Serii de numere reale

3.1. Definitie. Fie sirul de numere reale si sirul sumelor partiale

Perechea se numeste serie de numere reale si se noteaza

  sau sau   (1)

Termenii sirului se numesc termenii seriei , iar se numeste termenul general al acestei serii.

a)      Daca sirul are limita (finita), vom scrie

    (2)

si spunem ca seria este convergenta avand suma egala cu , in caz contrar, seria este divergenta (deci, atunci cand sirul nu are limita sau are limita ).

b)      Daca seria este convergenta, atunci seria se numeste absolut convergenta.

3.2. Propozitie. Daca seriile si sunt serii convergente iar , atunci seriile

si sunt convergente si avem 

1). 2)..

3.3. Propozitie. Daca seria este convergenta atunci termenul general converge la zero.

Reciproc nu este adevarat

Demonstratie. Convergenta seriei este echivalenta cu convergenta sirului sumelor partiale . Deci, exista , . Atunci din , prin trecere la limita, deducem ca .

Observatie. Afirmatia din propozitia 3.3 reprezinta o conditie necesara de convergenta a unei serii. Daca aceasta conditie nu este verificata atunci seria este divergenta.

De exemplu, seria armonica generalizata este divergenta deoarece sirul sumelor partiale desi, termenul general al seriei , cand .

3.4. Propozitie. Daca seria este convergenta, atunci seria este convergenta

Reciproc nu este adevarat. De exemplu, seria este convergenta, avand suma egala cu , in timp ce seria modulului termenilor este seria armonica care este divergenta (vezi, exemplul 2).

Criterii de convergenta (pentru serii cu termeni reali oarecare)

3.5. Criteriul lui Cauchy Seria de numere reale este convergenta daca si numai daca se verifica conditia

astfel incat si . (3)

Demonstratie. Demonstram implicatia Þ ". Deoarece seria este convergenta, atunci sirul sumelor partiale, , este un sir de numere reale convergent, deci este sir Cauchy si avem

astfel incat ,

ceea ce este echivalent cu conditia din enuntul teoremei.

Demonstram implicatia inversa (""). Conditia din enunt arata ca sirul este un sir Cauchy de numere reale, deci este convergent. Asadar, seria numerica este convergenta.

Exemplu 1. Fie seria . Termenul general al sirului sumelor partiale este dat de relatia

.

Pentru a stabili natura seriei date, potrivit criteriului lui Cauchy, este suficient sa aratam ca sirul sumelor partiale este sir Cauchy de numere reale. Fie , oarecare. Atunci pentru orice si suficient de mare putem scrie

Deci, sirul sumelor partiale este sir Cauchy si In consecinta seria este convergenta.

Exemplu 2. Seria armonica este divergenta.

Aratam ca sirul sumelor partiale nu este sir Cauchy. Intr-adevar, avem

, .

Pentru rezulta ca si deci, sirul sumelor partiale nu este sir Cauchy.

Asadar, seria este divergenta.

3.6. Criteriul lui Abel . Fie seria numerica

Daca sunt verificate conditiile

este un sir de numere reale pozitive convergent la zero;

a.i. pentru orice sa avem , (altfel spus, sirul sumelor partiale asociat seriei este marginit

atunci seria este convergenta

Demonstratie Notam cu , atunci putem scrie

Vom arata ca sirul sumelor partiale asociat seriei este un sir Cauchy, deci este convergent.

Un calcul simplu ne conduce la urmatoarele evaluari:

.

Deoarece sirul , cand , atunci pentru a.i. avem

. Asadar, rezulta si orice .

Observatie. Acest criteriu nu da conditii necesare de convergenta adica, exista serii convergente care nu verifica conditiile din criteriul lui Abel (vezi, exercitiul 3).

O consecinta directa a criteriului lui Abel este urmatorul criteriu :

3.7. Criteriul lui Leibniz Daca sirul de numere reale este descrescator la zero (, ), atunci seria este convergenta

Observatie. Criteriul lui Abel este cunoscut sub numele "Criteriul de convergenta Abel-Dirichlet".

3.8. Definitie. Fie seriile de numere reale si . Seria , cu termenul general

se numeste produsul celor doua serii.

3.9. Propozitie. Daca seriile de numere reale si sunt absolut convergente, atunci

seria produs este absolut convergenta

Demonstratie. Deoarece seriile si sunt absolut convergente, atunci exista

, a.i. si oricare ar fi .

Consideram sirul sumelor partiale asociat seriei , unde . Avem

de unde se deduce ca seria produs este absolut convergenta.

Exercitiul . Aratati ca urmatoarele serii

i ii).

verifica criteriul lui Abel, deci sunt convergente.

Exercitiul . Aratati ca seria alternanta verifica criteriul lui Leibniz. Aceasta serie este convergenta si are suma egala cu .

Exercitiul . Exista serii convergente care nu verifica criteriul lui Abel-Dirichlet. Astfel in seria,

,

permutand primul termen cu al doilea, al treilea termen cu al patrulea, etc. rezulta seria

.

Seria este convergenta pentru (din criteriul Leibniz).

Daca , atunci seria este divergenta si in acest caz spunem ca seria este semiconvergenta.

Daca , atunci seria este convergenta si deci seria este absolut convergenta.

Daca , atunci seria este divergenta.

Vom arata ca seria este convergenta odata cu seria si cele doua serii au aceeasi suma.

Fie si , sirurile sumelor partiale asociate celor doua serii. Atunci,

si si deci, seriile au aceeasi suma.

Seria este convergenta pentru , totusi, ea nu verifica conditiile criteriului lui Abel-Dirichlet, deoarece orice alegere am considera pentru sirul din criteriul mentionat, totusi, nu este monoton.

Exercitiul . Seria este convergenta intrucat verifica conditiile criteriului lui Leibniz. Aratati ca suma seriei este egala cu .

Avem identitatea: , .

Sirul sumelor partiale se poate scrie sub forma

de unde rezulta ca

Exercitiul Aratati ca seria este convergenta si are suma egala cu .

Exercitiul . Fie . Seria geometrica este convergenta daca si numai daca . In cazul cand , suma seriei este egala cu .

Solutie. Daca , atunci termenul general al seriei nu converge la zero si deci, seria nu este convergenta. Daca , atunci si sirul sumelor partiale are suma .

De aici deducem ca suma seriei este egala cu

Serii cu termeni pozitivi

3.10. In cele ce urmeaza vom considera numai serii cu termeni pozitivi,

.

In acest caz, daca este sirul sumelor partiale al seriei date, atunci putem scrie

, oricare ar fi ,

de unde rezulta ca sirul este crescator. Deducem ca seria va fi convergenta daca sirul

sumelor partiale este marginit, adica, a.i.

Asadar, o serie cu termeni pozitivi are totdeauna o suma; daca sirul sumelor partiale este marginit superior atunci aceasta suma este finita (seria este convergenta), in caz contrar suma este infinita si seria este divergenta.

(i). Criterii de comparatie (pentru serii cu termeni pozitivi)

3.11. Criteriul I. Fie si doua serii cu termeni pozitivi astfel incat exista cu proprietatea .

i)       Daca seria este convergenta, atunci este convergenta

ii)     Daca seria este divergenta, atunci seria este divergenta

Demonstrtie Fie a.i. . Din relatiile

,

rezulta ca sirul sumelor partiale este marginit si deci seria este convergenta.

3.12. Criteriul II. Fie si doua serii cu termeni pozitivi. Daca a.i. sa se verifice conditiile

,

atunci:

i). daca seria este convergenta atunci seria este convergenta

ii). daca seria este divergenta atunci seria este divergenta

Demonstratie Relatia din enunt arata ca pentru orice , fixat, avem

Fie , atunci avem pentru si oricare ar fi . Deducem ca si atunci , de unde rezulta afirmatiile din enunt.

3.13. Criteriul III. Fie si , doua serii cu termeni pozitivi a.i.

i). Daca , atunci cele doua serii au aceeasi natura.

ii). Daca si seria este convergenta, atunci seria este convergenta

iii).Daca si seria este divergenta, atunci seria este divergenta

Demonstratie. Acest criteriu cu limita decurge din criteriul I.

i). Deoarece si , atunci din definitia limitei, pentru suficient de mare, putem scrie a.i.

Daca , atunci . Cum , atunci avem .

Deoarece , atunci seriile si au aceeasi natura.

ii). Fie si a.i. pentru orice . Avem pentru . Cum convergenta atunci rezulta ca convergenta.

iii). Daca , atunci putem scrie , pentru orice , fixat si . Cum divergenta atunci rezulta ca divergenta.

Exemple:

Seria este divergenta.

Intr-adevar, definim si . Atunci, avem . Din criteriul I de comparatie nu putem trage concluzii asupra convergentei seriei. Cu ajutorul criteriului III, obtinem , deci seriile si au aceeasi natura, ultima serie fiind divergenta ( !).

Exercitii

(a). Studiati natura urmatoarelor serii :

.

(b). Determinati suma seriei

Indicatie. Putem scrie identitatea unde, prin identificare, gasim si . Atunci termenul general al seriei devine

si, prin urmare,

.

(c). Studiati natura seriei .

Solutie. Daca atunci obtinem seria armonica .

In inegalitatea evidenta

  ,  (2.4)

daca substituim, succesiv, obtinem ca subsirul al sirului sumelor partiale, este nemarginit superior:

Asadar, sirul sumelor partiale are limita infinita si deci, seria este divergenta.

Observatie. Inegalitatea (2.4) arata ca sirul sumelor partiale asociat seriei nu este sir Cauchy. Intr-adevar, daca alegem , deducem

, pentru orice

si atunci din criteriul general al lui Cauchy obtinem ca seria este divergenta.

Daca , atunci termenii corespunzatori ai seriei considerate sunt mai mari decat termenii seriei armonice care este divergenta. Potrivit criteriului I de comparatie rezulta ca seria este divergenta.

Daca , vom pune , unde . Analog inegalitatii (2.4), avem inegalitatea

,  (2.5)

Procedand ca mai sus, obtinem

Rezulta ca sumele partiale ale seriei considerate sunt majorate de numarul constant

si deci, seria este convergenta.

(ii). Criterii de convergenta (pentru serii cu termeni pozitivi

3.14. Criteriul raportului (criteriul lui d'Alembert[5]). Fie seria si respectiv

, atunci

i)       Daca , atunci seria este convergenta.

ii)     Daca , atunci seria este divergenta.

iii)    Daca , atunci seria poate fi oricum ( in acest caz nu putem decide natura

seriei

Demonstratie. Analizam cazul i). Fie si . Atunci oricare ar fi , exista

a.i. . Daca notam cu , atunci rezulta

Un calcul simplu arata ca si pentru orice . Deoarece seria este convergenta, din criteriul I de comparatie deducem ca seria data este convergenta.

Observatie. Din inegalitatea , folosind notatia atunci putem scrie inegalitatile , oricare ar fi . Atunci, din criteriul II de comparatie, tinand seama ca seria este convergenta (fiind suma progresiei geometrice cu ratia ), rezulta ca seria este convergenta.

Observatie. Daca a.i. oricare ar fi , atunci si limita superioara si deci, seria este convergenta.

3.15. Criteriul radacinii lui Cauchy. Fie seria si , atunci

i)           Daca , atunci seria este convergenta.

ii)         Daca , atunci seria este divergenta.

iii)        Daca , atunci cu acest criteriu nu se poate preciza natura seriei.

Demonstratie. Prin ipoteza a.i. si deci, , de unde rezulta ca seria este majorata de seria convergenta , deci este convergenta .

3.16. Criteriul lui Raabe si Duhamel. Fie seria , si fie

i)           Daca , atunci seria este convergenta.

ii)         Daca , atunci seria este divergenta.

iii)        Daca , atunci cu acest criteriu de convergenta nu putem decide natura seriei date.

Demonstratie. i). Fie si oarecare, dar fixat. Atunci exista

a.i. si deci .

Deducem relatiile

Fie si . Atunci, pentru fixat, avem

Insumand aceste relatii, dupa reducerea termenilor asemenea, obtinem

.

Prin urmare, pentru orice si orice numar natural , obtinem

fixat.

De aici deducem , fixat, care arata ca seria este convergenta.

ii). Daca , fie a.i. . Exista a.i. si deci, .

Ultimele relatii pot fi scrise sub forma echivalenta

si cum seria este divergenta, atunci rezulta ca seria este divergenta.

Exemplul 1. Fie seria . Utilizand unul din criteriile de convergenta studiate, aratati ca seria este convergenta.

Solutie. Notam cu termenul general al seriei date. Din criteriul raportului, deducem

Prin urmare, cu criteriul raportului, nu putem decide natura seriei. Vom aplica, in continuare, criteriul lui Raabe si Duhamel.

Avem

Deci, seria este convergenta.

3.17. Criteriul integral Maclaurin-Cauchy. Fie , o functie continua care ia valori pozitive (, ) si este monoton descrescatoare pentru , , fixat. Presupunem ca seria numerica are termenul general , ( unde este valoarea functiei pentru ), deci are forma .

Deoarece este continua pe , atunci admite primitive pe acest interval. Fie o primitiva a functiei pe . Atunci este derivabila si . Asadar, functia creste odata cu si deci exista limita , finita sau infinita.

(a). Presupunem ca (adica, limita este finita). Atunci, asa cum usor se poate verifica, seria numerica este convergenta. Vom compara aceasta serie cu seria . Potrivit formulei lui Lagrange, pe fiecare interval , putem scrie relatia :

exista a. i. ,

sau echivalent, daca punem , atunci , . Folosind monotonia lui (am presupus descrescatoare pe ) deducem

, ,  (*)

care arata ca seriile si au aceeasi natura, adica, ambele convergente.

(b). Presupunem ca limita este infinita. In acest caz seria este divergenta si

potrivit relatiei (*) deducem ca seria este divergenta.

3.18. Observatie. Criteriul integral MacLaurin-Cauchy se bazeaza pe compararea seriei numerice cu termenul general cu integrala improprie a functiei , unde .

3.19. Criteriul integral al lui Cauchy. Fie , o functie continua care ia valori pozitive (, ) si este monoton descrescatoare pentru , , fixat. Atunci seria

este convergenta (sau divergenta) dupa cum functia

are limita finita (sau infinita) cand  ; vom scrie : .

Demonstratie. Datorita ipotezei putem scrie relatiile

si respectiv .

Fie sirul sumelor partiale asociat seriei date. Atunci este sir crescator si avem

,  (6)

deci, integrala este convergenta sirul sumelor partiale este convergent.

Exemplul 1. Fie seria . Deoarece , vom alege . Atunci avem si deci, seria este convergenta.

Exemplul 2. Fie seria . Vom alege . Atunci , cand . Asadar, seria este divergenta.

Exemplul 3. Consideram seria armonica generalizata (seria zeta a lui B.Riemann)

Alegem . Atunci seria si integrala , cand , au aceeasi natura. Avem

Daca atunci integrala este convergenta si deci seria converge catre functia , .

Potrivit relatiilor (2.6) rezulta ca intre integrala si seria ,  putem scrie relatiile(vezi, fig.2):

unde este sirul sumelor partiale al seriei . Asadar, avem

.  (7)

Din prima inegalitate (7) deducem inegalitatea si in consecinta, sunt verificate inegalitatile:

.  (8)

Daca , din inegalitatea (8), prin trecerea la limita cand , obtinem

.  (9)

3.20. Observatie. (i). Pentru , suma seriei armonice , care este o serie cu termeni pozitivi, tinde la infinit.

(ii). Seria este divergenta si .

(iii). Dubla inegalitate (9) arata ca .

3.21. Observatie. (i). Fie seria .

Daca , atunci seria este absolut convergenta. Daca , seria este convergenta (din criteriul lui Leibniz, rezulta ca seria este convergenta pentru ) si avem

Se verifica usor relatia . Atunci . Deoarece

atunci obtinem ca functia este continua in .

(ii). Pentru valori particulare ale parametrului pot fi cunoscute valorile functiei . De exemplu,

seria este convergenta si are suma egala cu  ;

seria este convergenta si are suma egala cu .

3.22. Observatie. (i). Fie seria .

Daca , atunci seria este convergenta. Se verifica usor relatia

.  (10)

Avem .

Atunci, din (10), obtinem .

(ii). Pentru valori particulare ale parametrului pot fi cunoscute valorile functiei .

De exemplu, seria este convergenta. Folosind observatia (3.21), deducem ca suma sa este egala cu  .

Analog obtinem ca seria convergenta are suma egala cu .

Calculul aproximativ al unor sume

3.19. Practic, cand nu putem calcula exact suma unei serii convergente, , atunci putem aproxima suma prin , pentru suficient de mare. In astfel de aproximari putem determina valorile lui astfel ca eroarea absoluta de aproximarea sa fie mai mica decat o anumita valoare , data:

Analizam situatiile:

(a). Fie seria alternanta , unde (din criteriul lui Leibniz seria este

convergenta), avand suma partiala

Atunci

Observam ca sirul este crescator, iar sirul este descrescator si, cum

atunci, putem scrie , de unde rezulta marginirea acestor siruri. Asadar, avem si .

Cu ajutorul acestor relatii, obtinem evaluarile

In consecinta, inlocuind suma a seriei prin , facem o eroarea mai mica decat primul termen neglijat, eroarea fiind prin lipsa daca sau prin adaus daca . Deci, valoarea absoluta a erorii este mai mica decat primul termen neglijat si vom scrie

De exemplu, daca dorim sa calculam suma seriei alternate a lui Leibniz, , cu trei zecimale exacte () obtinem .

Deci, insumand primii termeni ai seriei obtinem cu trei zecimale exacte (0.693).

(b). Fie seria cu termeni pozitivi .

Presupunem ca seria este convergenta si fie , suma seriei. De asemenea, presupunem ca exista a.i. , pentru . Inlocuind suma a seriei cu suma partiala putem evalua restul care se obtine sub forma

Asadar, eroarea care se face cand inlocuim suma seriei cu sirul sumelor partiale este

De exemplu, daca dorim sa calculam valoarea aproximativa a numarului cu trei zecimale exacte, atunci putem sa calculam suma seriei cu trei zecimale exacte. Avem

, pentru

si deci, . Alegem cel mai mic numar natural a.i. . Gasim, si deci, . Asadar .