STUDIUL ECUATIILOR ALGEBRICE CU AJUTORUL METODEI GRAFICE

STUDIUL ECUATIILOR ALGEBRICE CU AJUTORUL METODEI GRAFICE

INTRODUCERE

Puternic ancorata in realitatile contemporane si cu implicatii in toate domeniile, matematica zilelor noastre devine tot mai mult modelul spre care privesc cu incredere si interes celelalte stiinte. Matematica a patruns treptat si din ce in ce mai mult, in sfera conceptului de cultura generala si de cultura de specialitate, lasand putine sectoare lipsite de prezenta ei. In contextul noii reforme curriculare, semnificatia si importanta teoretica si practica a matematicii creste mereu facand din ea unul dintre principalele obiecte de instruire, materia cu necontestate valente formative, predarea ei in scoala devenind obiectul unor cercetari stiintifice de mare anvergura.

Intelegerea esentei matematice este realizabila numai prin infiltrarea profunda in elemente ei componente. O astfel de componenta, cu rol esential in cultura stiintifica a oricarui cercetator al naturii este analiza matematica. Aceasta, pe  langa

rolul informational, dezvolta abilitati de calcul, disciplineaza gandirea, canalizeaza intuitia, oferind nenumarate exemple de modelare matematica a unor fenomene fizice, chimice, economice, etc.

Analiza matematica si-a largit permanent obiectul de studiu prin elaborarea de noi concepte si in corelare cu tehnica moderna de calcul, a  rezolvat probleme inaccesibile pana nu de mult, influentand nemijlocit drumul spre cunoastere si impresionand prin universalitatea rezultatelor ei. Dezvoltarea ei a fost impusa de nevoile directe ale studiului fenomenelor naturii, avand la baza notiunea de functie, ce poate fi considerata substratul general abstract al oricarei legi din natura. Ea isi are aplicabilitate si in algebra, in studiul ecuatiilor.

Teoria ecuatiilor, ocupa un loc important in matematica si constituie un subiect atractiv pentru matematicienii de toate varstele, prin multitudinea problemelor ce le

abordeaza. Ecuatiile, ca multe alte notiuni matematice, reprezinta modelarea matematica a unor situatii-problema din cotidian. O problema interesanta din sfera ecuatiilor, o constituie studiul numarului si naturii solutiilor unor ecuatii apeland la cunostintele de analiza matematica, mai precis la metoda grafica.

Lucrarea de fata abordeaza problema anterioara pe parcursul a trei mari capitole.

Primul capitol contine cateva referiri la notiunea de ecuatie algebrica, la tipurile

de ecuatii algebrice, la notiunea de functie reala, tipuri de functii reale si anumite proprietati ale acestora, la operatii cu functii reale, la conceptele de continuitate si

de derivabilitate a functiilor  reale.

Urmatorul capitol trateaza metoda sirului lui Rolle pentru rezolvarea ecuatiilor, trecand in revista principalele teoreme si consecinte ale lor, cu exemple concrete.

Capitolul final atinge obiectivul lucrarii, prin referiri teoretice la studiul variatiei unei functii reale, la trasarea graficului sau, culminand cu prezentarea metodei grafice in analiza solutiilor unor ecuatii, pe exemple justificative. Acest capitol se incheie prin prezentarea unor consideratii metodice legate de tema si de procesul instructiv educativ in cadrul orelor de matematica, in contextul noului curriculum.

Lucrarea, prin tema si continutul sau, este un ghid verit 737c21h abil in insusirea temeinica a metodei grafice de rezolvare a ecuatiilor.

CAPITOLUL I

NOTIUNI PRELIMINARII

".A-l invata pe altul nu este nimic altceva

decat a determina, intr-un fel, cunoasterea

la un altul."

(Toma d'Aquino, "De magistro") 

1. ECUATII ALGEBRICE

1. 1. Notiuni generale

Ecuatia este o egalitate intre doua expresii algebrice care contin variabile. Variabilele unei ecuatii se numesc necunoscute, care iau valori in multimea de definitie a ecuatiei. Cand multimea de definitie, D, nu este precizata, ea se considera multimea R a numerelor reale sau o submultime a lui R pe care expresiile din ecuatie au sens.

Ecuatia cu o necunoscuta este o egalitate de forma:

F() = E() sau F() = 0,

unde E() si F() sunt expresii in care apare necunoscuta.

Solutia (sau radacina) unei ecuatii este un numar care, inlocuind necunoscuta, transforma ecuatia intr-o propozitie adevarata. Deci, spunem ca numarul este solutie a ecuatiei F() = 0, D, daca D si propozitia F() = 0 este adevarata (adica inlocuind in ecuatie variabila prin , obtinem o propozitie adevarata).

Rezolvarea unei ecuatii inseamna gasirea tuturor solutiilor ei.

Multimea solutiilor ecuatiei F() = 0, D este multimea S a elementelor din D, care sunt solutii ale ecuatiei.

Ecuatia F() = 0, D, este o ecuatie algebrica de gradul , daca F() este un polinom de grad . 

Toate ecuatiile care nu sunt algebrice se numesc transcendente. Rezolvarea lor este mai dificila decat cea a ecuatiilor algebrice. Ele necesita metode de rezolvare care depasesc puterea algebrei "quod algebrae vires transcendent" ca sa citam pe Leonhard Euler.

Pe cand pentru ecuatiile algebrice se pot obtine formule generale ale solutiilor si se pot stabili propozitii in legatura cu numarul lor, acest lucru nu este posibil pentru ecuatiile transcendente.

Ecuatiile sunt echivalente daca au acelasi domeniu de definitie si aceeasi multime de solutii. In caz contrar ecuatiile sunt neechivalente. De fapt, metodele de rezolvare in cele mai multe cazuri constau dintr-un sir de transformari echivalente succesive prin care ecuatia se aduce la o forma din care solutia poate fi citita.

Teoria ecuatiilor are drept scop gasirea diferitelor proprietati ale unei ecuatii,care sa permita calculul exact sau cu aproximatie, al radacinilor ei si sa se traga concluzii asupra radacinilor cand coeficientii au anumite proprietati.

Ecuatiile algebrice pana la gradul 4 inclusiv sunt rezolvabile prin radical (o expresie care este o suprapunere de radacini cu exponenti naturali).

Formulele pentru obtinerea solutiilor ecuatiilor de grad superior sunt complicate, ele apartinand unei categorii mai largi de numere.

Pe langa rezolvarea numerica a ecuatiilor mai exista si metoda grafica.

Aceasta metoda se bazeaza pe corespondenta biunivoca dintre solutii si punctele planului. Reprezentand aceste puncte intr-un sistem de coordonate, se pot obtine solutii aproximative ale ecuatiilor. Sistemul de coordonate care se foloseste este cartezian rectangular. In aplicarea acestei metode, se recomanda ca graficele sa fie trasate cu cat mai mare precizie (pe hartie milimetrica, alegand puncte suplimentare pe grafice).

Apeland la cunostintele de algebra si geometrie analitica a planului putem rezolva grafic ecuatiile liniare, patratice sau cubice, iar cu ajutorul analizei matematice putem studia si alt gen de ecuatii.

1. 2. Tipuri de ecuatii

1. Ecuatia de gradul intai

, , R,

are radacina daca .

Daca si , avem o infinitate de radacini;

Daca si , nu avem nici-o radacina.

2. Ecuatia de gradul al doilea

, , , R,

are radacinile:

, , unde .

Radacinile sunt reale, confundate sau complexe, dupa cum discriminantul Δ este respectiv pozitiv, nul sau negativ.

3. Ecuatia de gradul al treilea

, , , ,R,

Prin inlocuirea lui cu , ecuatia devine:

(1)

Pentru aceasta ecuatie avem formula lui Cardano:

Din punct de vedere al realitatii radacinilor ecuatiei (1), presupusa cu coeficienti reali, avem urmatoarele cazuri:

1º , avem o singura radacina reala, caci expresiile de sub radicalii cubici sunt reale;

2º , ecuatia are trei radacini reale, dintre care doua egale intre ele;

3º , ecuatia are trei radacini reale, neegale intre ele.

4. Ecuatia de gradul al patrulea

R

Prin inlocuirea lui cu , se aduce la forma:

Descompunand polinomul din prima parte in produs de trinoame de gradul doi:

gasirea coeficientilor se reduce la rezolvarea unei ecuatii de gradul trei si a uneia de gradul doi.

5. Ecuatii binome

Se intelege prin ecuatie binoma, o ecuatie de forma

unde si sunt numere naturale iar si constante (in general complexe ).

Eliminand radacinile nule, ecuatia se poate scrie:

deci

asa ca solutiile ecuatiei sunt cele valori ale radacinii de ordinul din numarul complex . Facand notatia:

radacinile sunt:

6. Ecuatii trinome

Printr-o ecuatie trinoma intelegem o ecuatie de forma

(

unde sunt numere intregi nenegative, iar sunt constante complexe.

Eliminand factorul corespunzator celor radacini nule, obtinem ecuatia:

In cazurile cand , sau , rezolvarea acestei ecuatii se reduce la rezolvarea unei ecuatii de gradul doi, respectiv trei, si a unei ecuatii binome.

In cazul cand si , ecuatia se numeste bipatrata

7. Ecuatii reciproce

O ecuatie algebrica este reciproca, daca admitand radacina admite si radacina .

Rezulta ca in ecuatie coeficientii termenilor egal departati de extremi sunt fie egali (speta intai), fie opusi (speta a doua). Astfel, ecuatiile reciproce de gradul trei sunt de tipul:

sau

Orice ecuatie reciproca de grad impar si de speta intai are radacina −1, iar cele de speta a doua radacina +1. Pentru ecuatiile de grad par 2 se face substitutia:

si se ajunge la o ecuatie de gradul in

Problemele care apar frecvent in studiul ecuatiilor algebrice sunt:

1º - calculul radacinilor rationale ale unei ecuatii algebrice cu coeficienti numere intregi;

2º - calculul radacinilor multiple ale unei ecuatii algebrice;

3º - aflarea numarului de radacini reale ale unei ecuatii si a intervalelor in care acestea se gasesc;

4º - limitarea radacinilor unei ecuatii algebrice;

5º - separarea radacinilor;

6º - calculul cu aproximatie al radacinilor reale ale unei ecuatii;

7º - calculul exact sau cu aproximatie al radacinilor complexe ale unei ecuatii algebrice cu coeficientii reali.

Problema 3º constituie subiectul acestei lucrari si in mod special al capitolului final.

2. FUNCTII REALE. NOTIUNI GENERALE

1º Definitia functiei

Fie tripletul (, A, B), unde A, BR, A se numeste domeniul de definitie, B se numeste codomeniu, iar se numeste functia definita pe multimea A cu valori in multimea B daca in baza unui procedeu facem sa corespunda fiecarui element din domeniu un element si numai unul din codomeniu.

Vom nota : A →B.

Functia cu valori in R se numeste functie reala

2º Graficul unei functii

Este o submultime a lui Rformata din toate perechile ordonate R astfel incat A si , adica = .

Mai spunem ca este ecuatia graficului functiei .

3º Egalitate de functii

Doua functii sunt egaledomeniile de definitie coincid, codomeniile coincid si valorile functiilor coincid pentru un acelasi argument, adica fiind date : A →B si : A′→B′, atunci:

A = A′, B = B′ si pentru orice A.

4º Operatii algebrice cu functii reale

Fie : A →R, : B →R, A, B R

□ Suma (diferenta): ±: A ∩ B →R, ;

□ Produsul: : A ∩ B →R, ;

□ Catul: : A ∩ B R

□ Ridicarea la putere: : A ∩ B →R, .

Observatie Daca multimile A si B sunt disjuncte, atunci functiile:

, , , nu pot fi definite.

5º Functii monotone 

Fie functia reala : A →R, AR

Functia se numeste:

a) monoton crescatoare pe A, daca

A, ;

a′) strict crescatoare pe A, daca

A, ;

b) monoton descrescatoare pe A, daca

A, ;

b′) strict descrescatoare pe A, daca

A, ;

c) monotona pe A, daca este sau monoton crescatoare sau monoton descrescatoare pe A;

c΄) strict monotona pe A, daca este sau strict crescatoare sau strict descrescatoare pe A.

6º Functii marginite

Fie : A →R atunci

a) este marginita superior daca multimea valorilor ei (A), este majorata, adica exista un numar real , astfel incat pentru orice A;

b) este marginita inferior daca multimea valorilor ei este minorata, adica daca exista un numar real , astfel incat pentru orice A;

c) este marginita daca este marginita inferior si superior, adica daca exista , reale, astfel incat , A (sau, echivalent, daca exista astfel incat , pentru orice A).

Evident, daca AR, atunci functia este marginita daca si numai daca graficul lui este cuprins intre doua paralele la axa O (aici intre si ).

Proprietati:

□ Suma (diferenta), produsul a doua functii marginite este o functie marginita;

□ Catul a doua functii marginite nu este intotdeauna o functie marginita, ca de exemplu:

si ,

care sunt functii marginite, iar R care este functie nemarginita.

In concluzie, daca : A →R este o functie marginita superior (respectiv inferior), atunci multimea tuturor valorilor sale, adica imaginea sa este  marginita superior ( respectiv inferior) si, deci are marginea superioara notata cu respectiv marginea inferioara notata cu . Daca este o functie marginita atunci si daca are loc egalitatea, atunci este constanta pe A. Daca nu este marginita superior vom scrie iar daca nu este marginita inferior, vom scrie .

7º Cateva functii elementare importante

In analiza matematica sunt numite functii elementare urmatoarele functii:  functiile polinomiale, functiile rationale, functia radical, functia putere, functia exponentiala, functia logaritmica, functiile circulare directe (sin, cos, tg, ctg) si functiile circulare reciproce (arcsin, arccos, arctg, arcctg), precum si functiile obtinute din acestea prin aplicarea succesiva, de un numar finit de ori, a operatiilor algebrice, a operatiei de compunere si a operatiei de inversare.

Daca domeniul de definitie al unei functii elementare nu este precizat, se subintelege ca el este format din toate punctele pentru care au sens operatiile prin care este definita functia. Acesta este domeniul maxim de definitie al functiei. O functie elementara poate fi insa considerata definita doar pe o parte a domeniului de definitie.

Vom trece acum in revista unele functii importante, in legatura cu proprietatile de monotonie , marginire si periodicitate.

□ Orice functie polinomiala este definita pe intreg R si nu este marginita si nici periodica (in cazul cand ).

Monotonia lui trebuie studiata de la caz la caz.

Daca , atunci functia este monotona pe intreg R, iar graficul lu este o dreapta.

Functia: R R definita prin , R, nu este monotona pe R si are numai valori pozitive.

Functia: R R, este strict crescatoare si este nemarginita pe R

□ Orice functie rationala (, fiind polinomiale) are ca domeniu maxim

de definitie D = .

Daca nu are radacini reale, atunci D = R. Nu se poate afirma in general, nimic despre marginirea sau monotonia functiilor rationale.

De exemplu, functia: R R, este strict descrescatoare pe

(−∞, 0) si pe (0, ∞) (fig. I.1, a), dar functia : R R, nu este monotona pe R (fig. I.1, b).

Fig. I.1

□ Functia exponentiala si functia logaritmica

R si si are numai valori pozitive.

Daca , ea este strict crescatoare pe R, bijectiva si nu este marginita, inversa ei fiind functia logaritmica R care este de asemenea, strict crescatoare pe intervalul (0, ∞).

Daca , ele sunt strict descrescatoare.

In figura I.2, a, b observam graficele functiilor si

Fig. I.2

□ Functiile sin si arcsin

Functia sin: R R este marginita si periodica de perioada principala 2π, ea nu este monotona pe R si nu este bijectiva. Restrangand convenabil domeniul de definitie si domeniul de valori, anume considerand functia:

sin: → [−1, 1] se obtine o functie bijectiva strict crescatoare. Inversa ei:

este, de asemenea, strict crescatoare.

Functia cos: R R nu necesita un studiu aparte, deoarece

cos =  sin ( - R

De asemenea, functia arccos: [−1, 1] → [0,π] nu necesita un studiu special, deoarece arccos = - arcsin [−1, 1]. Graficele sunt redate in fig. I.3.

Fig. I.3

□ Functiile tangenta si functia arctangenta

Functia tangenta este definita pe multimea

D = R R

Aceasta functie este periodica, de perioada principala si este nemarginita.

Functia tg: (, ) →R este strict crescatoare, bijectiva si nemarginita, iar inversa ei arctg : R ,) este strict crescatoare si marginita. Graficele sunt redate in figura I.4.

Fig. I.4

Functiile ctg, arcctg nu necesita un studiu special deoarece

ctg = tg (- R Z) si arcctg = - arctg R

8º Cateva tipuri de functii particulare

se numeste functie afina sau functie polinomiala de gradul I, daca exista R astfel incat

□ Fie : A →B, se numeste functie constanta, daca , pentru orice A, R, iar graficul sau este o dreapta paralela cu axa O

□ Fie : A →B, se numeste permutarea multimii A, daca este bijectiva si A = B;

Functia modul: | |: R

Functiile maxim si minim

max ( max

min ( min

□ Functia signum sau functia semn

sgn: R → , sgn

□ Functia treapta unitate a lui O. Heaviside

R R

□ Functiile parte intreaga si parte zecimala (sau fractionara)

] : R Z : R

Fie un numar real , avand scrierea ca fractie zecimala cu Z , atunci partea intreaga a numarului real se defineste:

adica vom considera primul intreg din stanga numarului , iar partea fractionara se defineste:

adica =

Functii convexe si functii concave

Functia care verifica inegalitatea pentru orice A se numeste functie convexa. Daca inegalitatea este contrara, atunci se numeste functie concava

3. CONTINUITATEA SI DERIVABILITATEA FUNCTIILOR REALE

3. 1. Notiuni despre continuitatea functiilor reale

Ideea de continuitate a unei functii s-a desprins din reprezentarile intuitive asupra proceselor in desfasurarea carora nu apar salturi, ruperi.

Notiunea matematica de continuitate cere o definitie precisa, care sa conduca prin rationamente corecte la degajarea proprietatilor functiilor continue, importante in aplicatii si in dezvoltarile teoretice ulterioare.

Conceptul de functie continua s-a definit relativ tarziu si este datorat in principal lui A. Cauchy, B. Bolzano si G. Darboux.

□ Functii continue intr-un punct; functii continue pe o multime

Fie functia reala : E →R, (ER) si un punct care apartine lui E.

Functia se numeste continua in punctul , daca pentru orice vecinatate V a punctului ) exista o vecinatate U a punctului astfel incat din faptul ca

U ∩ E sa rezulte V.

Daca functia nu este continua in punctul ea se numeste discontinua in acel punct .

Daca este un punct izolat al lui E (adica exista o vecinatate U a lui astfel incat U∩ E = ), atunci conditia anterioara este indeplinita automat si este continua in punctul

Daca functia este continua in fiecare punct al multimii E, atunci ea este continua pe multimea E.

Retinem ca pentru a pune problema continuitatii sau discontinuitatii unei functii intr-un punct este necesar ca functia sa fie definita in acel punct.

Teorema I. 1. ( de caracterizare a continuitatii intr-un punct ).

Fie : E →I si E. Sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

1º. Functia este continua in punctul

2º. Pentru orice sir E, , sirul este convergent si are limita

3º. Pentru orice exista depinzand de astfel incat din faptul ca R sa rezulte

Daca este un punct izolat al multimii E, atunci afirmatiile teoremei sunt verificate intotdeauna.

Proprietatea I. 1. de pastrare a semnului pe o vecinatate ).

Daca : E →R este continua in si (respectiv ), atunci exista o vecinatate U a punctului astfel incat (respectiv

Fie : E →R si E atunci:

Daca in punctul exista limita la stanga si in plus , atunci se spune ca este continua la stanga in punctul

Daca in punctul exista limita la dreapta si in plus , atunci functia este continua la dreapta in

Asadar, daca pentru o functie : E →R si pentru un punct E, care este punct de acumulare pentru E ∩ (-∞ , ) si pentru E ∩ (, ∞), exista si atunci este continua in  daca si numai daca

Daca o functie: E →R nu este continua intr-un punct E, desi limitele laterale in exista si sunt finite, atunci se spune ca este un punct de discontinuitate de prima speta pentru functia ; punctele care nu sunt de prima speta se numesc de speta a doua. Functia monotona are discontinuitati numai de prima speta

□ Operatii cu functii continue

Teorema I. 2. Daca : E →R, ( E R) sunt doua functii continue intr-un punct E, respectiv pe E. Atunci functiile + - sunt continue in , respectiv pe E; daca , atunci este continua in (respectiv pe

E ).

Prin inductie completa se arata ca daca sunt functii continue pe E, atunci suma si produsul ·· sunt de asemenea continue pe E.

Teorema I. Fie : E →F, : F →R, ( E, FR) doua functii reale si

= functia lor compusa. Daca este continua intr-un punct E si este continua in punctual = ), atunci este continua in punctul

Daca este continua pe E si continua pe F, atunci este continua pe E.

Teorema I. 4. Daca este un punct de acumulare pentru E si daca exista F, iar este continua in , atunci exista

Deci orice functie continua comuta cu limita.

Teorema I. 5. Daca : E→R sunt functii continue in punctul E respectiv pe multimea E), atunci | |, max ( ) si min ( ) au aceeasi proprietate.

□ Proprietati ale functiilor continue pe un interval

Teorema I. 6. ( teorema lui Weierstrass de marginire ). Orice functie continua pe un interval compact este marginita si isi atinge marginile.

Deci: adica , pentru unde si

Proprietatea I. 2. ( proprietatea lui Darboux ). Fie I un interval. Se spune ca o functie : I →R are proprietatea lui Darboux pe intervalul I daca, pentru orice din I si oricare ar fi numarul situat intre si , exista cel putin un punct , astfel incat

Cu alte cuvinte, odata cu valorile luate in doua puncte ale intervalului I, functia ia si toate valorile intermediare, atunci cand parcurge intervalul dintre cele doua puncte (fig. I.5).

Fig. I.5

Teorema I. 7. ( a valorilor intermediare ). Orice functie continua pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval.

Lema. Daca R este o functie continua si , atunci exista cel putin un punct astfel incat

Aceasta lema e necesara in stabilirea zerourilor unei ecuatii. Daca, in plus, functia este strict crescatoare (sau strict descrescatoare) pe intervallul [ ], atunci solutia este unica.

Exemplu

Functia are exact un zerou situat pe intervalul [1, 2].

Intr-adevar, notand , se obtine o functie continua si, in plus, (2) = 10, deci si, in plus, este strict crescatoare pe intervalul [1, 2].

Corolar. Fie I R un interval si : I →R o functie continua pe I. Multimea

J =(I) este, de asemenea un interval.

Corolar ( semnul unei functii ) Daca este o functie continua pe un interval I si nu se anuleaza pe intervalul I (adica ecuatianu are solutii pe I), atunci functia are in mod necesar un semn constant pe I.

□ Continuitatea unor functii monotone

O functie care are proprietatea lui Darboux nu este neaparat continua (de exemplu, functiile derivate au proprietatea lui Darboux dar pot sa nu fie continue). Daca insa, pe langa proprietatea lui Darboux se adauga conditia de monotonie, atunci continuitatea este asigurata. Asadar, pentru functii monotone pe un interval, proprietatea lui Darboux este echivalenta cu proprietatea de continuitate.

Teorema I. 8. Daca este o functie monotona pe o multime E si daca multimea valorilor (E) este un interval, atunci este continua pe E.

Teorema I. 9. Daca este o functie strict monotona pe un interval I, atunci reciproca sa este continua.

3. 2. Notiuni despre derivabilitatea functiilor reale

Notiunea de derivata este una dintre notiunile fundamentale ale analizei matematice, atribuita deopotriva lui G. Leibniz si lui I. Newton.

Aceasta notiune modeleaza ceea ce s-ar putea numi "viteza de variatie a unei functii", permite adancirea studiului local si global al functiilor si, in acelasi timp, sta la baza formularii matematice a numeroase legi ale fizicii. Descoperirea notiunii de derivata a avut la origine doua probleme, una fizica - modelarea matematica a notiunii intuitive de viteza a unui mobil si alta geometrica - tangenta la o curba plana.

□ Definitia derivatei unei functii intr-un punct

Fie o functie : E →R, ( ER) si E, fiind totodata si punct de acumulare al multimii E. Retinem ca este definita in

Definitia I.

1º Se spune ca functia are derivata in punctul , daca exista limita (in

, notata cu

2º Daca derivata exista si este finita se spune ca functia este derivabila in punctul

Definitia I. Daca o functie : E →R, ( ER) este derivabila in orice punct al unei submultimi FE, atunci se spune ca este derivabila pe multimea F. In acest caz, functia

R

se numeste derivata lui pe multimea F si se noteaza cu . Operatia prin care se obtine din se numeste derivarea lui

Teorema I. 10. Orice functie derivabila intr-un punct este continua in acel punct.

Definitia I. 3. Fie ER si E un punct de acumulare pentru E∩ (- ∞,

Daca lim exista (in ), atunci aceasta limita se

numeste derivata la stanga a functiei in punctul . Daca in plus aceasta limita exista si este finita, atunci se spune ca este derivabila la stanga in punctul

In mod similar se defineste derivata la dreapta si notiunea de functie derivabila la dreapta in

Teorema I. 11. Daca : E →R este derivabila in punctul E, atunci este derivabila la stanga si la dreapta in si . Reciproc, daca este derivabila la stanga si la dreapta in si daca atunci este derivabila in si

□ Interpretarea geometrica a derivatei

Daca R este o functie derivabila intr-un punct ) atunci tangenta in punctul M ) este dreapta de ecuatie

unde

Asadar este coeficientul unghiular al tangentei la graficul lui , in punctul (

Daca = ±∞ (in sensul ca limita anterioara este ±∞), atunci tangenta in ( ) este paralela cu axa O

Fara nici-o dificultate, se poate vorbi de semitangenta la dreapta sau la stanga intr-un punct la un grafic, in legatura cu derivatele laterale respective in acel punct. Geometric, pentru o functie derivabila intr-un punct, directiile semitangentelor la dreapta si stanga la grafic in acel punct coincid.

Daca intr-un punct este continua si avem:

= +∞ si = −∞ (sau invers), atunci punctul se numeste punct de intoarcere al graficului lui (fig. I.6).

Fig. I.6

Daca o functie : E →R, ( ER) este continua intr-un punct E, daca exista ambele derivate laterale, cel putin una dintre ele fiind finita, dar functia nu este derivabila in , atunci se spune ca este punct unghiular al graficului lui

Intr-un punct unghiular cele doua semitangente, la stanga si la dreapta, formeaza un unghi (o, ) (fig. I.7.).

Fig. I.7

□ Derivate de ordin superior

Fie : E →R o functie derivabila pe multimea ER In acest caz este definita derivata : E →R a functiei Functia se numeste derivabila de doua ori intr-un punct E daca este derivabila intr-o vecinatate a lui si este derivabila in in acest caz, derivata lui in punctul se numeste derivata a doua (sau de ordinul doi) a lui in si se noteaza Daca este derivabila pe E, atunci derivata lui se numeste derivata a doua a lui si se noteaza cu

In mod similar se definesc si, prin inductie, se defineste derivata de ordin n Prin conventie se defineste derivata de ordin zero si derivata de ordin unu, (se scrie uneori in loc de si in loc de Daca pentru orice N, functia este de ori derivabila, atunci se spune ca este indefinit derivabila