SPATII VECTORIALE

SPATII VECTORIALE.

Legi de compozitie.

Definitia II.1. Daca X este o multime nevida, atunci orice aplicatie se numeste lege de compozitie interna.

Observatia II.1.

Legea de compozitie fiind o functie, rezulta ca perechii iI corespunde in mod unic un element si scriem aceasta astfel:

Uzual, aplicatia f privita ca lege de compozitie se noteaza cu:etc.

Daca f se noteaza cu "+", spunem ca legea d 424j99e e compozitie este notata aditiv.

Daca f se noteaza cu ".", spunem ca legea este notata multiplicativ.

Definitia II.2. Fie K o multime nevida, numita multime de operatori. Atunci, orice aplicatie se numeste lege de compozitie externa pe X, cu operatori din K

Observatia II.2. Uzual, legea de compozitie se noteaza cu ".".

Definitia II.3. O multime dotata cu una sau mai multe legi de compozitie, interne sau externe, se numeste structura algebrica.

Definitia II.4. Cuplul de obiecte matematice se numeste grup, daca satisface urmatoarele axiome:

g1) (axioma asociativitatii)

g2) ( existenta elementului neutru)

g3) si x' se numeste element neutru.

G4) Daca , grupul se numeste abelian, sau comutativ.

Definitia II.5. Tripletul de obiecte matematice , unde

se numeste corp, daca sunt indeplinite axiomele:

k1) este grup abelian

k2) este grup, unde 0 este elementul neutru fata de adunarea in K

k3) .

K4) Daca este grup abelian, atunci K se numeste corp comutativ (camp).

Observatia II.3.

Grupul este o structura algebrica dotata cu o singura lege de compozitie interna.

Corpul este o structura algebrica dotata cu doua legi de compozitie interne.

Corpul numerelor reale sau complexe sunt campuri fata de operatiile cunoscute de adunare si de inmultire cu un scalar, real sau complex.

?n continuare, prin camp vom intelege doar campul de numere reale sau complexe, specificand de fiecare data despre care este vorba.

Spatii vectoriale. Definitie, proprietati.

Spatiul vectorial este o notiune care sta la baza multor capitole ale matematicii si care a fost definita prima oara de matematicianul Peano, in 1888. Se constituie ca o structura algebrica caracterizata de doua legi de compozitie, o lege interna si alta externa.

Fie X o multime nevida si fie operatiile:

, operatie interna

, operatie externa.

Multimea K este un camp nevid, R sau C. Mai consideram, de asemenea, ca 0 este elementul neutru din K fata de adunarea numerelor si 1 este elementul neutru fata de inmultire.

Cvartetul il numim spatiu vectorial (spatiu liniar) daca sunt indeplinite urmatoarele axiome:

v1)

v2)

v3)

v4)

v5)

v6)

Precizari:

Elementele lui X se numesc vectori si se noteaza cu x, y, z etc.

Elementele lui K se numesc scalari si se noteaza cu etc.

Legea de compozitie interna notata cu "+" se numeste adunarea vectorilor.

Legea de compozitie externa notata cu " . " se numeste inmultirea unui vector cu un scalar, real sau complex, dupa cum K= R sau K= C.

se numeste vectorul nul.

Adunarea scalarilor a fost notata, pentru simplificare, tot cu "+". Din context, insa, se va vedea de fiecare data despre care tip de adunare este vorba.

Analog, inmultirea scalarilor a fost notata tot cu ".".

Pentru simplificarea scrierii, prin notatia X s.v. K vom intelege spatiul vectorial X peste campul K.

ProprietatI:

Fie X s.v. K, unde K=R sau K= C. Fie . Avem urmatoarele proprietatI:

P1) .

P2) .

P3) unice.

P4)

P5)

Se observa ca din axioma v1) si din proprietatile 1,2,4 rezulta ca X este grup abelian in raport cu adunarea vectorilor. Prin urmare, orice spatiu vectorial este grup abelian fata de adunarea vectorilor.

Subspatiu al unui spatiu vectorial

Definitia II.2. O submultime a unui spatiu vectorial X peste K se numeste subspatiu vectorial, daca:

Fie , doua subspatii vectoriale ale lui X.

Definitia II.3. Multimea de mai jos se numeste suma subspatiilor date si se noteaza cu .

Teorema II.1. ssp. X (subspatiu vectorial al lui X)

Precizare: ?n general, perechea nu este unica, astfel ca x = y +z. este cel mai mic subspatiu care include pe .

Dependenta si independenta liniara.

Fie X s.v.K , unde K=R sau K=C. Fie o submultime a lui X.

Definitia II.4. Vectorii se numesc liniar dependenti daca exista scalarii , nu toti nuli, astfel ca .

Definitia II.5. Vectorii se numesc liniar independenti daca nu sunt liniar dependenti. Cu alte cuvinte, vectorii se numesc liniar independenti daca din orice combinatie liniara de forma , rezulta ca scalarii sunt toti nuli.

Observatia II.4. Daca privim determinantul sistemului de la exercitiul de mai sus, observam ca el este format cu vectorii dati in ipoteza asezati pe coloane. din aceasta observatie, fara a mai trece prin algoritmul de calcul care conduce la concluzie ( si care face obiectul seminarului), stabilim ca daca numarul de vectori dintr-un sistem este egal cu numarul de componente ale unui vector, atunci ei sunt liniar independenti daca putem construi cu ajutorul lor un determinant diferit de 0. Altfel, daca determinantul obtinut este 0, spunem ca vectorii sunt liniar dependenti.

Observatia II.5. Notiunile de liniar dependenta si independenta au fost definite pentru o multime S de vectori, multime care are (vezi def II.5. si mai sus) un numar finit de elemente. Definitia poate fi extinsa pentru urice tip de submultime a lui X s.v.K, dupa cum urmeaza:

Definitia II.6. Fie M o submultime nevida a lui X s.v.K. Spunem ca M este liniar dependenta daca exista cel putin o submultime finita a sa liniar dependenta si liniar independenta daca orice submultime finita a sa este liniar independenta.

ProprietatI:

Daca X s.v.K, atunci:

P1) Un vector s.v.K este liniar dependent ddaca este vectorul nul.

P2) Orice vector nenul din X s.v.K este liniar independent.

P3) Daca o parte a unui sistem de vectori este liniar dependenta, atunci intregul sistem este liniar dependent.

P4) Orice sistem de vectori care contine vectorul nul este liniar dependent.

P5) Daca avem un sistem de vectori liniar dependent, atunci orice vector din acest sistem se poate scrie ca o combinatie liniara de ceilalti vectori.

Baza si dimensiune. Coordonate.

Fie B o submultime nevida a lui X s.v.K, finita sau nu.

Definitia II.7. Multimea B se numeste baza (baza algebrica) daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

b1) B este liniar independenta.

b2) B este sistem de generatori, adica:

.

Observatia II.6. Utilizand un aparat matematic complex din teoria multimilor, se poate arata ca in orice spatiu vectorial exista cel putin o baza. Numarul elementelor dintr-o baza poate fi infinit sau finit si il vom nota cu card B.

Teorema II.2. Un spatiu vectorial poate sa aiba mai multe baze, dar acestea au intotdeauna acelasi cardinal.

Definitia II.8. Spatiul vectorial X peste K se numeste finit dimensional daca sau daca, B fiind o baza a sa, avem card B <.

Definitia II.9. Dimensiunea unui spatiu vectorial se noteaza si se exprima astfel:

Observatia II.7. Spatiile finit dimensionale se vor nota in continuare cu si vom spune ca au dimensiunea n. Evident, o baza intr-un astfel de spatiu are n elemente si o vom nota cu .

Teorema II.3. Daca este s.v.K si este o baza in acest spatiu, atunci pentru orice vector x din X, exista si sunt unici scalarii K astfel ca .

Definitia II. 9. Scalarii se numesc coordonatele lui x in baza B.

Precizari:

Uzual, coordonatele de mai sus se noteaza cu . Aceasta notatie este utilizata datorita unui izomorfism care se poate stabili intre orice spatiu de dimensiune n si spatiul aritmetic . ?n continuare, prin notatia vom intelege vectorul x de coordonate .

Teorema II.4. Daca este s.v.K de dimensiune n, sunt m vectori ai spatiului, cu care construim o matrice A cu coloanele formate cu vectorii dati asezati pe coloane, spunem ca vectorii sunt liniar independenti .

Teorema II.5. Daca s.v.K , atunci oricare n+1 vectori ai spatiului dat sunt liniar dependenti.

Teorema II.6. Daca s.v.K , atunci un sistem format din n vectori formeaza baza pentru spatiul dat ddaca este liniar independent.

Observatia II.8. Asadar, pentru un spatiu vectorial de dimensiune finita, notiunile de baza si liniar independenta sunt echivalente pentru o multime de vectori cu cardinalul egal cu dimensiunea spatiului. (Teorema lui Steinitz).

Daca sunt sistem de generatori pentru un spatiu vectorial X, notam

Trecerea unui vector dintr-o baza in alta.

Fie s.v. K si fie doua baze diferite ale acestui spatiu, pe care le notam cu:

Presupunem ca se cunosc coordonatele unui vector dat in raport cu baza B, pe care le notam cu . Punem problema determinarii coordonatelor lui x in baza B', pornind de la elementele cunoscute.

Consideram scrierea lui x in raport cu cele doua baze:

Scalarii sunt coordonatele lui x in baza B' si urmeaza a fi determinati.

Problema se va rezolva in doua etape:

I.     Exprimarea vectorilor bazei B' in functie de vectorii din baza B.

II. Exprimarea coordonatelor vectorului x in raport cu baza B' fata de coordonatele cunoscute ale lui x in baza B, utilizand elementele stabilite la I.

I. Din faptul ca B este baza a lui X, rezulta ca orice vector din x se poate scrie in functie de elementele din B astfel:

Notam:

Relatia (1) se va scrie in forma matriceala:, relatie care stabileste legatura dintre cele doua baze.

Matricea A se numeste matricea de trecere de la baza B la baza B'.

II. Exprimarea coordonatelor lui x in raport cu baza B'.

Avem scrierile:

Din (1), se observa ca putem inlocui pe in functie de si de elementele matricii A, deci:

Urmarea efectuarii calculelor si a identificarii coeficientilor intre vectorii bazei B, rezulta:

Sistemul se rezolva prin metoda Cramer si tinand cont ca detA este nenul, solutia va fi unica.

Notam:

Sistemul (2) se va scrie in forma matriceala:

Deoarece A este nesingulara, determinam , relatie care exprima legatura dintre coordonatele lui x scris in baza B', cu coordonatele (cunoscute) ale lui x scris in baza B.

Produs scalar. Spatii euclidiene. Proprietati. Exemple.

Fie X s.v.K, unde K= R sau K= C.

Definitia II.10. Aplicatia se numeste produs scalar, daca sunt indeplinite urmatoarele axiome:

p1)

p2)

p3) .

ProprietatI:

P1)

P2) .

Pentru doi vectori arbitrari din spatiul , de forma , se poate arata ca aplicatia , data de

este produs scalar. Aceasta aplicatie va fi utilizata in continuare pentru diverse aplicatii ale produsului scalar.

Definitia II.11. Perechea se numeste spatiu euclidian. Prin urmare, numim spatiu euclidian orice spatiu vectorial dotat cu cel putin un produs scalar.

Norma. Spatii normate.

Fie X s.v.K, unde K= R sau K= C.

Definitia II.12. Aplicatia se numeste norma pe X, daca sunt satisfacute urmatoarele axiome:

n1) . (inegalitatea triunghiului)

n2) (axioma omogenitatii)

n3) Pentru .

Definitia II.13. Cuplul de obiecte matematice se numeste spatiu normat.

ProprietatI:

P1)

P2) .

Teorema II.7. Fiind dat un spatiu euclidian , expresia: defineste intotdeauna o norma.

Observatia II.9. ?n spatiul euclidian , inafara de norma pe care am introdus-o in teorema II.9. mai exista si alte norme care nu mai provin, insa, dintr-un produs scalar.

Daca x este un element al spatiului , cu coordonatele date de: , definim:

Observatia II. 10. Are loc urmatoarea inegalitate:

ProprietatI:

P1) Orice spatiu euclidian este spatiu normat, deoarece din teorema II.9. rezulta ca putem defini o norma pornind de la un produs scalar.

P2) Nu intotdeauna un spatiu normat poate fi organizat ca spatiu euclidian, deoarece nu orice norma provine dintr-un produs scalar (vezi, de exemplu, norma unu).

Distanta. Spatii metrice. Proprietati.

Fie X o multime nevida.

Definitia II.14. Aplicatia se numeste distanta sau metrica pe X, daca sunt indeplinite urmatoarele axiome:

d1) .

D2)

d3)

Definitia II.15. Cuplul de obiecte matematice se numeste spatiu metric.

ProprietatI:

P1)

P2) .

Teorema II.10. Daca este un spatiu normat, atunci aplicatia definita de este o metrica pe X.

Observatia II.11. Din teorema de mai sus rezulta ca orice spatiu normat este spatiu metric si, din proprietatea P1) de la paragraful anterior rezulta ca orice spatiu euclidian este spatiu metric. Rezulta de asemenea, din P2), ca reciproca nu este adevarata.

Pe parcurs, vom mai introduce si alte elemente de teorie, pe masura ce va fi necesar.

EXEMPLE

II. 1. Aratati ca structurile urmatoare sunt spatii vectoriale:

a)

b). Atunci, este spatiu vectorial real.

c) spatiu vectorial real.

d) spatiu vectorial real, unde

Solutie:

Rezolvarea problemei propuse presupune verificarea axiomelor de spatiu vectorial pe care le-am enuntat in elementele de teorie. Prezentam rezolvarea pentru punctul b), iar pentru usurarea scrierii prezentam cazul particular n= 2.

v1) .

Fie x,y,z de forma:

Egalitatea de demonstrat conduce la egalitatea polinoamelor scrise mai sus ceea ce inseamna, urmarea identificarii coeficientilor:

Aceste egalitati sunt in mod evident adevarate datorita asociativitatii adunarii numerelor reale.

V2) .

Aceasta a doua axioma de spatiu vectorial ne asigura de existenta elementului neutru fata de adunarea polinoamelor de grad cel mult 2. Fie, deci

?n aceste conditii,

Prin urmare, relatia se verifica pentru definit ca mai sus.

V3) .

Relatia este evidenta:

V4) .

v5)

v6) .

II. 2. Aratati ca urmatoarele multimi reprezinta subspatii vectoriale ale spatiilor mentionate:

a)    Sa se determine valorile parametrului real m pentru care

b)   subspatiu al lui .

c)    este subspatiu vectorial al lui .

Solutie:

Definitia subspatiului vectorial, precizata in elementele de teorie este:

a) Fie multimea despre care urmeaza sa demonstram ca este subspatiu vectorial al lui . Pentru aceasta vom considera doua elemente ale acestei multimi, pe care le vom nota (vezi forma lui W) cu , unde coordonatele acestor doi vectori satisfac conditia din definitia lui W:

Pentru a dovedi ca W este subspatiu vectorial, consideram combinatia liniara si demonstram ca este element al lui W, .

Pe de alta parte,

Inlocuim in (*) si avem:

d) Fie . Evaluam suma , unde:

Evident, . Calculam

Prin urmare, , deci definitia subspatiului vectorial este verificata.

II. 3. Stabiliti daca vectorii de mai jos sunt liniar independenti, iar in caz contrar stabiliti relatia de dependenta:

a)   

b)  

c)   

d)  

e)   

Solutie:

a) Evident, acesti 3 vectori sunt din , deoarece au 3 componente. Sa stabilim, utilizand definitia, daca ei sunt liniar independenti. Pentru aceasta, vom considera o combinatie liniara de forma:

Determinam valorile lui. Inlocuim vectorii care ni s-au dat:

Problema s-a redus, asadar la rezolvarea unui sistem de trei ecuatii cu trei necunoscute, in care termenul liber este egal cu 0. Calculam determinantul sistemului:

Atunci, sistemul are solutie unica si in plus, deoarece termenul liber este nul, aceasta unica solutie este nula:

Concluzionam de aici ca ne incadram in definitia sistemului liniar independent, deci sunt liniar independenti.

Observatia II. 12. Problema deciderii daca un sistem de vectori este sau nu liniar independent s-a redus, dupa cum am vazut, la calculul unui determinant. Ca metoda de lucru pentru astfel de probleme, propunem urmatoarele:

Dorim sa aflam daca vectorii sunt liniar independenti, unde . Construim cu ajutorul acestor n vectori, asezati pe coloana, un determinant de ordinul n si il calculam.

n   daca det = 0, vectorii sunt liniar dependenti

n   daca det0, vectorii sunt liniar independenti.

Aceasta metoda se poate aplica doar pentru sisteme de vectori pentru care numarul vectorilor din sistem este egal cu numarul de componente. Pentru trei vectori de cate patru componente, de exemplu, putem construi matricea, dar nu mai are sens determinantul, deoarece matricea construita nu mai este patratica. Pentru sistemele de vectori care nu intra sub incidenta metodei, procedam astfel:

n     Daca numarul de vectori din sistem este mai mare decat numarul de componente, elementele de teorie ne asigura ca ei nu pot fi liniar independenti.

n     Daca numarul de vectori din sistem este mai mic decat numarul de componente, putem utiliza determinantul Gramm, care pentru un sistem format din vectorii se defineste astfel:

unde reprezinta produsul scalar al vectorilor . Regula pe care o vom aplica spune ca daca G este nul, sistemul de vectori cu care a fost construit este liniar dependent, iar daca este nenul, vectorii sunt liniar independenti. Vom aplica aceasta metoda pentru exercitiul de la g).

c) Pentru sistemul de vectori dat, verificam liniar dependenta sau independenta construind determinantul despre care am discutat: