Suprafete riglate - suprafata cilindrica, conica, hiperboloidul cu o panza, paraboloidul hiperbolic, suprafetele conoidale

SUPRAFETE RIGLATE - SUPRAFATA CILINDRICA, CONICA, HIPERBOLOIDUL CU O PANZA, PARABOLOIDUL HIPERBOLIC, SUPRAFETELE CONOIDALE

Definitie Se numeste suprafata riglata o suprafata generata prin deplasarea unei drepte care se sprijina pe o curba data.

Exemple

• Suprafata cilindrica

• Suprafata conica

• Hiperboloidul cu o panza

• Paraboloidul hiperbolic

• Suprafetele conoidale

i. Suprafete cilindrice

Suprafata cilindrica este suprafata riglata generata de o dreapta variabila (g), numita generatoare, ce se deplaseaza ramanand paralela cu o directie fixa si se sprijina pe o curba fixa (G), numita curba directoare.

Fie curba directoare. O dreapta care trece prin O(0, 0, 0) si este paralela cu are ecuatiile:

(d) , sau .

Generatoarea va fi o dreapta paralela cu (d) ale carei ecuatii sunt:

(g) .

Conditia ca generatoarea sa se sprijine pe curba directoare revine la asigurarea compatibilitatii sistemului:

Se elimina x, y, z din 3 dintre ecuatiile sistemului, in functie de l si μ si se inlocuiesc in cea de-a patra ecuatie obtinandu-se conditie de compatibilitate:

F l μ) = 0.

Inlocuind in conditia de compatibilitate l si μ cu valorile date de ecuatiile lui (g) se obtine ecuatia:

F(nx – lz, ny – mz) = 0, care reprezinta ecuatia cilindrului generat.

Caz particular

(C) Se afla intr-un plan de coordonate, iar generatoarele sunt perpendiculare pe plan.

Fie planul xOy, deci:

Generatoarea xOy este deci paralela cu (versorul axei Oz), deci generatoarele paralele cu axa Oz.

Avem:

deci generatoarea: 

Avem ecuatia de compatibilitate:

f l μ) = 0.

Deci ecuatia suprafetei este:

f x, y) = 0,

deci un cilindru paralel cu Oz.

Exemplu

x² + y² = R²      cilindru cu generatoarea paralela cu Oz.

g x, z) = 0        cilindru cu generatoarea paralela cu Oy.

h y, z) = 0        cilindru cu generatoarea paralela cu Ox.

ii. Suprafete conice

Suprafata conica este suprafata riglata generata de o dreapta variabila (g) numita generatoare, ce trece printr-un punct fix V(a, b, c), numit varful conului si se deplaseaza sprijinindu-se pe o curba fixa (G), numita curba directoare.

Fie

curba directoare. O dreapta oarecare care trece prin V(a, b, c) are ecuatiile:

, cu   l² + m² + n² 0.

Daca presupunem ca n 0, impartim numitorii lui (g) la n si notam:, iar ecuatiile generatoarei devin:

Conditia ca generatoarea sa se sprijine pe curba directoare revine la asigurarea compatibilitatii sistemului:

Se elimina x, y, z din 3 dintre ecuatiile sistemului, in functie de l si μ, si se inlocuiesc in cea de a patra ecuatie obtinandu-se conditia de compatibilitate: F l μ) = 0. Inlocuind in conditia de compatibilitate l si μ cu valorile date de ecuatiile lui (g) se obtine ecuatia , care reprezinta ecuatia conului generat.

Observatie Ecuatia omogena de grad II in x, y, z, reprezinta ecuatia unei suprafete conice.

Exemplu

reprezinta un con cu varful in origine.

iii. Hiperboloidul cu o panza

Suprafata:

reprezinta o suprafata riglata.

Generatoare rectilinii pentru hiperboloidul cu o panza

Propozitie Hiperboloidul cu o panza este o suprafata riglata.

Demonstratie:

Avem

adica (1)

sau

Relatia (1) se mai poate scrie:

cu

si

Avem deci familia de generatoare G_l

G_l

ceea ce reprezinta niste drepte.

Daca y = b, avem:

deci dreapta trece prin punctul .

Relatia (1) se mai poate scrie si:

cu

si

Avem familia generatoarei μ

G_μ

Daca T            

ceea ce reprezinta o dreapta.

Proprietati

1)     Doua generatoare din aceeasi familie nu se intersecteaza;

2)     Doua generatoare din familii diferite se intersecteaza;

3)     Prin oricare punct al suprafetei trec doua generatoare (una din G_l si una din G_μ

iv. Paraboloidul hiperbolic

Suprafata:

este riglata.

Generatoare rectilinii pentru paraboloidul hiperbolic

In planul xOy exista doua generatoare:

Deci:

Cu z 0.

Avem fie:

• T

T

fie

• T

T

Generatoarele rectilinii ale paraboloidului hiperbolic au aceleasi proprietati ca cele ale hiperboloidului cu o panza.

v. Suprafata conoidala

Suprafata conoidala sau conoidul este suprafata riglata generata de o dreapta variabila (g) numita generatoare, ce se deplaseaza ramanand paralela cu un plan fix (p), numit plan director, se sprijina pe o curba fixa (G), numita curba directoare si pe o dreapta fixa (d).

Fie (p) Ax + By + Cz + D = 0 si . Generatoarea (g) fiind paralela cu planul (p), se gaseste intr-un plan (p₃) Ax + By + Cz + D = l si pentru ca se sprijina pe dreapta (d), se gaseste si intr-un plan din fascicolul generat de (d), (p_μ p₁ μp₂

Deci, curba generatoare are ecuatiile: .

Fie curba directoare. Conditia ca generatoarea sa se sprijine pe curba directoare revine la asigurarea compatibilitatii sistemului:

Se elimina x, y, z din 3 dintre ecuatiile sistemului, in functie de l si μ si se inlocuiesc in cea de-a patra ecuatie obtinandu-se conditia de compatibilitate: F l μ) = 0.

Inlocuind in conditia de compatibilitate l si μ si p₃, respectiv cu , se obtine ecuatia
, care reprezinta ecuatia conoidului generat.