Scurt tutorial de MATHCAD 2001 Professional

Matematica

 

Meniul File

Meniul Edit

Meniul View

Meniul Insert

Meniul Format

Meniul Math

Meniul Symbolics

Meniul Window

Meniul Help

Cel mai important pentru incepatori este meniul Help: se comanda cu F1 si contine mesaje explicative pentru comenzile Mathcad, lista capitolelor (Contents), lista notiunilor (Index) si motor de cautare a cuvintelor cheie (Search). Foarte important este si Centrul de documentare (Resource Center) care lanseaza tutorialul Matchad (Overwiew and Tutorials), tabelul cu referinte rapide (Quick Sheets and Reference Tables), extensii Matchad (Extending Mathcad) si altele. Help ca si Resource center se pot comanda si din butoanele cu actiune rapida din TOOLBAR. _{Resource Center}

Ce mai contine TOOLBAR?

1. New Worksheet - Deschide un nou document Mathcad;
2. Open Worksheet - Deschide un document Mathcad care a fost salvat anterior;
3. Save Worksheet – Salveaza documentul Mathcad;
4. Print Worksheet – Tipareste documentul Mathcad;
5. Print Preview Worksheet- Afiseaza documentul pe ecran pentru a avea o imagine de ansamblu; se foloseste inainte de comanda Print;
6. Check Spelling- Declanseaza corectorul lexical (numai in dialecte ale limbii engleze);
7. Cut- Copiaza zona selectata in Clipboard si apoi sterge aceasta zona;
8. Copy- Copiaza zona selectata in Clipboard;
9. Paste- Copiaza zona selectata in Clipboard;
10. Undo- In cadrul unei regiuni anuleaza ultima comanda executata;
11. Redo- In cadrul unei regiuni activeaza ultima comanda executata;
12. Align Across- Aliniere orizontala;
13. Align Down- Aliniere verticala;
14. Insert Function- Inserare de functii;
15. Insert Unit- Inserare de unitati de masura;
16. Calculate- Declanseaza evaluarea regiunilor pana la pozitia curenta a cursorului;
17. Inser Hyperlink- Creeaza o legatura cu un fisier;
18. Insert Component- Insereaza o componenta;
20. Zoom- Vizualizarea documentului micsorat, marit sau unu la unu;
21. Resource Center- Activarea cartilor electronice;
22. Help- Afisarea mesajelor de ajutor;

Foarte importante pentru demararea diverselor operatii de calcul in Mathcad sunt paletele Mathcad. Pentru inceput va fi prezentata Paleta Math.

Aceasta paleta contine operatorii matematici de care veti avea nevoie pentru a rezolva diferite programe in Mathcad. Semnificatia fiecarui buton al acestei palete este:

Paleta pentru calcule aritmetice (Calculator)

Paleta pentru grafice (Graph)

Paleta pentru vectori si matrice (Vector and Matrix)

Paleta de evaluare (Evaluation)

Paleta de calcul integral (Calculus)

Paleta booleana ( Boolean)

Paleta de programare (Programming)

Paleta de litere grecesti (Greek)

Paleta de calcul simbolic (Symbolic)

Operatii aritmetice simple in Mathcad

Pentru a nu incarca expunerea cu toata teoria necesara vom trece la unele exemple foarte simple care vor familiariza utilizatorul cu programul Mathcad. De exemplu, pentru a efectua operatii aritmetice este suficient sa tastati o cifra pe ecran si semnul operatiei pe care o doriti si apoi puteti vedea rezultatul.

De exemplu, daca ati tastat cifra 1 veti observa un patratel negru care se numeste placeholder. Ceea ce veti tasta in continuare va aparea in locul ocupat de placeholder. De exemplu, daca veti tasta 2 si apoi semnul egal de pe tastatura veti vedea deja rezultatul daca dati Enter sau mutati cursorul in afara. Cursorul in Mathcad este o cruciulita rosie.

_{Operatorii cei mai importanti impreuna cu tastele de apelare si butoanele echivalente din Paleta Aritmetica sunt prezentati in continuare: Paleta Aritmetica a fost deja prezentata.}

_{Operatia tasta de apelare Butonul din Paleta Aritmetica}

_{Adunare +}

_{Scadere -}

_{Inmultire *}

_{Impartire  /}

Ridicare la putere ^

Dupa cum se poate observa, in Mathcad semnele operatiilor aritmetice principale seamana cu cele obisnuite folosite in mod curent in matematica.

Daca doriti sa va definiti propriile variabile o puteti face cu ajutorul semnului (:=) pe care il gasiti in paleta Aritmetica sau il obtineti din tastatura tastand (:). Aveti mai jos un exemplu simplu. Daca veti schimba valoarea variabilei a, Mathcad va modifica automat si rezultatul final. Daca rezultatul obtinut vreti sa-l utilizati mai de parte, e bine sa-l atribuiti unei alte variabile.

De exemplu:

De cate ori veti schimba valorile variabilelor, Mathcad va calcula automat, ceea ce va va usura efortul considerabil, daca aveti de efectuat calcule prin incercari.

Un alt exemplu, de aceasta data, din domeniul ingineriei.

Exemplul 1: Calculati coeficientul de frecare pentru curgerea apei intr-o conducta cu viteza de 1 m/s. Diametrul interior al conductei este di=25 mm, iar constantele fizice ale apei la temperatura medie sunt: ρ=1000 kg/m³, vascozitatea dinamica η=1 cP. Pentru regim turbulent se poate folosi relatia .

In exemplul propus valorile variabilelor densitate si vascozitate au fost luate din Paleta de litere grecesti. De asemenea, nu am introdus inca unitatile de masura. Le putem introduce in mai multe moduri. Putem sa le introducem din meniul Insert Unit sau din butonul corespunzator semnului

Refacut cu aceste observatii exemplul de mai sus devine:

Unitati de masura

Se observa ca Mathcad a determinat singur unitatile de masura ale marimilor rezultante, numai ca in acest caz ele au fost adimensionale. Sa ilustram si un exemplu in care marimea rezultata nu este adimensionala.

Calculati presiunea pe care o forta de 1N o exercita asupra unei suprafete de 1 m².

Matchad a determinat si unitatile de masura in SI ale marimii rezultate. Matchad mai poate lucra si in alte sisteme de unitati de masura pe care le puteti descoperi si singuri.

Daca aveti marimi care se prezinta ca o serie de valori pe care ulterior doriti sa le prelucrati, pentru a obtine diverse informatii, programul Matchad va poate fi de un real ajutor.

Prelucrarea datelor experimentale in Matchad

Sa presupunem ca in cadrul unei lucrari de laborator, bineinteles de inginerie, ati obtinut o serie de date experimentale pe care doriti sa le prelucrati, pentru a obtine alte marimi de interes. De exemplu, cu ajutorul unui debitmetru ati masurat diferite debite de apa si doriti sa calculati regimul de curgere al apei prin conducta respectiva. Cunoasteti diametrul conductei si proprietatile fizice ale apei la temperatura de lucru.

Exemplul 2: Calculati regimul de curgere al apei printr-o conducta al carui diametru interior este d_i=50 mm, daca cu ajutorul unui rotametru s-au masurat urmatorele debite de lichid in l/min:10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, 140, 160, 180, 200.

Rezolvare: Se observa ca avem la dispozitie 15 date experimentale. Putem crea o variabila i de contorizare a acestor date. Pentru ca Matchad numara de la 0, si deocamdata nu ne propunem sa-l facem sa numere de la 1, vom avea nevoie de 14 valori ale lui i, adica de la 0 la 14 inclusiv. Pentru aceasta trebuie sa tastam i:0;14. Pe ecran va aparea:

Retineti ca daca tastati caracterul (;) pe ecran apar puncte, puncte (..). Aceasta inseamna ca ati introdus in Matchad o variabila care are o anumita lungime, in cazul de fata 15 valori, si ca aceste valori sunt din 1 in 1, pentru ca puteti introduce si variabile care sa varieze si cu o alta pondere. Pentru a introduce caracterul (..) aveti la dispozitie din paleta <Matrix> butonul <Range Variable>

Sa introducem acum valorile debitului din problema. In acest caz putem crea o variabila pe care s-o numim <debit>. Cum aceasta variabila trebuie sa ia cele 15 valori, atunci ea va avea indicele i, pe care il obtinem tastand dupa numele variabilei ([)-adica simbolul de deschidere al unei paranteze mari. Se va tasta in ordine debit[i dupa care aduceti cursorul in dreptul variabilei debit apasand pe tasta < space>, apoi tastati :10,20,30, si asa mai departe pana la ultima valoare. Semnul ( ) este necesar pentru ca Matchad-ul sa creeze un tabel pentru introducerea datelor. Daca ati procedat corect veti obtine coloana de mai jos care are numele <debit>. Celelalte marimi necesare calculului pot fi introduse dupa cum s-a aratat anterior pentru orice variabila care are o singura valoare. De exemplu, din Paleta <Greek> se poate lua simbolul pentru densitate, adica ρ dupa care aveti de tastat in ordine dupa simbolul densitatii ρ:1000*kg/m^3 veti obtine pe ecran urmatoarele:

Se procedeaza analog pentru vascozitatea apei si pentru diametrul conductei

d:0.05*m, iar pentru vascozitate se ia simbolul acesteia din aceeasi paleta de litere grecesti η:0.001*kg/m*s, ceea ce conduce la:

Se pot indroduce variabilele pe care dorim sa le calculam. Nu uitati, toate variabilele care provin din debit vor fi si ele indexate cu indicele i. Formula vitezei nu este greu de introdus daca se stie faptul ca viteza se defineste ca fiind:

, unde Gv este debitul volumetric definit in m³/s, iar d este diametrul interior al conductei in m, pentru a obtine w in m/s, adica in SI. De aceea, mai intai vom defini o noua variabila Gv care va fi debitul transformat in unitati SI. Literele scrise cu majuscule se obtin si in Matchad ca si in Word cu Shift si tasta corespunzatoare literei respective.

Gv[ispace:debit[ispace*/ in acest moment ar fi trebuit sa apara linia de fractie. Deasupra liniei de fractie se tasteaza 10^-3, iar sub linia de fractie 60, sunt datele necesare pentru a transforma debitul din l/min in m³/s. Nu uitati sa aduceti cursorul in dreptul fractiei tastand <space>, dupa aceea continuati sa tastati unitatile de masura, tastand intai semnul de inmultire *m^3blankspace/s. Daca ati respectat instructiunile date ar trebui sa obtineti:

Pentru viteza se procedeaza analog debitului volumetric:

w[ispace:4*Gv[ispace/d^2space*π, nu uitati sa luati simbolul π din paleta de litere grecesti.

Pentru a defini criteriul Re va fi ceva mai usor; tastati Re[ispace:w[iblankspace*d*ρ/η. Ar trebui sa obtineti:

In acest moment efortul nostru s-a incheiat, este suficient sa tastam numele variabilelor si semnul =, adica: w[ispace= si Re[ispace= si vom obtine:

Dupa cum se poate observa, programul a calculat marimile cerute si cu unitatile lor de masura. Despre criteriul Re trebuie sa va aduceti aminte ca este adimensional.

Sa incercam si un alt exemplu, pentru a ilustra faptul ca marimile care au mai multe valori pot fi introduse ca vectori sau matrici putand sa se lucreze apoi cu ele.

Exemplul 3: Sa se determine parametrii modelului Ostwald de Waele pentru setul de date de mai jos:

Efortul de forfecare, τ[ Pa]  30.8 43.0 67.5 97.4

Viteza de deformare, γ [s^-1]  0.628 1.257 4.141 6.283

Rezolvare:

Pentru a rezolva exemlul de mai sus putem introduce cele doua marimi ca vectori folosind <Insert Matrix> din meniul principal al programului Matchad sau tastand

din paleta pentru vectori si matrice. Fiind vorba de o singura coloana si 4 linii vom specifica in caseta de dialog aceste aspecte.

Tastati: τ:Insert Matrix si apoi specificati in caseta de dialog ca doriti o singura coloana si 4 linii. Veti obtine:

In locurile libere va trebui sa tastam in ordine valorile efortului de forfecare date in problema. Pentru a trece de la o valoare la alta folositi tasta Tab. Pentru a tasta in Matchad o valoare numerica nu uitati ca in locul virgulei trebuie sa introduceti punctul. Daca va uitati la valorile problemei ele au fost scrise asa cum trebuie introduse in Matchad. Introducand si valorile numerice vom obtine:

Nu uitati sa introduceti si unitatile de masura tastand *Pa.

In mod analog procedati pentru cealalta marime. Veti obtine:

Pentru a introduce unitatile de masura s-a tastat: *s^-1.

	Daca doriti sa reprezentati grafic τ in functie de γ, puteti face acest lucru in urmatoarele moduri: fie cu <Insert Graph X-Y Plot>, fie direct tastand @. Matchad poate face si grafice in trei dimensiuni sau in coordonate polare, dar deocamdata nu vom atinge aceste aspecte Veti obtine

In locurile unde observati cele doua puncte negre va trebui sa introduceti simbolul marimilor pe

care doriti sa le reprezentati, adica τ pe ordonata si γ pe abscisa. Dati un clic in afara graficului si veti obtine:

Pentru a interveni in grafic folositi dublu clic in interiorul graficului. Se va deschide o caseta de dialog care va va permite sa va alegeti, de exemplu, o divizare logaritmica a axelor si altele. Daca va aduceti aminte din capitolul de reologie, pentru a putea aplica modelul Ostwald de Waele este necesar ca reprezentarea grafica in coordonate logaritmice a celor doua marimi sa fie o dreapta. De aceea, inainte de a trece la alte calcule vom schimba divizarea axelor in casuta de dialog care se deschide cand dam dublu clic in interiorul graficului.

Dupa cum se observa aspectul graficului s-a modificat substantial. Avand in vedere ca reprezentarea celor doua marimi este o dreapta inseamna ca putem calcula parametrii modelului Ostwald de Waele. Pentru a va aduce aminte, acest model este de forma: , parametrii modelului fiind K indicele de consistenta si n indicele de curgere. Daca logaritmam expresia de mai sus atunci vom avea:

, se observa ca in reprezentarea logaritmica se obtine o dreapta a carei panta este n, iar ordonata la origine este logK. Matchad poate calcula automat ordonata si panta unei drepte. Mai intai vom defini doua noi variabile care reprezinta logaritmii valorilor intiale:

logaritmul se apeleaza din paleta Aritmetica <Calculator>

Pentru a determina panta si ordonata la origine se folosesc functiile <slope> si <intercept> care se tasteaza din tastatura. Dupa cuvantul <slope> se va deschide o paranteza simpla si in interiorul ei se vor scrie numele variabilelor in ordinea x,y. Parantezele se pot deschide si inchide din tastatura sau se pot lua din paleta Aritmetica. In cazul nostru vom obtine expresiile de mai jos. Am ales ca nume de variabile pentru panta litera n iar pentru ordonata litera b. Scriind apoi numele variabilei urmat de semnul =, vom obtine valoarea pantei si a ordonatei la origine.

Pentru a calcula valoarea indicelui de consistenta putem scrie:

K:10^b, iar apoi K=. Vom obtine:

Daca dorim sa verificam valorile obtinute vom mai defini o variabila care sa fie descrisa de modelul Ostwald de Waele:

, dupa care daca tastam numele noii variabile si semnul = vom obtine:

, valori pe care le putem compara cu cele experimentale date in enuntul problemei. Putem sa reprezentam din nou grafic, atat marimea experimentala, cat si cea calculata. Tastam din nou @ pentru a ne aparea conturul graficului, pe abscisa tastam simbolul γ, iar pe ordonata daca vrem ambele marimi τ si τ2, vom proceda in felul urmator: tastam τ pe care l-am luat din paleta de litere grecesti si apoi tastam (,) pentru a ne aparea inca un punct negru unde putem introduce a doua marime pe care vrem s-o reprezentam, adica τ2. Cu un clik in afara graficului vom obtine:

Pentru a obtine acest grafic am mai dialogat in caseta care se deschide cand se da un dublu clic in interiorul graficului in <Traces> de unde ne putem alege culorile, simbolurile fiecarei marimi sau grosimea liniilor.

Daca doriti sa dati un nume graficului deschideti <Label> din aceeasi casuta de dialog, unde veti putea da un titlu graficului si veti putea scrie semnificatia marimilor de pe cele doua axe, ca si unitatile lor de masura.

In cazul in care marimea care va intereseaza nu variaza liniar cu un anumit parametru, Matchad poate realiza si alte tipuri de corelari care vor fi ilustrare in exemplele urmatoare:

Exemplul 4: Sa se deduca o expresie analitica pentru variatia caldurii specifice a apei cu temperatura pe intervalul 0-100⁰C. Valorile caldurii specifice a apei in J/kg∙K pe intervalul 0-100⁰C sunt:

Rezolvare: Procedand absolut analog pentru cazurile cand avem serii de valori ale unor marimi si definind cele doua variabile ca fiind t pentru temperatura si cs pentru caldura specifica vom obtine:

Pentru a vedea cum variaza caldura specifica cu temperatura putem reprezenta grafic in coordonate t, cs cele doua seturi de valori. Respecand regulile de reprezentare grafica in Matchad pentru graficile de tip x-y se va obtine:

Observam ca dependenta, in acest caz, nu mai este liniara, asa ca vom incerca o corelare dupa un polinom de ordinul al II-lea. Aceasta inseamna ca vom cauta coeficientii (a₀, b,c) ai unui polinom de tipul: . Pentru a face aceasta operatie in Matchad este suficient sa aplicam functia <regress>, al carui nume se poate scrie din tastatura.

De exemplu: tastam Reg:regress(t,cs,2). Se observa ca in paranteza deschisa dupa numele functiei de regresie se vor specifica variabila x, variabila y si ordinul polinomului cautat, in cazul de fata 2. Se inchide paranteza simpla si apoi se tasteaza numele variabilei in care dorim ca functia regress sa inscrie datele solicitate si se tasteaza semnul =, adica Reg=. Vom obtine pe ecranul calculatorului datele de mai jos:

Coeficientii cautati sunt a₀=4.215X10³, b=-1.615 si c=0.016 astfel incat functia cautata este de tipul:

Pentru a face atribuirile corect si a nu fi nevoiti sa tastam valorile de mai sus, putem sa indicam doar pozitia care ne intereseaza din cadrul variabilelei Reg. Nu uitati ca Matchad numara de la 0 la valoarea finala. In cazul vriabilelei Reg exista termenii 0,1, 2, 3, 4 si 5. Pentru a indica un anume termen dintr-o astfel e variabila de tip vectorial cum o considera Matchad-ul, este suficient sa tastati numele variabilei si indicele corespunzator.

De exemplu: daca tastati a:Reg[3 si b:Reg[4 si c:Reg[5 Matchad va face atribuirile dorite. Pentru a verifica acest lucru este suficient sa tastati numele variabilelor a, b si c urmate de semnul =. Daca ati lucrat corect veti obtine:

Acum putem redefini variabila caldura specifica sub numele csc pentru a nu se confunda cu cs definit anterior si ii putem atribui noua forma:

csc[ispace;a+b*t[ispace+c*t[ispace^2 si veti obtine:

Tastand numele variabilelei, indicele i si semnul egal adica: csc[ispace= veti obtine valorile calculate in Matchad dupa formula indicata:

Putem sa comparam aceste valori cu cele initiale reprezentandu-le pe acelasi grafic, dupa cum s-a prezentat anterior.

Daca dorim sa vedem si gradul de corelare putem folosi instructiunea <corr> dupa care deschidem paranteza simpla si tastam numele celor doua variabile, adica cs si csc. Nu uitam, bineinteles, sa inchidem paranteza.

Vom obtine:

Daca nu suntem multumiti cu acest grad de corelare, putem relua calculul de la apelarea functiei regress si putem cere corelarea dupa un polinom de ordinul trei. Bineinteles, ne vom alege alte nume de variabile daca vrem sa mentinem si partea deja calculata a programului.

Valorile noilor coeficienti a, b ,c si d, deoarece am crecut ordinul polinomului vor fi:

Reprezentand grafic noile valori fata de cele initiale vom obtine:

Coeficientul de corelare este in acest caz mult mai bun:

In concluzie, putem propune ca functie care descrie variatia caldurii specifice cu temperatura urmatoarea relatie:

Pe care o vom folosi in continuare pentru a exemplifica alte operatii care pot fi efectuate in Programul Matchad.

Observatii

Matchad-ul mai are si alte functii de regresie si netezire (Regression and Smoothing) dintre care mai amintim doar cateva:

explit(vx,vz,vg)-Determina vectorul (a,b,c)^T astfel incat functia sa interpoleze cel mai bine corespondenta data de vectorii vx si vy. Vectorul vx trebuie sa aiba componentele in ordine crescatoare. Vectorul vg trebuie sa contina valori initiale pentru vectorul (a,b,c)^T.

logfit(vx,vy,vg)- Determina vectorul (a,b,c)^T astfel incat functia sa interpoleze cel mai bine corespondenta data de vectorii vx si vy. Vectorul vx trebuie sa aiba componentele in ordine crescatoare. Vectorul vg trebuie sa contina valori initiale pentru vectorul (a,b,c)^T.

pwefit(vx,vy,vg)- Determina vectorul (a,b,c)^T astfel incat functia sa interpoleze cel mai bine corespondenta data de vectorii vx si vy. Vectorul vx trebuie sa aiba componentele in ordine crescatoare. Vectorul vg trebuie sa contina valori initiale pentru vectorul (a,b,c)^T.

sinfit(vx,vy,vg)-Determina vectorul (a,b,c)^T astfel incat functia sa interpoleze cel mai bine corespondenta data de vectorii vx si vy. Vectorul vx trebuie sa aiba componentele in ordine crescatoare. Vectorul vg trebuie sa contina valori initiale pentru vectorul (a,b,c)^T.

Calculul unei integrale definite

Exemplul 5: Calculati debitul de caldura pe care il cedeaza un debit de apa de 1 kg/s cand se raceste de la 90⁰C la 60⁰C. Caldura specifica a apei variaza cu temperatura dupa relatia:

Rezolvare

Debitul de caldura cedat se calculeaza simplu cu formula:

, unde Gapa este debitul masic al apei, c_m este caldura specifica medie a apei pe intervalul de temperatura considerat, t_in-temperatura initiala si t_f-temperatura finala. Caldura specifica medie a apei se calculeaza cu urmatoarea formula de mediere:

, ceea ce presupune aplicarea calculului integral. Integrala fiind foarte simpla se poate rezolva si de catre utilizator si se poate introduce direct in Matchad formula finala pentru c_m sau se poate folosi Paleta Calculus. Mai intai se face initializarea tuturor marimilor cunoscute, inclusiv a formulei care exprima variatia caldurii specifice in functie de temperatura, dupa cum urmeaza:

Pentru a calcula caldura specifica medie dupa ce tastam linia de fractie (/) si termenii de la numitor si numarator tastam semnul * si apoi din Paleta Calculus alegem simbolul de integrala definita. Vom obtine:

In locurile unde apar patratele negre trebuie sa introducem valoarea limitei inferioare si superioare de integrare, relatia care descrie functia care urmeaza a fi integrata si variabila de integrare.

Tastand apoi numele dat caldurii specifice medii cm1 si semnul= vom afla valoarea cautata:

Acum se poate determina debitul de caldura:

Daca doriti sa aveti si unitatile de masura atunci relatiile se modifica dupa cum urmeaza:

Nu uitati: pentru a avea unitatile de masura tastati * la sfarsitul relatiei si apoi unitatile dorite, sau le puteti insera direct prin <Insert Unit> sau din butonul corespunzator simbolului . Trebuie sa fiti atenti la temperatura, deoarece Matchad nu are unitatile in ⁰C, de aceea, s-a definit in secventa de mai sus diferenta de temperatura Δt, deoarece diferenta temperaturilor este aceeasi si in grade Celsius si in grade Kelvin. In aceste conditii Matchad a putut calcula corect debitul de caldura in W.

Observatii: Paleta Calculus contine si alte operatii care va pot fi utile in afara exemplului dat de calcul a unei integrale definite. Acestea ar fi: derivarea unei expresii in raport cu o variabila precizata, derivata de ordinul n a unei expresii in raport cu o variabila precizata, suma dupa indice, produs dupa indice si altele.

Rezolvarea ecuatiilor algebrice neliniare

Exemplul 6: Printr-o conducta orizontala cu diametrul interior d_i=0.05 m si lungimea l=100 m circula apa. Cunoscand densitatea apei ca fiind ρ=1000 kg/m³ si vascozitatea η=1 cP sa se determine viteza lichidului daca pierderea de presiune prin frecare este Δp=2 N/m².

Rezolvare:

, unde λ=coeficient de frecare, w=viteza fluidului, ρ=densitatea fluidului, η=vascozitatea dinamica a fluidului, l=lungimea traseului, iar d=diamterul conductei. Coeficientul de frecare poate fi calculat in functie de regimul de curgere. Daca regimul de curgere este laminar , iar daca este turbulent se pot aplica diferite alte formule, ca de exemplu, . In cazul curgerii laminare stiind ca , daca se fac inlocuirile se obtine formula lui Poiseuille:

si w se poate determina foarte usor. In celalat caz se obtine o ecuatie transcendentala din cauza exponentului lui Re. Daca se fac inlocuirile se obtine pentru regim turbulent:

Pentru regimul laminar secventa de program este:

Pentru regim turbulent avem mai multe posibilitati. Fiind vorba de o ecuatie transcedentala se poate folosi functia <root>. Pentru a apela aceasta functie este necesar sa aducem ecuatia sub forma f(w)=g(w), unde w este necunoscuta, in cazul de fata viteza. Se scrie apoi o functie h(w) care se defineste ca fiind f(w)-g(w). Pentru a afla radacina ecuatiei este necesar sa propunem o aproximare initiala pentru necunoscuta. Secventa pentru regim turbulent este:

S-a obtinut o valoare a vitezei de 0.024 m/s si o valoare a criteriului Re in domeniul turbulent.

O a doua posibilitate este de a folosi functiile pentru rezolvarea numerica a sistemelor neliniare, si anume: find si minner. Si in aceasta situatie trebuie propusa o valoare initiala pentru necunoscuta, asa numita <Guess value>. Daca punctul initial nu este bine ales din bazinul de atractie al procesului iterativ, generat de functiile find si minerr, procesul nu va converge sau va converge catre o alta solutie. Alegerea valorilor initiale poate fi destul de dificila, mai ales, pentru sistemele care au mai mult de 2 ecuatii.

De retinut, semnul de egalitate dintre Δp si celalalt termen al ecuatiei se obtine cu tastele Ctrl si apare in Matchad ca un egal mai ingrosat. Se mai poate obtine si din paleta Boolean. Se observa ca s-a obtinut aceeasi valoare a vitezei, asa incat nu se mai calculeaza valoarea criteriului Re.

Elemente de programare in Matchad

Pentru programare se dispune de paleta Programming care are zece instructiuni. In programele Matchad se pot asocia toate comenzile si functiile pachetului obtinand o varietate de programe de la unele foarte simple, pana la altele mult mai complicate. Dat fiind caracterul introductiv al acestui tutorial se vor da unele exemple de programare simple care au fost folosite si pe parcursul acestei lucrari.

Add line − insereaza o noua linie in program; ← instructiune de atribuire; if − insereaza instructiunea if (daca) otherwise − insereaza instructiunea 'in celelalte situatii'; for − insereaza instructiunea for break − insereaza instructiunea break continue − insereaza instructiunea continue return − insereaza instructiunea return on error − insereaza instructiunea on error

Paleta de programare contine urmatoarele instructiuni: Add line, ←, if, otherwise, for, while, break, continue, return, on error. Semnificatiile acestor instructiuni:

Exemplul 7: Calculati coeficientul de frecare la curgerea apei la 20⁰C printr-o conducta circulara cu diametrul interior d=0.05 m pentru o viteza de curgere a apei de 3 m/s.

Rezolvare: Problema s-ar putea rezolva simplu si fara a folosi instructiunile de programare, dar deoarece se doreste introducerea acestor instructiuni se va arata in continuare rezolvarea acestei probleme folosind programarea in Matchad.

Primele instructiuni sunt cele de definire a marimilor constante, la fel ca si in problemele anterioare: m Pentru calculul lui λ trebuie realizata o secventa de program care sa tina cont de valoarea criteriului Re. Daca Re≤ 2300 regimul este laminar si daca Re>2300 regimul este turbulent. Pentru a introduce o secventa de program este suficinet sa tastati numele variabilei, instructiunea de atribuire si Add line din paleta de programare: λ:Add line si veti obtine: In locurile marcate cu patratele negre se asteapta instructiunile programului. In primul patrat vom introduce formula de calcul pentru regim laminar introducand variabila λ1 din palata de litere grecesti si instructiunea de atribuire locala din paleta de programare. In noul patrat negru vom introduce formula de calcul pentru regim laminar. Se aduce cursorul in dreptul relatiei de calcul si se alege tot din palata de programare instructiunea if, deoarece relatia este valabila doar pentru Re≤2300. Se procedeaza absolut similar si pentru a introduce instructiunile pentru λ2 definit pentru regim turbulent.

S-a obtinut secventa de program de mai sus. Daca tastati λ= veti obtine rezultatul dorit. Daca ati fi procedat fara sa folositi programarea, ati fi obtinut acelasi rezultat, dar ar fi trebuit sa decideti singuri ce formula pentru λ ar trebui sa folositi. regim turbulent Acelasi program se putea realiza cu instructiunea otherwise in loc de a folosi de doua ori instructiunea if . Evident, se obtine acelasi rezultat.

Un exemplu simplu se poate formula pentru a ilustra folosirea instructiunii for pentru calculul unei marimi scalare. De exemplu, pentru calculul sumei primelor 10 numere naturale. Secventa de program este:

Daca tastam apoi suma (10) obtinem urmatorul rezultat:

In schimb, daca avem marimi formate din mai multe valori, adica vectori in Matchad, atunci acest lucru trebuie marcat in program dupa cum se va vedea din exemplul urmator.

Exemplul 8: Calculati coeficientul de frecare la curgerea apei la 20⁰C printr-o conducta circulara cu diametrul interior d=0.05 m daca viteza de curgere a apei variaza de la 0 la 5 m/s din 0.5 in 0.5 m/s.

Rezolvare: Primii pasi sunt asemanatori cu cei din exemplul precedent. Se vor initializa marimile constante: densitatea, vascozitatea apei si diametrul conductei. Se va alege λ din paleta de litere grecesti si se va tasta λ:Add line pentru a obtine deschiderea programului. In primul patrat negru se va initia valoarea vitezei ca fiind 0. Atentie la instructiunile de atribuire locala in program care se realizeaza cu instructiunea ← din paleta de programare. Nu uitati sa tastati dupa simbolul vitezei w indicele 0. Veti obtine:

Dupa aceea, introduceti instructiunea for tot din paleta de programare. Veti obtine imaginea de mai jos, programul asteptand ca sa i se indice variabila de contorizare, de exemplu, i

Se va obtine, dupa ce tastati i, iar dupa semnul Є se tasteaza 1;6, ceea ce inseamna o variatie a lui i de la 1 la 6 din 1 in 1.

In patratul liber se va introduce instructiunea Add line din paleta de programare si veti obtine rezultatul de mai jos. In noua secventa de program se vor tasta urmatoarele instructiuni care definesc viteza si calculul criteriului Re.

Veti obtine secventa de mai jos. In afara instructiunii de atribuire locala care este ←, in rest se mentin regurile de scriere a oricarei expresii in Matchad. Nu uitati sa aduceti cursorul in pozitie dorita folosind tasta blank space. Pentru a adauga noi instructiuni este necesar sa mai adaugati din palata de programare instructiunea Add line

Nu uitati ca toate variabilele trebuie sa aiba indicele i, fiind considerate marimi vectoriale in acceptiunea Matchad. Acum se poate adauga secventa de program realizata la exemplul anterior, cu indicele i pentru λ. Se va obtine:

Acum se poate adauga ultima instructiune pentru a ne returna valoarea calculata.

Tastand λ= vom obtine:

Daca doriti sa cunoasteti si celelate marimi calculate, de exemplu, viteza si criteriul Re, programul trebuie modificat foarte putin, schimband variabila initiala si pe cele de iesire, dupa cum urmeaza:

In acest caz secventa initiala a fost introdusa din Insert matrix si s-au ales pentru linii valoarea row= 1 si pentru coloane valoarea column= 3. In finalul programului s-au cerut atat valoarea lui λ, cat si cele pentru w si Re printr-un procedeu asemanator. Valorile obtinute sunt:

In exemplul de mai sus sa presupunem ca dorim reprezentarea grafica a valorilor coeficientului de frecare in functie de Re, dar ca nu ne intereseaza valoarea initiala care este 0 pentru ambele marimi. In acest caz putem crea noi vectori pentru λ si Re folosind functia submatrix care are urmataorele argumente: submatrix(λ1,1,6,0,0) , marimile din paranteza reprezentand numele matricii din care vrem sa obtinem doar o parte, numarul liniei de la care dorim sa pornim si numaril liniei la care vrem sa ne oprim, numarul coloanelor de start si de oprire. Fiind vorba de un vector acesta are o singura coloana si anume 0. Introducand aceste noi variabile vom obtine:

Daca reprezentam grafic valorile noilor variabile vom obtine:

Exemplul 9: Determinati valoarea criteriului Re la curgerea apei la 20⁰C printr-o conducta circulara cu diametrul interior d=0.05 m daca viteza de curgere a apei scade de la 10 m/s pana la 0 din 2 in 2 m/s.

Rezolvare:

	In cadrul acestui exemplu s-a ilustrat instructiunea continue care permite continuarea calculului pana la indeplinirea conditiei impuse. In cazul de fata, s-a dorit oprirea calculelor pentru valori ale vitezei 0 sau negative. Daca n-ar fi existat aceasta conditie calculele ar fi aratat in felul urmator:

Se observa ca in absenta conditiei puse anterior, calculele ar fi continuat pentru toate valorile vitezei, inclusiv 0 si cele negative.