SPATIU METRIC
Daca in cadrul structurii de spatiu topologice densitatea elementelor putea fi data numai cu ajutorul vecinatatilor fara a se putea stabili "distanta" dintre acestea, in cadrul structurii de spatiu metric se va putea s 16416w2216q tabili si aceasta "distanta".
Definitia 1. (Notiunea de distanta sau metrica)
Fie o multime oarecare si aplicatia
.
Daca:
1o oricare ar fi
si
daca si numai daca
2o
, oricare ar fi
3o
oricare ar fi
(inegalitatea triunghiului),
atunci aplicatia este distanta sau metrica pe multimea
.
Cupletul , poarta denumirea de spatiu
metric.
Propozitia 1. Orice multime poate fi metrizabila
(inzestrata cu structura de spatiu metric).
Demonstratie:
Pentru a arata
acesta afirmatie este suficient sa se construiasca pe o aplicatie
, care sa verifice axiomele din definitia 1. Intr-adevar daca
se considera:
este
o distanta pe
, deoarece verifica toate cele trei axiome.
1o Axioma 1 este evidenta din modul de constructie
2o Pentru
orice |
rezulta ca
= 1 =
3o Pentru cazul 3 pot exista mai multe posibilitati:
sau
sau
sau
etc.
Pentru
avem
rezulta ca:
In mod analog se demonstreaza axioma 3 pentru celelalte cazuri, astfel rezulta ca orice multime poate fi metrizabila.
Observatia 1. Pe o multime E pot fi considerate mai multe metrici care au proprietatea ca pe acea multime una masoara mai fin decat cealalta.
Exemple:
Aplicatiile definite mai jos sunt metrici sau distante pe multimile specificate:
a)
este metrica pe i
b)
unde
,
este metrica pe i2
c)
unde
,
este metrica pe i3
d)
unde
,
este metrica pe im.
Aceste distante se numesc distante euclidiene.
Definitia 2. Fie spatiu numeric.
Multimile
si
se
numesc sferele deschise respectiv inchise ale spatiului metric .
Observatia 2.
a) metrica euclidiana, atunci
si
b) si d metrica euclidiana, atunci
si se numeste discul plan deschis, iar
si se numeste discul plan inchis.
c)
si se numeste sfera deschisa din i3
si se numeste sfera inchisa din i3.
Propozitia 2.
Orice sptiu metric este
un spatiu topologic. Reciproca nu este in general
adevarata.
Demonstratie:
Se arata ca formeaza o topologie.
Aceasta topologie mai poarta denumirea si de topologie
metrica.
Pentru
a arata ca este o topologie se
arata ca
sunt multimi deschise,
pentru orice
fixat si orice
.
Indicatie: Se arata
ca (interior).
In mod analog ca
mai sus se arata ca daca (sunt multimi
deschise) atunci
.
Daca pentru orice
avem
de unde rezulta ca
intr-adevar
este
o topologie.
4. NORMA. SPATIU VECTORIAL NORMAT
Definitia 1:
Fie un
spatiu vectorial si
o aplicatie. Daca:
> 0, pentru orice
;
si
= 0, daca
. (
este elementul neutru in raport cu adunarea in spatiu
vectorial
)
, pentru orice
, pentru orice
,
Atunci aplicatia
este o norma pe
.
Cupletul se numeste spatiu vectorial normat, iar norma
, mai are si urmatoarea notatie:
.
Propozitia 1. Orice norma defineste o distanta.
Demonstratie:
Fie un spatiu vectorial
normat, iar norma j mai are si urmatoarea
notatie
.
Aplicatia
este
o distanta (metrica) pe multimea
1o pentru orice
si
rezulta
. Intr-adevar
pentru
orice . Dar
daca si numai daca
si
rezulta
. Dar
daca si numai daca
.
2o Trebuie aratat ca . Intr-adevar
3o Trebuie aratat ca oricare ar fi
. Intr-adevar
Astfel am demonstrat ca orice norma defineste o distanta.
Observatia 1. Tinand cont de propozitia anterioara, orice spatiu vectorial normat este si un spatiu metric dar reciproca nu este in general valabila.
Intr-un spatiu vectorial normat se poate opera cu elementele si se pot crea vecinatati in care se poate determina precis densitatea elementelor prin masurarea distantei dintre ele, dar intr-o astfel de structura nu se poate defini notiunea de directie, deci de unghi. Aceasta directie poate fi stabilita cu ajutorul notiunii de produs scalar.
Definitia 2:
Fie
un spatiu vectorial
normat peste campul
si aplicatia
, daca:
1. , oricare ar fi
2. , oricare ar fi
3. , oricare ar fi
, oricare ar fi
,
si
, daca si numai daca
.
Atunci
aplicatia se numeste produs scalar pe spatiul vectorial
.
Produsul scalar se noteaza si astfel
.
Observatia 2: Fie un
spatiu vectorial. Daca acest spatiu vectorial este
inzestrat cu un produs scalar, atunci poarta denumirea de spatiu prehilbertian.
Propozitia 2. Fie
E spatiu vectorial si un
produs scalar. (E un
spatiu prehilbertian), atunci au loc urmatoarele relatii:
1o
2o
3o (inegalitatea
Cauchy-Buniakovski-Schwarz).
Demonstratie:
1o Tinand cont de punctul 1 din definitia 2 rezulta
2o
3o Fie . Atunci conform definitiei produsului scalar se poate scrie
ca:
Deci pentru orice avem:
(trinom
de gradul doi in ) unde
. Din proprietatile trinomului de gradul 2 este evident ca
. Asadar
Propozitia 3. Oprice produs scalar defineste o norma.
Intr-adevar daca se considera aplicatia:
atunci
aceasta aplicatie este o norma pe multimea
1o , pentru orice
si
rezulta
Intr-adevar , pentru orice
rezulta
pentru orice
.
2o Trebuie
aratat ca , pentru orice
.
Intr-adevar .
3o
Trebuie aratat ca .
Intr-adevar
Exemplu: Fie . Sa se arate ca aplicatia:
a)
este un produs scalar
pe
b)
Daca este
un produs scalar.
Definitia 3.
Fie un
spatiu topologic. Acest spatiu topologic se numeste topologic
separat daca pentru orice
cu
exista
si
astfel incat
.
Spatiu topologic separat prezinta o importanta deosebita deoarece numai intr-un astfel de spatiu topologic, atunci cand limita exista, ea este unica.
Notiunea de convergenta este bine definita intr-un spatiu topologic separat.
Propozitia 4. Orice spatiu vectorial normat este un spatiu topologic separat.
Demonstratie:
Fie spatiu vectorial
normat.
Fie
arbitrare. Se considera
.
Fie sferele:
.
Aceste multimi sunt vecinatati ale lui respectiv
in topologia metrica.
Dar
este evident ca
SIRURI IN SPATII TOPOLOGICE, SPATII METRICE,
Definitia 1: Fie o multime oarecare si
, o functie,
poarta denumirea de termenul
general al sirului, generat de functia
in multimea
, iar sirul de elemente din multimea
, ce are acest termen general se mai noteaza si astfel:
1. , (nu intereseaza forma termenilor
sirului)
2. , (sirul este considerat ca o multime;
intereseaza elementele lui).
Observatia 1:
a) Se observa din defin itia anterioara ca sirul este multimea valorilor unei functii oarecare f, dar care are domeniul de definitie ¥,
b) Natura elementelor multimii E, da tipul sirului. Astfel:
sir
de numere reale
£ sirul este de numere complexe
sir
de elemente din
sirul
functiilor
c) Pentru a putea fi facut un studiu complet al sirurilor, multimea E trebuie sa fie organizata cu structura de spatiu vectorial normat.
Dar studiul sirurilor mai poate fi efectuat si daca E este inzestrata cu structura de spatiu metric sau de spatiu topologic (nu se pot face operatii cu siruri).
Problema care se pune in legatura cu sirurile, dupa cum se stie este monotonia, marginirea si convergenta acestora.
Monotonia:
Daca
multimea este
o multime ordonata, atunci sirul
si
este monoton.
Monotonia sirurilor reale este:
a) - se spune ca sirul
este strict crescator.
b) - se spune ca sirul este crescator.
c) - se spune ca sirul este strict descrescator.
d) - se spune ca sirul este descrescator.
Marginirea:
Notiunea de
marginire a unui sir este posibila daca multimea este un spatiu metric cel putin. Cum sirul este de fapt multimea
, definitia marginirii este urmatoarea:
Definitie:
Fie , un spatiu metric, sirul
cu
este marginit daca exista
fixat si
, astfel incat
, pentru orice
,
.
Cum orice sir
poate fi considerat ca o multime, folosind notatia , toate afirmatiile legate de multimi marginite sunt valabile
si pentru siruri.
Daca , atunci sirul
are urmatoarea forma:
unde sunt siruri de numere
reale care se mai numesc proiectiile sirului
.
Deoarece
un sir este o multime, propozitia referitoare la
marginirea multimilor din se transpune si la
marginirea sirurilor astfel:
Propozitie: Fie un sir de elemente din
; acest sir este marginit daca si numai daca fiecare
proiectie a sa
este un sir marginit.
Convergenta:
Notiunea
de convergenta a unui sir este
posibila daca multimea
este inzestrata cu
structura de spatiu topologic, spatiu metric si spatiu vectorial normat.
6. SIRURI CAUCHY
Notiunea de sir Cauchy sau fundamental, este o notiune utila in studiul convergentei sirurilor atunci cand limita este greu sau imposibil de calculat.
Definitia
sirului Cauchy: Fie , un spatiu metric si
un sir de elemente
din acest spatiu. Se spune ca sirul
este un sir
Cauchy sau sir fundamental, daca si numai daca pentru orice
exista
astfel incat oricare
ar fi
rezulta ca
.
Criteriul de convergenta al lui Cauchy pentru siruri: Intr-un spatiu metric complet un sir este convergent daca si numai daca este un sir Cauchy.
Un sir de
numere: este convergent daca
si numai daca pentru orice numar
exista un numar
astfel incat oricare
ar fi
si orice numar intreg
sa avem
| <
.
Demonstratie:
Conditia este necesara:
Intradevar,
sirul, fiind convergent, are o limita si deci pentru oricare ar fi , exista
, astfel incat pentru
sa avem
|
deci si
pentru
, deoarece
.
In egalitatea:
avem:
Conditia este asadar necesara.
Conditia este suficienta:
Sa dam lui valoarea fixa
. Conform ipotezei: |
, cu
deci cu exceptia termenilor
, toti ceilalti termeni
(
= 1, 2,.) se afla in intervalul
.
Sa
presupunem ca este limita superioara
si
, limita inferioara,
, rezulta de aici ca
si
se gasesc in acest
interval, deci:
,
fiind
arbitrar, iar
si
sunt fixe, diferenta
lor nu poate fi arbitrar de mica daca
=
, iar sirul este convergent.
Exemplu: Avem sirul:
Este convergent
,
deoarece
sumele s.a.m.d. sunt toate
negative.
Rezolvare:
----- ----- -----
5y = 5
|