SUBIECTE PENTRU EXAMENUL

ANALIZĂ MATEMATICĂ II

(CALCUL INTEGRAL)

PROFESOR PAUL FLONDOR

Din cauza faptului ca numeroase subiecte se repetau la diferite versiuni ale examenului, exercitiile si problemele au fost grupate pe capitole, modul de combinare al acestora urmând a fi explicat la sfârsitul lucrarii.

I.             TEORIE

Continuitatea si derivabilitatea integralelor improprii cu parametru.

Lungimea drumului.

Independenta integralei curbilinii de drum.

Teorema lui Poincaré pentru C².

Teorema de convergenta monotona.

2.1) Inegalitatea lui Cebâsev. Legea numerelor mari. Aplicatia Benoulli.

2.2) Lema lui Foton.

2.3) Legi de probabilitate uniforma, Poisson, Gauss si sa se defineasca densitatea de probabilitate, functia de repartitie si dispersia.

3.1) Formula integrala Cauchy si aplicatii la dezvoltarea în serie a functiilor olomorfe.

3.2) Teorema Cauchy (enunt, demonstratie) si formula integrala Cauchy.

3.3) Inegalitatile lui Cauchy, teorema lui Liouville si teorema fundamentala a algebrei.

II. INTEGRALE CU PARAMETRU (FUNCŢII DEFINITE DE INTEGRALE)

Sa se calculeze valoarea urmatoarelor integrale cu parametru

,

Pornind de la valoarea integralei sa se determine valoarea integralei

III. INTEGRALE CURBILINII sI FORMULA LUI STOKES

Sa se calculeze unde reprezinta intersectia planului cu cubul direct si cu formula lui Stokes.

Sa se calculeze unde este conturul cu , si cu , parcurs în sensul laturilor triunghiului ABC direct si cu Stokes.

Sa se calculeze unde este conturul obtinut prin intersectia sferei cu planele , si parcurs în sensul invers al acelor de ceasornic daca se priveste dinspre semiaxa pozitiva Ox.

Sa se calculeze , unde este un drum de clasa C¹ care uneste un punct de pe sfera cu un punct de pe sfera cu .

Sa se calculeze , unde este un drum de clasa C¹ care uneste un punct de pe sfera cu un punct de pe sfera cu .

Sa se calculeze , unde

Sa se calculeze

, unde

, unde reprezinta intersectia suprafetelor si cu .

Sa se studieze exactitatea formelor si sa se calculeze o primitiva (acolo unde este posibil) :

a)     pe ;

b)     , cu ;

c)      Sa se studieze independenta de drum a integralei .

Sa se calculeze lungimile arcelor :

a)     unde , unde este un numar real.

b)     unde

INTEGRALE EULERIENE

Sa se calculeze .

Sa se calculeze .

IV.          INTEGRALE DUBLE sI ARII

Sa se calculeze ariile marginite de curbele

, , si cu si

Sa se calculeze unde D este domeniul marginit de curbele , , si .

V.            INTEGRALE TRIPLE sI VOLUME

Sa se calculeze urmatoarele integrale triple :

, .

, .

, .

, .

, .

Sa se calculeze volumele marginite de suprafetele

Sa se calculeze volumul delimitat de stiind ca determinantul .

VI. INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ sI FORMULA GAUSS-OSTROGRADSKI

Sa se calculeze aria decupata de suprafata din suprafata .

Sa se calculeze aria decupata de suprafata din suprafata , cu .

Sa se calculeze aria decupata de suprafata din suprafata .

Sa se calculeze aria suprafetei .

, unde .

Fie câmpurile vectoriale si , unde este un vector constant, iar este vectorul de pozitie. Sa se calculeze acestor câmpuri pe fata interioara a unei sfere centrate în origine si de raza R si fluxurile pe fata exterioara a sferei din care se elimina originea.

Se da câmpul vectorial si piramida determinata de , , si . Sa se calculeze fluxul câmpului prin suprafata piramidei direct si cu Gauss-Ostrogradski.

VII. ELEMENTE DE PROBABILISTICĂ

O variabila x are densitatea de repartitie având graficul ca în figura

Se cere sa se calculeze media, dispersia si probabilitatile .

Fie x o varaiabila repartizata uniform în intervalul [-1 ]. Sa se calculeze densitatea si repartitia lui .

Fie x o variabila aleatoare uniform distribuita. Se cere sa se calculeze dispersia si densitatea lui .

sirul de variabile aleatoare îndeplineste conditia

a)     Sa se calculeze media si dispersia fiecareia;

b)     Sa se stabileasca daca sirul verifica legea numerelor mari (Cebâsev).

Un sir de variabile aleatoare independente , ia valorile si , . Sa se stabileasca daca sirul satisface legea numerelor mari a lui Cebâsev.

Sa se calculeze masa lantisorului , , daca densitatea de-a lungul arcului este egala cu patratul abscisei .

VIII. ELEMENTE DE ANALIZĂ COMPLEXĂ

Sa se precizeze câte determinari are fiecare din expresiile urmatoare si sa se afle valoarea expresiei în determinarea principala :

a)     ;

b)     ;

c)      .

Sa se demonstreze ca si sunt simultan olomorfe, adica domeniul este invariant la conjugare.

Sa se dezvolte în serie de puteri (Taylor sau Laurent) urmatoarele functii în domeniile precizate

în coroana circulara .

în jurul punctelor , , si .

în jurul punctului .

în coroana circulara .

în jurul punctului .

Sa se calculeze urmatoarele integrale în domeniul complex :

unde este un arc orientat parcurs o singura data.

unde este o curba închisa orientata trigonometric, iar .

Se da . Sa se dezvolte în serie functia f în jurul punctului .

Exista o functie f olomorfa în vecinatatea punctului , care sa ia în punctele valorile :

a)     . ?

b)     ?

c)      ?

Exista o functie f analitica în vecinatatea punctului astfel încât începând cu o valoare a lui n ?

Exista o functie întreaga f astfel încât sa existe si astfel încât , ? Sa se demonstreze ca f este un polinom de grad maxim p.

Exista o functie f într-o vecinatate a punctului astfel încât , ?

Sa se calculeze urmatoarele integrale folosind teorema reziduurilor