SPAŢII VECTORIALE

§1. Definitie si exemple

Notiunea de spatiu vectorial constituie obiectul de studiu al algebrei liniare si reprezinta una dintre cele mai importante structuri algebrice utilizata în diferite ramuri ale matematicii precum si în disciplinele aplicate.

a) (x+y)+z = x+(y+z) , " x, y, z V

b) astfel încât , x + 0 = 0 + x

c) , , x + (-x) = (-x) + x = 0

d) ,

II. Legea de compozitie externa j K V, j a, x ax, satisface axiomele:

a) a (x + y) = ax + ay

b) a b) x = ax + bx

c) a bx ab) x

d) 1 x = x, " a b K, " x, y V

Conditiile I si II reprezinta axiomele spatiului vectorial peste câmpul K.

Elementele multimii V se numesc vectori, elementele câmpului K se numesc scalari, iar legea de compozitie externa se numeste înmultirea cu scalari.

Daca corpul comutativ K este corpul numerelor reale R sau complexe C, vom vorbi atunci despre un spatiu vectorial real, respectiv spatiu vectorial complex.

În majoritatea cazurilor vom întâlni spatii vectoriale peste corpul numerelor reale si le vom numi simplu "spatii vectoriale", iar în celelalte cazuri vom indica câmpul scalarilor.

Daca notam cu 0_V vectorul nul al grupului aditiv V si cu 0_K scalarul nul, atunci din axiomele care definesc spatiul vectorial V peste câmpul K avem urmatoarele proprietati:

Demonstratie: 1) Folosind axiomele II_b si II_d avem 0_K x = (0_K + 0_K)x = = 0_K x + 0_K x 0_K x = 0_V .

2) Ţinând cont de I_b si II_a, a0_V = a(0_V + 0_V) = a0_V + a0_V din care obtinem .

3) din axiomele grupului aditiv ale câmpului K, consecinta 1) si axioma I_c avem x + (-1)x = [1 + (-1)]x = 0_Kx = 0_V de unde obtinem (-1) x= -x.

Exemple

° Fie K un corp comutativ. Ţinând cont de structura aditiva abeliana a câmpului K, atunci multimea K reprezinta un K-spatiu vectorial. Mai mult daca K' K este un subcorp, atunci K este un K'-spatiu vectorial. Multimea numerelor complexe C poate fi privita ca un C-spatiu vectorial sau R-spatiu vectorial respectiv Q-spatiu vectorial.

° Multimea Kⁿ = K K K, unde K este un corp comutativ, este un K-spatiu vectorial, numit spatiul aritmetic (standard),în raport cu operatiile : " x,y V ,"a K , x= (x₁, x₂,..,x_n), y = (y₁, y₂,..,y_n)

° Multimea matricelor M_{m n}(K), este un K-spatiu vectorial în raport cu operatiile:

, " A = (a_ij), B = (b_ij) M_{m n}(K), "a K.

° Multimea K[X] a polinoamelor cu coeficienti din câmpul K este un K-spatiu vectorial în raport cu operatiile:

, ,

" f = (a₀, a₁,..), g = (b₁, b₂,..) K[X], "a K.

° Multimea solutiilor unui sistem de ecuatii liniare si omogene formeaza un spatiu vectorial peste câmpul K al coeficientilor acestui sistem. Solutiile unui sistem de m ecuatii cu n necunoscute, privite ca elemente din Kⁿ (n-uple), pot fi însumate si înmultite cu un scalar respectând adunarea si produsul cu scalari definite pe Kⁿ.

° Multimea vectorilor liberi V din spatiul punctual al geometriei elementare este un R-spatiu vectorial

Pentru a construi aceasta multime sa consideram spatiul geometric E₃ si multimea M = E₃ E₃ = . Elementele multimii M sunt numite bipuncte sau segmente orientate si vor fi notate prin . Punctul A va fi numit originea iar B va fi numit extremitatea segmentului . În cazul în care originea si extremitatea coincid se obtine segmentul nul (A, A). Dreapta determinata de punctele A si B se numeste dreapta suport a segmentului . Doua segmente orientate au aceeasi directie daca dreptele suport sunt paralele sau coincid.

Doua segmente orientate nenule si cu aceeasi directie, au acelasi sens daca extremitatile lor se afla în acelasi semiplan determinat de dreapta ce uneste originile celor doua segmente,

Fig.1

Lungimea (modulul sau norma) unui segment orientat se defineste ca fiind lungimea geometrica a segmentului neorientat [AB], adica distanta de la punctul A la punctul B si va fi notata cu || (||||). Segmentul nul are lungimea zero .

Pe multimea M introducem relatia de echipolenta "~".

Doua segmente orientate si se zic echipolente daca acestea au aceeasi directie ,acelasi sens si aceeasi lungime, (fig.2) : fig.2

Se verifica usor ca relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe multimea M ( este reflexiva, simetrica si tranzitiva).

Multimea claselor de echivalenta, în raport cu aceasta relatie:

M_/~ = V

defineste multimea vectorilor liberi ai spatiului geometric E₃. Clasa de echivalenta a segmentului orientat va fi notata cu si va fi numita vector liber iar segmentul orientat va fi numit reprezentantul vectorului liber în punctul A. Directia, sensul si lungimea care sunt comune tuturor elementelor unei clase de echivalenta definesc directia, sensul si lungimea vectorului liber. Pentru lungimea unui vector liber vom folosi notatiile || sau ||||. Vectorul liber de lungimea zero se numeste vectorul nul si se noteaza cu. Un vector liber de lungime unu se numeste vector unitate sau versor.

Doi vectori liber si sunt egali daca reprezentantii lor sunt doua segmente orientate echipolente.

Doi vectori liberi care au aceeasi directie se numesc vectori coliniari. Doi vectori coliniari cu aceeasi lungime si de sensuri opuse se numesc vectori opusi.

Trei vectori liberi se numesc coplanari daca segmentele orientate corespunzatoare sunt paralele cu un plan.

Multimea V₃ poate fi organizata ca un grup aditiv abelian.

Daca vectorii liberi si sunt reprezentati de segmentele orientate si respectiv , atunci vectorul reprezentat de segmentul orientat defineste suma vectorilor si si se noteaza cu (fig. 3)

fig.3

Regula ce defineste suma a doi vectori liberi si este numita regula paralelogramelor (sau regula triunghiului).

Suma a doi vectori liberi "+": V V V , este o lege de compozitie interna bine definita (nu depinde de alegerea reprezentantilor). Axiomele de grup aditiv abelian sunt usor de verificat.

Legea de compozitie externa

j K V V

unde vectorul este caracterizat de aceeasi directie cu , acelasi sens daca , sens opus daca si |||| = || ||||, satisface axiomele grupei a II-a din definitia unui spatiu vectorial.

În concluzie,cele doua operatii definite pe V , satisfacând axiomele grupei I si II, înzestreaza multimea vectorilor liberi cu o structura de spatiu vectorial real.

§ 2. Subspatii vectoriale

Fie V un spatiu vectorial peste câmpul K.

Demonstratie

2°: daca U V este un subspatiu rezulta ca pentru si pentru si , întrucât cele doua operatii induc pe submultimea U o structura de spatiu vectorial.

3°: si .

1°: si pentru a b rezulta ca x - y U ceea ce demonstreaza ca U V este un subgrup abelian. Pe de alta parte pentru , si iar axiomele II din definitia unui spatiu vectorial se verifica imediat, deci submultimea U V poseda o structura de spatiu vectorial.

Exemple

° Multimea V este subspatiu în V, numit subspatiul nul al lui V. Orice subspatiu diferit de spatiul vectorial V si de subspatiul nul se numeste subspatiu propriu.

° Multimea matricelor simetrice (antisimetrice) de ordinul n este un subspatiu al multimii matricelor patratice de ordinul n.

° Multimea polinoamelor cu coeficienti reali de grad n, R[X] = reprezinta un subspatiu vectorial al spatiului vectorial al polinoamelor cu coeficienti reali.

4° Submultimile

R_x R R_y = R

sunt subspatii vectoriale ale spatiului aritmetic R². Mai general, multimea punctelor de pe orice dreapta ce trece prin originea spatiului R², determina un subspatiu vectorial. Aceste subspatii vectoriale reprezinta multimea solutiilor unor ecuatii liniare si omogene în doua necunoscute.

Demonstratie. Pentru " x, y V₁ V₂ x, y V₁ si cum V₁ si V₂ sunt subspatii vectoriale ale lui V rezulta ca pentru avem si , deci ax by V₁ V₂. Folosind Teorema 2.1 rezulta prima parte a propozitiei.

Daca si atunci pentru , . Cum V₁ si V₂ sunt subspatii vectoriale, si , c.c.t.d.

Observatie. Submultimea V₁ V₂ V nu este un subspatiu vectorial.

Exemplu. Subspatiile vectoriale R_x si R_y definite în exemplul 4°, verifica relatiile:

R_x R_y = si R_x + R_y = R².

În adevar, daca (x, y) R_x R_y (x, y) R_x si (x, y) R_y y = 0 si x = 0, ceea ce dovedeste ca subspatiul R_x R_y este format numai din vectorul nul.

Pentru " (x, y) R² , (x, 0) R_x , (0, y) R_y , astfel încât (x, y) = (x, 0) + (0, y) ceea ce demonstreaza ca R² R_x + R_y. Incluziunea inversa este evidenta.

Demonstratie: Necesitatea conditiei o demonstram prin reducere la absurd. Presupunem ca V₁ V₂ v 0 ce poate fi scris v = 0 +v sau v = v+ 0, ceea ce ar contrazice unitatea scrierii, deci V₁ V₂

Pentru a demonstra suficienta conditiei admitem ca . Deoarece si , vectorul este continut în V₁ V₂. Cum V₁ V₂ = rezulta ca si , adica unicitatea descompunerii.

Daca V₁ si V₂ sunt doua subspatii vectoriale ale subspatiului vectorial V si V₁ V₂ = atunci suma V₁ + V₂ se numeste suma directa si se noteaza cu V₁ V₂. În plus, daca V₁ V₂ = V, atunci V₁ si V₂ se numesc subspatii suplimentare. În cazul în care V₁ V este un spatiu vectorial dat si exista un unic subspatiu V₂ V astfel încât V = V₁ V₂, atunci V₂ se numeste complementul algebric al subspatiului V₁.

Exemplu. Subspatiile vectoriale R_x si R_y, satisfacând proprietatile R_x R_y = , R_x + R_y = R², sunt subspatii vectoriale suplimentare, iar spatiul aritmetic R² poate fi reprezentat sub forma R² = R_x R_y. Acest fapt permite ca orice vector (x, y) R² sa poata fi scris în mod unic ca suma vectorilor (x, 0) R² si (0, y) R², (x, y) = (x, 0) + (0, y).

Observatie. Notiunile de suma si suma directa pot fi extinse la un numar finit de termeni.

Demonstratie Aplicând rezultatul teoremei 2.1 pentru " x, y L(S), " a b K, suma reprezinta tot o combinatie liniara finita cu elemente din S, deci .

Demonstratia este imediata.

Daca submultimea S este finita, si pentru orice vector v V, l_i K, astfel încât , atunci spunem ca spatiul vectorial V este finit generat.

O generalizare a notiunii de spatiu vectorial este data de notiunea de varietate liniara.

Subspatiul V_L se numeste subspatiul director al varietatii liniare L.

Exemplu . Sa consideram spatiul vectorial standard R înzestrat cu sistemul axelor de coordonate x O y (fig. 4)

Sa consideram o dreapta L care trece prin punctul . Punctul , " (a, b) L este situat pe o dreapta paralela cu L R² ce trece prin origine (demonstratia este imediata).

fig.4

În concluzie submultimea punctelor din spatiul vectorial R² situate pe orice dreapta (L) din plan reprezinta o varietate liniara având drept spatiu vectorial director dreapta ce trece prin origine si care este paralela cu dreapta (L).

Un subspatiu vectorial reprezinta un caz particular de varietate liniara; este acea varietate liniara a spatiului vectorial V ce contine vectorul nul al spatiului vectorial V (v₀ = 0).

Fie V un K-spatiu vectorial si submultimea S = V

O multime (finita sau nu) de vectori dintr-un spatiu vectorial este liniar independenta daca orice sistem finit de vectori este un sistem de vectori liniar independenti.

Remarca: Daca anularea unei combinatii liniare finite, formata cu vectorii x₁, x₂, ., x_n V, permite exprimarea unui vector în functie de ceilalti (adica existenta macar a unui coeficient nenul) atunci vectorii x₁, x₂, ., x_p sunt liniar dependenti, în caz contrar acestia sunt liniar independenti.

Demonstratie. Fie vectorii y_{i = ij} x_j , i = 1,2,., p + 1 din acoperirea liniara L(S).

Relatia l y l y l_p+ y_p+ este echivalenta cu . Ţinând cont ca vectorii sunt liniar independenti obtinem pentru relatiile l a_1j l a_2j l_p+ a_p+1j 0, care reprezinta un sistem de p ecuatii liniare cu p + 1 necunoscute (l_i), admite si solutii diferite de solutia banala, ceea ce înseamna ca vectorii y₁, y₂,., y_p+1 sunt liniar dependenti, c.c.t.d.

§3. Baza si dimensiune

Fie V un K-spatiu vectorial

Spatiul vectorial V se zice ca este finit generat sau finit dimensional daca exista un sistem finit de generatori.

Demonstratie: Mai întâi sa demonstram ca S contine si vectori nenuli. Presupunem ca S = , atunci poate fi scris sub forma x = l (S - sistem de generatori) absurd ceea ce arata ca presupunerea facuta este falsa, deci S

Fie acum x₁ S un vector nenul. Multimea L = S reprezinta un sistem liniar independent. Continuam sa adaugam vectori nenuli din S pentru care submultimea L sa reprezinte o multime liniar independenta. Sa presupunem ca S contine n elemente, atunci S are 2ⁿ submultimi finite. Dupa un numar finit de pasi vom gasi L S, un sistem de vectori liniar independenti si pentru " L' S' cu L L', L' reprezinta o submultime liniar dependenta (L este maximal în sensul relatiei de ordine).

L este un sistem de generatori pentru V. În adevar, daca L = pentru m = n L = S si este un sistem de generatori, iar daca m < n, atunci , reprezinta un sistem de vectori liniar dependeti (L este maximal) si , x_i L . Rezulta ca l K, x_i L . Multimea L satisface conditiile teoremei 4.1 deci formeaza o baza a spatiului vectorial V, c.c.t.d.

Un spatiu vectorial V este finit dimensional daca are o baza finita sau daca V = , în caz contrar se numeste infinit dimensional. Exemple

În spatiul aritmetic Kⁿ submultimea vectorilor B , unde e₁=, e₂=,., e_n=, reprezinta o baza a spatiului vectorial Kⁿ, numita baza canonica.

În spatiul vectorial al polinoamelor cu coeficienti reali R[X] submultimea B = , constituie o a baza. R[X] este un spatiu infinit dimensional.

Demonstratie. Sa consideram în spatiul vectorial V finit generat bazele Bsi B , având card B= n, respectiv card B = n . Folosind consecinta 3.3 obtinem pe rând n n si n n, deci n = n.(intrebarea 1)

Propozitia precedenta permite introducerea notiunii de dimensiune a unui spatiu vectorial.

Observatie Daca V este un spatiu vectorial cu dimV = n atunci:

a)      un sistem de n vectori este baza este liber independent.

b)      un sistem de n vectori este baza este sistem de generatori.

c)      Orice sistem de m > n vectori este liniar dependent.

Vom nota un K-spatiu vectorial n-dimensional cu V_n, dimV_n = n.

Demonstratie Presupunem ca x V_n ar avea si o alta exprimare Egalând cele doua exprimari obtinem , o combinatie liniara nula a vectorilor liniar independenti ai bazei, echivalenta cu

Scalarii l l l_n se numesc coordonatele vectorului x în baza B, iar bijectiile se numeste sistem de coordonate pe V.

Demonstratie: Aplicând rezultatul consecintei 3.3 si faptul ca orice doua baze au acelasi cardinal rezulta ca p n

Pentru a doua parte a teoremei folosim metoda inductiei matematice complete. Pentru p = 1, f₁ V se scrie în baza B sub forma .Cum f₁ 0 rezulta ca exista cel putin un l_i 0. Admitând ca l 0 avem , adica este un sistem de vectori generatori ai spatiului V_n, deci o baza. Admitând ca este o baza atunci vectorul f_p S se poate exprima sub forma f_p = m f m f m_p f_p m_pe_p m_ne_n. În aceasta relatie cel putin un coeficient dintre m_p m_p m_n este nenul, caci în caz contrar multimea S ar fi liniar dependenta. Facând eventual o renumerotare a vectorilor e_p, e_p+1, ., e_n, putem presupune ca m_p 0 si obtinem , din care rezulta ca este un sistem de n vectori generatori ai spatiului n-dimensional V_n, deci o baza pentru V_n, c.c.t.d.

din (V + V ) = dimV dimV - dim(V₁ V (3.1)

Demonstratie: Fie o baza a subspatului (V₁ V ) V₁.

În virtutea consecintei 3.8 putem completa acest sistem de vectori

liniar independenti la o baza în V₁ , fie aceasta data de multimea

B .În mod similar consideram în spatiul vectorial V₂, baza B . Se demonstreaza usor ca submultimea B ,este un sistem de generatori pentru V₁+ V₂. Submultimea B este liniar independenta. In adevar ,

,

ceea ce înseamna ca vectorul , deoarece suma din membrul stâng reprezinta un vector al subspatiului V₁ iar cea din membrul drept un vector din V₂. În spatiul V₁ V₂ avem g_r+1 g_r+2 g_r+p d d d_r

Folosind acest rezultat în prima relatie si tinând cont de faptul ca B este o baza în V₁ rezulta a a a_r b _r+1 b _r+2 = . = 0, deci B este liniar independenta, adica o baza în V₁+V₂.

În aceste conditii putem scrie dim (V₁+V₂) = r + s + p = = (r +s) + (r + p) - r = dimV₁ + dimV₂ - dim(V₁ V ). c.c.t.d.

Sa consideram un K-spatiu vectorial V_n si B = respectiv B = doua baze în V_n. Orice vector din B poate fi exprimat în functie de elementele celeilalte baze. Asadar avem relatiile:

sau (3.2)

Notând cu B = ^t[e₁, e₂,., e_n], B = ^t[e , e ,., e _n] si cu matricea de tip n n, care are drept coloane coordonatele vectorilor e _j, , relatiile (4.2) pot fi scrise sub forma

B ^tAB

Fie acum un vector x V_n, exprimat în cele doua baze ale spatiului vectorial V_n prin relatiile:

si respectiv (3.3)

Ţinând seama de relatiile (3.2), obtinem

.

Cum B este baza, egalitatea este echivalenta cu

, (3.4)

relatii ce caracterizeaza transformarea de coordonate ale unui vector la o schimbare a bazei spatiului vectorial V_n .

Daca notam cu X = ^t[x₁, x₂,.,x_n] matricea coloana a coordonatelor vectorului x V_n în baza B si respectiv cu X = ^t[x , x ,.,x _n], matricea coordonatelor aceluiasi vector x V_n în baza B , putem scrie

X = AX

Matricea A = (a_ij) se numeste matricea de trecere de la baza B la baza B . În concluzie,într-un spatiu vectorial finit dimensional avem teorema de schimbare a bazei :

Fie V_n un spatiu vectorial si B o baza a sa. Daca vectorii v₁, v₂,., v_p V_n, p n sunt exprimati prin relatiile v_j =_ije_i , atunci matricea A = (a_ij), având drept coloane coordonatele vectorilor v₁, v₂,.,v_p, va fi numita matricea de trecere de la vectorii e₁, e₂,...,e_n la vectorii v₁, v₂,., v_p .

Demonstratie Sa presupunem ca rang A = r, adica

D =

D 0 implica liniar independenta vectorilor v₁, v₂, ..., v_r.

Fie coloana v_k, r k p si determinantii

D_i = ,

Fiecare din acesti determinanti este nul deoarece pentru i r, D_i are doua linii identice, iar pentru i > r, ordinul lui D_i este mai mare decât rangul r. Dezvoltând dupa ultima linie avem

a_i1Γ_i1 +a_i2 Γ_i2 +.+a_ir Γ_ir + a_il D = 0 a_il =_j a_ij ; _j =Γ_{ij D}

Aceste relatii scalare exprima faptul ca orice coloana v_k, r k p, este o combinatie liniara a primelor r coloane ale matricei A, deci orice r + 1 vectori sunt liniar dependenti.

Fie V si W doua spatii vectoriale peste câmpul K.

O transformare liniara bijectiva între doua spatii vectoriale va fi numita izomorfism de spatii vectoriale.

Un sistem de coordonate pe un spatiu vectorial finit dimensional V_n, f : V Kⁿ , x V_n (x₁, x₂, x_n) Kⁿ este un izomorfism de spatii vectoriale.

§4. Spatii vectoriale euclidiene

Fie V un spatiu vectorial real.

Daca adaugam, pe lânga structura de spatiu vectorial, notiunea de produs scalar, atunci într-un astfel de spatiu vectorial pot fi definite notiunile de lungime a unui vector, unghiul a doi vectori, ortogonalitate s.a.

4.1 Definitie.		O aplicatie g: V V R cu proprietatile:
	a)		" x, y, z V
	b) <l x, y> = l <x, y>		" x, y V, " l R
	c) <x, y> = <y, x>		" x, y V
	d) <x, x> 0, <x, x> = 0 x = 0		" x V	se numeste produs scalar pe spatiul vectorial V. 4.2 Corolar Daca V este un spatiu vectorial euclidian atunci au loc relatiile: 1) <x + y, z> = <x, z> + <y, z> 2) <x, ly> = l <x, y>,  " x, y, z V " l R 4.4 Definitie. Un spatiu vectorial V pe care s-a definit un produs scalar se numeste spatiu vectorial euclidian (sau V poseda o structura euclidiana). 4.3 Teorema. Daca spatiul vectorial V este un spatiu vectorial euclidian atunci avem inegalitatea Cauchy-Schwarz: <x, y>2 <x, x> <y, y> (4.1) egalitatea având loc daca si numai daca vectorii x si y sunt liniar dependenti. Demonstratie: Daca x = 0 sau y = 0 atunci are loc egalitatea în relatia 5.1. Presupunem x si y V nenuli si consideram vectorul z = lx + my, l m R. Din proprietatile produsului scalar obtinem : 0 <z, z> = <lx + my, lx + my> = l2 <x, x> + 2lm <x, y> + m <y, y>, egalitatea având loc pentru z = 0. Daca luam l <y, y> > 0 atunci obtinem <x, x> <y, y> + 2m <x, y> + m 0, iar pentru m = - <x, y> inegalitatea devine <x, x> <y, y> - <x, y>2 c.c.t.d. Exemple 1° În spatiul aritmetic Rn pentru orice doua elemente x=(x1,x2,...,xn) si y = (y1, y2,..., yn), operatia <x, y> =: x1y1 + x2y2 +...+ xnyn (4.2) defineste un produs scalar. Produsul scalar astfel definit, numit produsul scalr uzual ,înzestreaza spatiul aritmetic Rn cu o strcutura euclidiana. ° Multimea C([a, b]) a functiilor continue pe intervalul [a, b] este un spatiu vectorial în raport cu produsul scalar definit de (4.3) 4.5 Teorema. Într-un spatiu vectorial euclidian V functia || ||: V R+ definita prin este o norma pe V, adica satisface axiomele: a) || x || > 0, " x 0 si || x || = 0 x = b) || l l || x ||, " x V, " l R c) ||x+ y|| ||x|| + ||y|| (inegalitatea triunghiului). Demonstratie: Conditiile a) si b) rezulta imediat din definitia normei si proprietatile produsului scalar. Axioma c) rezulta folosind inegalitatea Cauchy-Schwarz de unde rezulta inegalitatea triunghiului. Un spatiu pe care s-a definit o functie "norma" se numeste spatiu normat. Norma definita de un produs scalar se numeste norma euclidiana. Exemplu: În spatiul aritmetic Rn norma unui vector x = (x1, x2,.xn) este data de (4.5) Un vector e V se numeste versor daca ||e|| = 1. Notiunea de versor permite ca " x V sa fie scris sub forma , unde directia lui e este aceeasi cu directia lui x. Inegalitatea Cauchy-Schwarz, |<x, y>| ||x|| ||y|| ne permite sa definim unghiul dintre doi vectori, ca fiind unghiul q p], dat de (4.6) 4.6 Teorema. În spatiul vectorial normat V, functia reala d: V V R+, definita prin d(x, y) = || x - y || este o metrica pe V, adica satisface axiomele: a)      d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y , " x, y V b)      d(x, y) = d(y, x) ,  " x, y V c) d(x, y) d(x, z) + d(z, x) , " x, y, z V. Exemplu: În spatiul vectorial aritmetic Rn distanta d este data de (4.7) O multime oarecare dotata cu o metrica se numeste spatiu metric. Daca norma definita pe spatiul vectorial V este euclidiana atunci distanta definita de aceasta se numeste metrica euclidiana. În concluzie, orice spatiu euclidian este un spatiu metric. O structura euclidiana pe V induce pe orice subspatiu V' V o structura euclidiana. Produsul scalar definit pe un spatiu vectorial V permite introducerea notiunii de ortogonalitate. Definitie In spatiul vectorial V vectorii x, y V se numesc ortogonali daca < x, y > = . O multime S V se spune ca este ortogonala daca vectorii sai sunt ortogonali doi câte doi. O multime ortogonala se numeste ortonormata daca fiecare element al sau are norma egala cu unitatea. 4.8 Propozitie. Într-un spatiu vectorial euclidian V orice multime ortogonala, formata din elemente nenule, este liniar independenta. Demonstratie Fie S V \ si l x1 + l x2 +.+ lnxn, o combinatie liniara oarecare finita de elemente din S. Înmultiind scalar cu xj S, relatia devine l <x1, xj> + l <x2, xj> +.+ ln <xn, xj> = 0. Cum S este ortogonala, <xi, xj> = 0, " i j si lj(xj, xj) = 0. Pentru xj " , <xj, xj> > 0, de unde rezulta ca l j " , adica S este liniar independenta. 4.9 Consecinta. Într-un spatiu vectorial euclidian n-dimensional Vn, orice multime ortogonala formata din n vectori este o baza în Vn. Daca în spatiul vectorial euclidian Vn consideram baza ortogonala B = , atunci orice vector x Vn poate fi scris în mod unic sub forma , unde (4.8) În adevar, înmultiind vectorul cu ek, obtinem <x, ek> = din care rezulta , " . Daca B este ortonormata avem , iar li = <x, ei> si vor fi numite coordonatele euclidiene ale vectorului x. 4.10 Definitie. Fie x, y V, doi vectori oarecare. Vectorul , cu y 0 se numeste proiectie ortogonala a vectorului x pe vectorul y, iar numarul pryx = se numeste marimea algebrica a proiectiei ortogonale a lui x pe y . 4.11 Definitie. Fie S V o submultime oarecare a spatiului euclidian V. Un element y V se zice ortogonal lui S daca este ortogonal pe fiecare element al lui S, adica <y, x> = 0, " x S si notam prin y S. 4.12 Propozitie. Multimea tuturor vectorilor y V ortogonali multimii S formeaza un subspatiu vectorial notat cu S . În plus, daca S este un subspatiu vectorial atunci subspatiul S se numeste complementul ortogonal al lui S. Demonstratie: Daca y1, y2 S atunci (y1, x) = 0, <y2, x> = 0, " x S. Pentru " a b R, avem <ay by , x> = a<y1, x> + b<y2, x> = 0, c.c.t.d. 4.13 Propozitie. Daca subspatiul S V este de dimensiune finita, atunci S admite un unic supliment ortogonal S 4.14 Consecinta. Daca V = S S si x = y + y , y S, y S , atunci are loc teorema lui Pitagora, || x ||2 = || y ||2 + || y Observatie. Un subspatiu vectorial S V, de dimensiune finita sau nu, are cel mult un supliment ortogonal. Fie Vn un spatiu vectorial euclidian finit dimensional. 4.15 Teorema. (Gram - Schmidt) Daca este o baza în spatiul vectorial euclidian Vn atunci exista o baza ortonormata V astfel încât sistemele de vectori si genereaza acelasi subspatiu Up V, pentru Demonstratie Mai întâi construim o multime ortogonala si apoi normam fiecare element. Consideram w = v1 , w = v2 + kw1 0 si determinam k împunând conditia <w1, w2> = 0. Obtinem , deci w = v3 + k1w1 + k2w2 0 si determinam scalarii k1, k2 impunând conditia w3 sa fie ortogonal pe w1 si w2, adica <w3, w1> = <v3, w1> + k1 <w1, w1> = 0 <w3, w2> = <v3, w2> + k2 <w2, w2> = 0. Obtinem Dupa n pasi se obtin vectorii w , w wn ortogonali doi câte doi, liniar independenti (prop. 5.1) dati de (4.9) Definim , adica multimea B = , reprezinta o baza ortonormata în Vn. Cum elementele e1, e2, ..., ep se exprima în functie de v1, v2, ..., vp, iar acestea sunt subsisteme liniar independente avem L () = = L (), c.c.t.d. 4.16 Consecinta. Orice subspatiu vectorial euclidian admite o baza ortonormata Fie B = si B = doua baze ortonormate în spatiu vectorial euclidian Vn. Relatiile între elementele celor doua baze sunt date de Cum B este ortonormata avem : Daca A = (aij) este matricea de trecere de la baza B la B atunci relatiile de mai sus se exprima matriceal sub forma tAA = In, adica A este o matrice ortogonala. 4.17 Propozitie. La o schimbare de baza ortonormata B = tAB, într-un spatiu vectorial euclidian Vn,, transformarea de coordonate este data de X = AX , unde A este o matrice ortogonala. §5. Probleme propuse . Fie V si W doua K-spatii vectoriale. Sa se arate ca V × W = = este un K-spatiu vectorial în raport cu operatiile : (x1, y1) + (x2, y2) =: (x1 x2, y + y2) a (x, y) =: (a x, a y " x x V, y1, y2 W " a K . Sa se precizeze daca operatiile definite pe multimile indicate determina o structura de spatiu vectorial: a) " x, y R2 ; x = (x x ), y = (y1, y2), " a R b) , " x, y R " a R c) , " x, y R " a R d) , " x, y R " a R . Fie V un spatiu vectorial real. Definim pe V × V operatiile: a+ib C Sa se arate ca V × V este un spatiu vectorial peste câmpul numerelor complexe C acest spatiu va fi numit complexificatul lui V si va fi notat cu CV ) . Sa se stabileasca care dintre submultimile de mai jos formeaza subspatii vectoriale în spatiile vectoriale indicate a)      S b)      S c)      S d)      S e)      S . Fie F[a,b] - multimea functiilor reale definite pe intervalul [a, b] R. a) Sa se arate ca operatiile: (f + g)(x) = f(x) + g(x) a f)(x) = a f(x),  "a R, x [a, b] definesc o structura de R-spatiu vectorial pe multimea F [a,b]. b) Daca intervalul [a, b] R este simetric fata de origine, sa se arate ca submultimile F (functii pare) si F (functii impare) sunt subspatii vectoriale si F [a,b] = F F . Sa se arate ca submultimile S = (matrice simetrice) A = (matrice antisimetrice) sunt subspatii vectoriale si Mn (K) = S A . Fie v1, v2, v3 V, trei vectori liniar independenti. Sa se determine a R astfel încât vectorii sa fie liniar independenti, respectiv liniar dependenti. .Sa se arate ca vectorii x,y,z R x = (-1,1,1), y = (1,1,1), z = (1,3,3), sunt liniar dependenti si sa se gaseasca relatia de dependenta liniara. . Sa se stabileasca dependenta sau independenta liniara a sistemelor de vectori : a) S1 = b) S2 = c) S3 = ) Sa se determine suma si intersectia subspatiilor vectoriale U, V R3, unde U V ) Sa se determine suma si intersectia subspatiilor generate de sistemele de vectori U V ) Sa se determine subspatiul U V R unde U V = L() ) Sa se determine câte o baza în subspatiile U + W, U W si sa se verifice teorema lui Grassmann pentru a)      b)      ) Fie subspatiul W1 R generat de vectori w1 = (1,-1,0) si w2 = (-1,1,2). Sa se determine subspatiul suplementar W2 si sa se descompuna vectorul x = (2, 2, 2) pe cele doua subspatii. ) Sa se precizeze care din urmatoarele sisteme de vectori formeaza baze în spatiile vectoriale date: a)      S R2 b)      S R c)      S R3 d)      S R3[x] e)      S = M2(R) ) În R3 se considera sistemele de vectori B = si B = . Sa se arate ca B si B sunt baze si sa se determine matricea de trecere de la baza B la baza B si coordonatele vectorului v = (2, -1, 1) (exprimat în baza canonica) în raport cu cele doua baze. ) Fie spatiul vectorial real M (R) si baza canonica B = a)      Sa se gaseasca câte o baza B respectiv B în subspatiul matricelor simetrice S2 M (R) si respectiv în subspatiul matricelor antisimetrice A2 M (R). Sa se determine matricea de trecere de la baza canonica B la baza B B B b)      Sa se exprime matricea E = în baza B ) Sa se verifice daca urmatoarele operatii definesc produse scalare pe spatiile vectoriale considerate a)      <x, y> = 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 , x = (x1,x2), y = (y1, y2) R b)      <x, y> = x1y1 - 2x2y2 , x = (x1, x2), y = (y1, y2) R c)      <x, y> = x1y1 + x2y3 + x3y2 , x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) R ) Sa se arate ca operatia <f, g> =, unde f = a0 + a1x + . + anxn si g = b0 + b1x+. + bnxn , definita pe multimea polinoamelor Rn[x] , defineste un produs scalar . Sa se scrie inegalitatea lui Couchy - Schwarz , sa se calculeze || f || si d (f, g) pentru polinoamele f(x) = 1 + x + 2x2 - 6x3 si g(x) = 1 - x - 2x2 + 6x3. ) Sa se verifice ca urmatoarele operatii determina produse scalare pe spatiile vectoriale specificate si sa se ortonormeze în raport cu aceste produse scalare sistemele de functii si repsectiv a)      <f, g> = b)      <f, g> = , f, g . ) Fie vectorii x = (x1, x2, ., xn), y = (y1, y2, ., yn) Rn. Sa se demonstreze folosind produsul scalar usual definit pe spatiul aritmetic Rn, urmatoarele inegalitati: a)      b)      si sa se precizeze conditiile în care au loc egalitatile. ) Sa se ortonormeze sistemele de vectori în raport cu produsul scalar uzual a)      v = (1, -2, 2), v2 = (-1, 0, -1), v3 = (5, 3,-7) b)      v = (1, 1 , 0), v2 = ( 1, 0, 1 ) , v3= (0, 0, 1) . ) Sa se gaseasca proiectia ortogonala a vectorului v = (14, -3, -6) pe subspatiul generat de vectorii v1 = (-3, 0, 7), v2 = (1, 4, 3) si marimea acestei proiectii. ) Sa se determine în spatiul aritmetic R3, complementul ortogonal al subspatiului vectorial al solutiilor sistemului si sa se gaseasca o baza ortonormata în acest complement. ) Sa se ortonormeze urmatoarele sisteme de vectori liniar independenti: a)      v = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1), v3 = (0, 0, -1) în R3 b)      v = (1,1,0,0), v2 = (1,0,1,0), v3 = (1,0,0,1), v4 = (0,1,1,1) în R4. ) Determinati complementul ortogonal al subspatiilor generate de urmatoarele sisteme de vectori: a)      v v2 = (2, 0, 1) în R3 b)      v = (-1, 1, 2, 0), v2 = (3, 0, 2, 1), v3 = (4, -1, 0, 1) în R4 ) Sa se gaseasca proiectia vectorului v = (-1, 1, 2) pe subspatiul solutiilor ecuatiei x + y + z = 0. ) Sa se determine în R3 complementul ortogonal al subspatiului generat de vectorii v1 = (1, 0, 2), v2 = (-2, 0, 1). Sa se gaseasca descompunerea v = w + w1 a vectorului v = (1, 1, 1) R pe cele doua subspatii complementare si sa se verifice relatia ||v||2 = ||w||2 + ||w1||2. Document Info Accesari: 16003 Apreciat: Comenteaza documentul: Nu esti inregistrat Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta Creaza cont nou A fost util? Daca documentul a fost util si crezi ca merita sa adaugi un link catre el la tine in site Copiaza codul: in pagina web a site-ului tau. <a href="https://www.scritub.com/stiinta/matematica/SPATII-VECTORIALE84892.php" target="_blank" title="SPATII VECTORIALE - https://www.scritub.com">SPATII VECTORIALE</a> eCoduri.com - coduri postale, contabile, CAEN sau bancare Politica de confidentialitate | Termenii si conditii de utilizare Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2025 )