baza , cât si baza
sunt ortonormate
rezulta ca elementul generic al produsului TtT este:
adica . Asadar
.
Mentionam
ca o matrice T care are
proprietatea: se numeste matrice ortogonala. Am ajuns la
concluzia ca matricea de trecere de
la o baza ortonormata la o alta baza ortonormata este
o matrice ortogonala.
Reciproc,
daca baza este ortonormata,
atunci elementul generic al matricei
este
. Daca, în plus, matricea T este ortogonala, atunci elementul generic al matricei
este
, deci
adica baza
este ortonormata.
În
concluzie, daca baza este ortonormata,
atunci
este ortonormata
daca si numai daca matricea de trecere T este ortogonala.
În
acest fel, multimea bazelor ortonormate se identifica cu
multimea matricelor ortogonale de ordinul n. Aceasta multime se noteaza cu si se poate
usor verifica faptul ca este un grup fata de operatia de
înmultire a matricelor, numit grupul
ortogonal liniar.
Proprietati ale matricelor ortogonale
I)
Daca matricea T a unui operator f al spatiului euclidian E
într-o baza ortonormata este ortogonala,
atunci matricea lui f în orice
alta baza ortonormata va fi tot ortogonala.
Într-adevar, fie
o alta baza ortonormata, notam
matricea de trecere de la baza
la baza
si S matricea lui f în baza
. Ca si T,
matricele
si S sunt ortogonale si
. Rezulta:
si
adica
.
Definitie
I) Un operator f al spatiului euclidian E se numeste operator ortogonal daca matricea sa într-o baza ortonormata este ortogonala.
Consistenta acestei definitii se bazeaza pe proprietatea anterioara.
II)
Daca f este un operator
ortogonal al spatiului euclidian E,
atunci pentru orice vectori x si
y, . Altfel spus, un operator ortogonal pastreaza
produsul scalar.
Într-adevar,
fie T matricea lui f într-o baza ortonormata si
X, Y coloanele coordonatelor vectorilor x
si y în aceasta baza.
Rezulta ca T este
ortogonala si
III)
Valorile proprii reale ale unei matrice ortogonale T sunt egale cu 1
sau -1.
Într-adevar,
fie f operatorul spatiului
euclidian E care în baza
ortonormata este reprezentat de
matricea T. Rezulta ca f este un operator ortogonal. Fie λ
o valoare proprie si v un vector
propriu corespunzator, adica
. Rezulta pe de o parte ca
, iar pe de alta parte
. Asadar
si cum
deducem ca
.
Transformarile ortogonale ale dreptei
Pentru
matricea T se identifica cu un numar
real
. Conditia
revine la
, de unde rezulta
. Grupul ortogonal de ordinul unu,
, se identifica cu grupul radacinilor de
ordinul doi ale unitatii. Daca fixam un punct pe o
dreapta, spatiul euclidian de dimensiune unu se identifica cu
multimea punctelor dreptei. Daca e
este unul din cei doi versori ai dreptei, atunci bazele e si -e constituie
cele doua baze ortonormate corespunzatoare celor doua elemente
ale grupului
.
Transformarile ortogonale ale planului
Determinam
mai întâi multimea matricelor ortogonale de ordinul doi. Daca este o astfel de
matrice, atunci conditia
este echivalenta
cu:
.
Prima
ecuatie a sistemului înseamna ca se pot scrie sub
forma:
. Analog, din a doua ecuatie rezulta:
. În acest fel cele patru necunoscute s-au redus la
doua,
situate în intervalul
. Ele trebuie sa satisfaca ecuatia a treia,
adica:
.
Deoarece
se afla în
intervalul
rezulta ca:
. În plus sa observam ca
determina
aceleasi valori pentru γ si
ca si
. La fel,
determina
aceleasi valori pentru γ si
ca si
. Asadar sunt doua cazuri posibile.
Cazul I. de unde
. Sa observam mai întâi ca toate matricele de
aceasta forma au determinantul egal cu unu.
În
continuare ne propunem sa identificam bazele ortonormate reprezentate
de aceste matrice. Pornim de la baza ortonormata constituita de
versorii si
ai axelor unui sistem
cartezian de axe ortogonale xOy.
Matricea T este matricea de trecere
de la aceasta baza la o alta baza ortonormata
formata din vectorii
ale caror
coordonate în baza initiala sunt pe coloanele matricei T:
Vectorul
se obtine prin
rotirea lui
cu unghiul
în sens trigonometric
în jurul originii. La fel, vectorul
se obtine
prin rotirea lui
cu unghiul
, ceea ce este acelasi lucru cu rotirea lui
cu unghiul
.
Prin
urmare, sistemul de vectori se obtine prin
rotirea sistemului rigid
cu unghiul
în sens trigonometric în jurul originii.
Cazul II. de unde
. Observam de aceasta data ca aceste
matrice au determinantul egal cu minus unu.
Vectorii
ai noii baze,
reprezentate de matricea ortogonala T
sunt:
,
adica , dar
Asadar,
noua baza se obtine prin
rotirea sistemului rigid de vectori
cu unghiul
urmata de
simetria acestui sistem fata de axa lui
.
Transformari ortogonale în spatiu
Fie
T o matrice ortogonala de
ordinul trei pe care o interpretam ca matricea de trecere de la baza a versorilor axelor
unui triedru triortogonal Oxyz la o
alta baza ortonormata
.
Ne
propunem sa studiem operatorul liniar f
al spatiului euclidian tridimensional care în baza este reprezentat de
matricea T. În acest scop, îi punem
în evidenta valorile proprii si vectorii proprii.
Polinomul
caracteristic al matricei T fiind de
gradul trei, el are cel putin o radacina reala . Una din proprietatile matricelor ortogonale
demonstrate mai sus atesta ca
. Daca matricea T
nu are valoarea proprie
, atunci sigur matricea -T
are aceasta valoare proprie. Deci putem presupune ca
este valoare proprie a
matricei T.
Fie
un versor al
directiei vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii
adica
. Completam sistemul liniar independent constituit de
vectorul
pâna la o
baza, pe care ortonormând-o prin procedeul lui Gramm obtinem baza
.
Sa notam U matricea lui f în baza . Deoarece
rezulta ca
pe prima coloana se afla coordonatele lui
în baza
adica 1, 0, 0. Fie
coordonatele lui
în baza
adica
.
Pe de o parte
.
Pe de alta parte,
notând coloanele
coordonatelor vectorilor
, respectiv
si tinând
seama ca
, rezulta:
Asadar, . În mod analog, notând
elementele celei de a
treia coloane a matrice U, care sunt
coordonatele lui
în baza
, ajungem la concluzia ca
. Deci matricea U
are forma:
.
Sa aratam ca blocul
este o matrice
ortogonala de ordinul doi. Fie S
matricea de trecere de la baza
la baza
. Deoarece ambele baze sunt ortonormate, matricea S este ortogonala. Pe de alta
parte, din formula de transformare a matricei unui operator la schimbarea bazei
rezulta:
. Deci matrice U ,
fiind un produs de matrice ortogonale, este ortogonala, adica
. De aici rezulta ca matricea
este ortogonala.
Asadar,
sau
Interpretare geometrica
Sa
notam axele versorilor
respectiv. Reamintim
ca asociind punctelor vectorii lor de pozitie (cu sursa în O) coordonatele carteziene ale unui
punct în reperul cartezian OXYZ sunt
coordonatele vectorului de pozitie în baza
.
Fie
v vectorul de pozitie al
punctului oarecare P. Vrem sa
vedem ce devine . Vectorul v se
descompune
în care
este proiectia
lui v pe axa OX, deci are directia lui
iar
este în planul OYZ, adica este o combinatie
liniara de
. Deoarece
rezulta ca
.
Daca
atunci
se obtine prin
rotirea lui
cu unghiul
în planul YOZ în sens trigonometric privit din
semispatiul în care se afla axa OX.
Rezulta ca vectorul v (deci
punctul P) se roteste în jurul axei lui
cu unghiul
în sensul dat de regula surubului drept.
Daca
atunci
se obtine din
rotirea ca mai sus a lui
urmata de
simetria fata de axa lui
. Transformarea
a vectorului v este aceeasi rotire a lui v descrisa mai înainte, urmata de simetria fata de
planul determinat de
si
.
Sa mai observam ca trecerea de la f la -f înseamna simetria fata de origine care este compunerea a trei simetrii fata de plane.
În concluzie orice transformare ortogonala este o rotatie în jurul unei axe urmata, eventual, de o simetrie fata de un plan.
Deoarece produsul a doua matrice ortogonale este tot o matrice ortogonala rezulta ca rezultatul rotirii succesive în jurul unor axe este rotirea în jurul unei a treia axe.
L.VI.2.3 Operatori simetrici în spatii euclidiene
Adjunctul unui operator
Pe
spatiul euclidian E se
considera operatorii care în baza
ortonormata
sunt reprezentati
de matricele
, respectiv
. Sa observam ca daca
, atunci în orice alta baza ortonormata
matricea lui
este transpusa
matricei lui
.
Într-adevar,
fie o alta baza
ortonormata si T matricea
de trecere de la baza
la baza
. Matricea T este
ortogonala. Matricele
ale operatorilor
, respectiv
în noua baza
sunt:
si deci:
.
Aceasta constatare da sens urmatoarei definitii.
Definitie
Fie
f un operator liniar al
spatiului euclidian finit generat E.
Se numeste adjunctul operatorului f,
operatorul a carui matrice
într-o baza ortonormata este transpusa matricei lui f în acea baza.
Pentru adjunctul unui operator se poate da o caracterizare "intrinseca", adica fara sa facem apel la o baza a spatiului.
Propozitie
Fie
f un operator liniar al
spatiului euclidian finit generat E.
Operatorul g este adjunctul lui f daca si numai daca
pentru orice pereche de vectori x si
y din E se îndeplineste relatia: .
Demonstratie
Fie o baza
ortonormata, A si B matricele operatorilor f, respectiv g în aceasta
baza, X si Y coloanele coordonatelor vectorilor x, respectiv y.
Daca
g este adjunctul lui f , atunci si deci:
.
Reciproc,
presupunem ca pentru orice pereche de vectori x si y este
îndeplinita relatia: . Aceasta relatie este echivalenta cu:
sau:
pentru orice pereche
de matrici coloana X si Y. Rezulta atunci
adica
. Q.E.D.
Operatori simetrici. Proprietati
Operatorul
f al spatiului euclidian finit
generat E se numeste operator simetric sau autoadjunct daca .
Daca
A este matricea lui f într-o baza ortonormata,
atunci conditia ca f sa fie
simetric este echivalenta cu: . Deci un operator este
simetric daca si numai daca matricea sa într-o baza
ortonormata este simetrica.
În continuare, mentionam doua proprietati remarcabile ale operatorilor simetrici.
Propozitia 1
Valorile proprii ale unui operator simetric al unui spatiu euclidian finit generat sunt numere reale.
Demonstratie.
Fie f un operator simetric, A matricea sa în baza ortonormata si
o valoare proprie.
Deoarece
, sistemul omogen
are cel putin o
solutie nebanala
, formata din numere, în principal, complexe daca
este un numar
complex. Din sistem rezulta
Conjugata unei matrice se obtine înlocuind elementele matricei cu conjugatele lor. Din regulile de calcul cu numere complexe rezulta ca produsul conjugatelor a doua matrice este conjugatul produsului matricelor. În plus, deoarece A este reala, rezulta:
.
Mai departe,
tinând seama ca , obtinem:
Din
asociativitatea înmultirii matricelor si din faptul ca este solutie
nebanala a sistemului, deducem ca
, adica
este numar real.
Q.E.D.
Propozitia 2
Vectorii proprii ai unui operator simetric corespunzatori la valori proprii distincte sunt ortogonali.
Demonstratie
Fie f un operator simetric al spatiului
euclidian E si
vectori proprii
corespunzatori la doua valori proprii distincte
, adica
.
Pe
de o parte, . Pe de alta parte,
Rezulta
.
Cum , înseamna ca
. Q.E.D.
Teorema fundamentala a operatorilor simetrici
Teorema
Orice operator simetric al unui spatiu euclidian finit generat admite o baza ortonormata formata din vectori proprii.
Demonstratie
Efectuam demonstratia prin inductie dupa dimensiunea n a spatiului.
Etapa
de verificare. Daca , atunci orice vector nenul al spatiului este vector
propriu. Normând un vector oarecare nenul, versorul obtinut constituie o
baza ortonormata formata dintr-un singur vector care este vector
propriu.
Etapa de demonstratie
Ipoteza
Orice operator simetric al unui spatiu euclidian de dimensiune n admite o baza ortonormata formata din vectori proprii.
Concluzia
Orice operator simetric al unui spatiu euclidian de dimensiune n + 1 admite o baza ortonormata formata din vectori proprii.
Demonstratie
Fie f un operator simetric al spatiului
euclidian E de dimensiune . Propozitia 2. asigura ca operatorul f admite cel putin o valoare
proprie reala
. Notam
un vector propriu
corespunzator acestei valori proprii.
Sistemul
format din singurul vector este liniar
independent (fiind vector nenul), deci se poate completa pâna la o baza:
exista vectorii
, astfel încât
constituie o baza
a lui E. Fie
baza ortonormata
obtinuta prin procedeul lui Gramm.
Conform
acestei metode vectorul se obtine
prin normarea lui
adica prin
înmultirea lui
cu un anumit
numar nenul. Deoarece
este vector propriu
corespunzator valorii proprii
, rezulta ca la fel este si versorul
, adica
.
Notând cu matricea lui f în aceasta baza, prima
coloana a acestei matrici este constituita din numerele:
, care sunt
coordonatele lui
în baza
.
Pe de alta
parte, operatorul f fiind simetric
si baza fiind ortonormata
rezulta ca matricea
este simetrica.
Deci aceleasi numere
constituie si
prima linie a matricei
. Asadar matricea A
are forma:
Notam
cu E
subspatiul generat de vectorii: . Ca orice subspatiu al unui spatiu euclidian,
subspatiul
este si el un
spatiu euclidian (produsul scalar se ia acelasi cu cel din E). Subspatiul euclidian
are dimensiunea n, vectorii
constituind o
baza ortonormata a acestui spatiu.
Fie
f ' restrictia lui f la subspatiul . Aceasta restrictie este, în principiu o aplicatie liniara de la E' la E. Dar cum a doua coloana a
matricei
este constituita
din coordonatele lui
în baza
, rezulta ca:
.
La fel se
arata ca si ceilalti vectori, sunt în
. Asadar în realitate
f ' este un operator liniar al lui
. Matricea operatorului f
' al lui
este tocmai blocul
al lui
care este evident o matrice
simetrica din moment ce întreaga matrice
este simetrica.
Deoarece matricea A a operatorului
al spatiului
euclidian
în baza
ortonormata
este simetrica,
rezulta ca operatorul
este simetric.
Aplicând
ipoteza de inductie deducem ca
exista o baza
a lui
, tot ortonormata ca si
, dar formata din vectori proprii.
Sa
aratam ca vectorii: constituie o baza ortonormata a lui
formata din
vectori proprii ai lui f.
În
primul rând, versorii fiind vectori proprii
ai lui
, ei sunt, evident, vectori proprii si pentru f. Deci toti vectorii:
sunt vectori proprii
ai lui f. Pe de alta parte,
vectorul
fiind ortogonal pe
generatorii
ai subspatiului
va fi ortogonal pe
orice vector al acestui spatiu, deci implicit pe vectorii
. Asadar, versorii
sunt ortogonali doi câte doi, deci ei constituie o baza ortonormata a
spatiului E. Q. E. D.
Metoda transformarii ortogonale de aducere a unei forme patratice la o suma de patrate.
În cazul spatiului euclidian, pe lânga metodele Gauss si Iacobi, vom elabora înca o metoda de aducere a unei forme patratice la o suma de patrate.
Consideram
o forma
patratica a spatiului euclidian E care în baza ortonormata
este reprezentata
de matricea simetrica A.
Aceeasi matrice A poate reprezenta un operator f al spatiului E. Matricea A fiind simetrica si baza fiind ortonormata rezulta ca operatorul f este simetric.
Conform
teoremei fundamentale a operatorilor simetrici exista o baza
ortonormata a spatiului E constituita din vectori proprii
ai lui f. Notând cu T matricea de trecere de la baza
la baza
, aceasta este o matrice ortogonala
, iar matricea B a
lui f în noua baza va fi:
,
în care sunt valorile proprii
ale matricei A.
Deoarece
rezulta ca
matricea formei patratice
în noua baza
va fi:
. Asadar matricea lui
în noua baza este
o matrice diagonala. Ca urmare, expresia formei patratice
în aceasta
baza este o suma de patrate, coeficientii patratelor
fiind elementele de pe diagonala matricei B.
În
concluzie putem formula urmatoarea metoda de aducere a unei forme
patratice la o suma de patrate, numita "metoda
transformarii ortogonale": Se calculeaza valorile proprii ale
matricei A a formei patratice într-o baza
ortonormata. Aceste valori proprii stim ca sunt reale. Ele
constituie coeficientii patratelor în noua expresie a formei. Baza în
care forma
are aceasta
noua expresie este o baza ortonormata formata din vectori
proprii ai matricei A. Teorema
fundamentala a operatorilor simetrici ne asigura ca exista
o astfel de baza.
Exemplu
Consideram
spatiul euclidian în care produsul scalar este definit,
astfel încât baza canonica este o baza ortonormata. Ne propunem
sa aducem la o suma de patrate forma patratica:
,
în care sunt coordonatele
vectorului variabil x în baza
canonica
. Matricea formei este:
.
Coeficientii
polinomului caracteristic sunt: . Deci polinomul caracteristic este:
care are
radacinile:
Deci expresia formei patratice este:
,
în care sunt coordonatele
vectorului variabil x într-o
noua baza ortonormata
formata din
vectori proprii ai matricei A.
Determinam
aceasta baza. Pentru sistemul din care
se determina vectorii proprii este:
Ecuatiile fiind
proportionale sistemul este dublu nedeterminat, asa cum era de
asteptat deoarece valoarea proprie este dubla.
Luând ca necunoscute secundare
, în spatiul bidimensional al solutiilor sistemului
se alege o baza formata din doi vectori, si anume:
-
din rezulta
si deci am
obtinut vectorul
;
-
din rezulta
si deci am
obtinut vectorul
.
Folosind
procedeul lui Gramm, din baza a subspatiului
vectorilor proprii corespunzatori valorii proprii
, se obtine o baza ortonormata
:
.
Pentru a afla pe se calculeaza mai întâi vectorul auxiliar
:
si apoi:
.
Pentru se obtine
sistemul:
,
care se rezolva prin metoda eliminarii succesive:
.
Sistemul
este simplu nedeterminat având ca necunoscuta secundara x careia-i atribuim valoarea arbitrara . Se obtine:
,
, deci vectorul
. Se determina α, astfel încât v sa devina versor:
.
Luând, de exemplu se obtine:
care împreuna cu
constituie o baza
ortonormata formata din vectori proprii ai matricei A.
L.VI.2.4 PROBLEME PROPUSE
PP.VI.2.4.1 Fie si
doi vectori oarecare
din spatiul vectorial real
. Sa se cerceteze care dintre expresiile urmatoare
defineste un produs scalar pe
:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
PP.VI.2.4.2 Fie spatiul
spatiul vectorial real al functiilor polinomiale reale definite pe
intervalul
.
a)
Sa
se arate ca formeaza o
baza în
;
b) Sa se demonstreze ca este un spatiu
euclidian în raport cu aplicatia definita prin:
;
c) Polinoamele obtinute din baza
canonica prin procedeul de
ortogonalizare se numesc polinoame Legendre. Sa se scrie primele cinci
polinoame Legendre.
PP.VI.2.4.3 Fie un spatiu
euclidian,
un subspatiu al
sau si
produsul scalar în
spatiul
. Sa se arate ca:
a) Multimea este un subspatiu
al lui
(numit subspatiul
ortogonal al lui
);
b) Subspatiile si
admit suma
directa;
c) .
PP.VI.2.4.4 Pe spatiul vectorial real al
functiilor continue , se defineste aplicatia:
.
a) Sa se arate ca aplicatia defineste un produs
scalar pe ;
b) Sa se calculeze unghiul dintre si
;
c) Sa se calculeze pentru
;
d) Sa se determine o
functie care sa fie
ortogonala functiei constante
în spatiul euclidian
considerat.
PP.VI.2.4.5 Fie spatiul euclidian canonic . Sa se gaseasca o baza ortonormata
pentru subspatiul generat de vectorii:
a) ;
b) .
PP.VI.2.4.6 Fie forma patratica definita prin:
.
Sa se reduca la axele principale prin metoda transformarilor ortogonale si sa se gaseasca directiile principale si formulele de schimbare a coordonatelor.
L.VI.2.5 TEST DE AUTOEVALUARE
TAev.VI.2.5.1 a) Fie si
doi vectori oarecare
din spatiul vectorial real
. Sa se arate ca aplicatia definita prin
este un produs scalar
pe
;
b) Fie si
doi vectori oarecare
din spatiul vectorial
. Sa se arate ca aplicatia definita prin
este un produs scalar
pe
;
c) Sa se arate ca spatiul
vectorial complex al functiilor cu valori complexe, continue pe un
interval , este un spatiu euclidian complex în raport cu
aplicatia definita prin:
.
TAev.VI.2.5.2 Sa se descompuna vectorul din spatiul
euclidian
în suma a doi vectori:
, unde
, cu
.
TAev.VI.2.5.3 Sa se adauge matricei
înca doua linii ortogonale între ele si cu primele trei linii.
TAev.VI.2.5.4 Sa se
arate ca subspatiile si
din
, unde
,
si respectiv
,
, sunt ortogonale.
TAev.VI.2.5.5 Fie spatiul vectorial
real al functiilor polinomiale reale de grad cel mult
si
si
doi vectori din
.
a) Sa se arate ca aplicatiile:
(1) ,
si
(2) ,
sunt produse scalare pe ;
b) Sa se stabileasca marimea
unghiurilor si
, unde
, utilizând produsul scalar (1);
c) Sa se arate ca sistemul de
functii formeaza o
baza ortonormata fata de produsul scalar (2).
TAev.VI.2.5.6 Fie forma biliniara definita prin:
si
operatorul care are în baza
canonica matricea:
.
Sa se arate ca:
a)
este produs scalar;
b)
este autoadjunct
.
M.VI TEMĂ DE CONTROL
TC.VI.1 Fie urmatoarele
matrice din
:
.
a)
Sa se gaseasca o forma liniara pe
astfel încât:
;
b) Sa se determine
multimea , dimensiunea si o baza a acestui subspatiu.
TC.VI.2 Se da forma
biliniara :
.
Sa se
scrie sub forma matriceala si sa se gaseasca
matricea corespunzatoare formei biliniare în raport cu baza: , unde:
,
,
,
.
TC.VI.3 Se da forma patratica: :
. Sa se scrie sub forma matriceala, sa se
aduca la expresia canonica prin metoda lui Gauss, metoda lui Jacobi
si respectiv prin metoda valorilor proprii, sa se stabileasca
matricea de trecere în fiecare caz si sa se verifice teorema de
inertie.
TC.VI.4 Fie aplicatia , definita prin:
,unde
si
,
, unde
.
a)
Sa se determine a si b astfel încât aplicatia sa fie o
forma biliniara simetrica de rang 2 în raport cu baza
canonica din
;
b)
Pentru a si b astfel determinati sa se gaseasca matricea
formei , în raport cu baza
, unde:
;
c)
Sa se gaseasca o baza în
în care matricea
lui
sa fie matrice
diagonala, iar
sa aiba
forma canonica;
d) Sa se exprime în baza duala
.
TC.VI.5 Sa se
demonstreze ca orice matrice pozitiv definita admite o descompunere
triunghiulara, adica exista o matrice superior
triunghiulara
astfel încât
se poate reprezenta
sub forma produsului:
. Sa se deduca aceasta descompunere pentru
matricea atasata fiecareia dintre formele patratice:
1) ,
;
2) ,
;
3),
;
TC.VI.6 Sa se arate ca în spatiul real al functiilor cu
valori reale, continue pe un interval , aplicatia definita prin:
este un produs scalar care induce o structura de
spatiu euclidian.
TC.VI.7 Fie spatiul vectorial
real al sirurilor de numere reale
pentru care seria
este convergenta.
Fie
si
doua elemente din
.
a) Sa se arate ca seria este absolut
convergenta;
b) Sa se verifice ca aplicatia definita prin este un produs scalar
pe
;
c) Sa se calculeze pentru
si sa se
determine
stiind ca
;
d) Sa se arate ca sirul cu termenul general apartine
exteriorului sferei cu centrul în origine, de raza
si bilei deschise
cu centrul în origine, de raza
.
TC.VI.8 Fie spatiul vectorial
euclidian canonic al al functiilor reale, continue, definite pe
, înzestrat cu produsul scalar definit prin:
.
a) Sa se verifice ca multimea , unde
este liniar
independenta si sa se ortonormeze;
b) Fie subspatiul de
dimensiune
generat de vectorii:
(spatiul
vectorial al polinoamelor trigonometrice), sa se expliciteze
proiectia lui
pe
, unde
.
TC.VI.9 Se dau formele patratice:
,
;
2) ,
.
Sa se arate ca
formele biliniare simetrice atasate celor doua forme patratice, si respectiv
, sunt produse scalare pe
si pentru fiecare
sa se gaseasca câte o baza ortonormata în raport cu
produsul scalar respectiv.
TC.VI.10 Ecuatia carteziana a unei
suprafete din este:
.
Sa se stabileasca natura suprafetei, ecuatia sa redusa la axele principale, directiile axelor principale în care suprafata este redusa la forma canonica si formulele de schimbare a coordonatelor.
TC.VI.11 Fie
un operator liniar a
carei matrice asociata în baza canonica a lui
este
, unde
este matricea unitate
de ordinul
, iar
este matricea de
ordinul
cu toate elementele
egale cu 1.
a) Sa se calculeze valorile proprii ale operatorului ;
b) Pentru sa se reduca
forma patratica
, la forma canonica prin metoda transformarilor
ortogonale si sa se precizeze transformarea ortogonala
corespunzatoare.
TC.VI.12 Fie formele patratice:
,
;
2) ,
;
3) ,
.
Sa se reduca la forma canonica prin metoda transformarilor ortogonale si sa se precizeze baza în care s-a obtinut forma canonica, directiile axelor principale, transformarea ortogonala corespunzatoare si formulele de schimbare a coordonatelor.
Bibliografie
Udriste C., s.a., -Probleme de algebra, geometrie si ecuatii diferentiale, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981.
Udriste C., -Aplicatii de algebra, geometrie si ecuatii diferentiale, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1993.
Ion D.I., R. Nicolae, -Algebra, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1982.
Flondor D., N. Donciu, -Algebra si analiza matematica-culegere de probleme, vol I, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1978.
Otlacan E., s.a. -Algebra superioara-îndrumar teoretic si culegere de probleme, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucuresti, 1995.
Mânzatu E., Gârban V. -Algebra cu aplicatii rezolvate la calculatorul electronic, Editura Academiei Militare, Bucuresti, 1982.
|