Siruri convergente

Siruri convergente

Fie sir de numere reale si .

Definitia 1: (definitia limitei cu vecinatati)

Spunem ca x este limita sirului (si scriem sau Û in orice vecinatate a lui x se afla toti termenii sirului,cu exceptia (eventual) a unui numar finit de termeni.

Observatie:

In functie de existenta limitei ,sirurile se cl 717j94h asifica in:

Definitia 2: (definitia limitei cu ε)

Û,exista un rang N(ε) > 0 astfel incat n ≥ N(ε) sa avem |x_n-x| < ε

Subsir al unui sir

Fie sir de numere reale si

Definitie:

Numim subsir al unui sir un sir de forma , format din termeni ai sirului dat, unde (k_n)_n este un sir strict crescator de numere pozitive.

Exemple: Daca (x_n)_n este un sir atunci :

• (x_2n)_n este un subsir al lui (x_n)_{n ,} numit subsirul termenilor de rang par (el are termenii: x₀, x₂, x₄ ,x₆, .., x_2n, x_2n+2, )
• (x_2n+1)_n este un subsir al lui (x_n)_n  , numit subsirul termenilor de rang impar (el are termenii: x₁, x₃, x₅,., x_2n+1, x_2n+3, )
• (x_3n)_n subsir a lui (x_n)_n cu termenii: x₀, x₃, x₆, x₉, ., x_3n, x_3n+3,

Teorema

Oricare ar fi un subsir al unui sir convergent exte de asemenea convergent si are aceiasi limita cu sirul dat.

Consecinta (mod de a arata ca un sir este divergent):

Daca un sir (x_n)_n contine doua subsiruri (x_kn), (x_pn) cu limite diferite => (x_n)_n divergent

Daca un sir (x_n)_n contine cel putin un subsir divergent =>(x_n)_n divergent.

Teorema: (Bolzano-Weierstrass)

Din orice sir (x_n)_n marginit se poate extrage un subsir (x_kn)_n convergent.

Proprietatile limitei unui sir

1. Limita unui sir, daca exista, este unica.

2. Prin schimbarea ordinii termenilor unui sir convergent , se obtine tot un sir convergent catre aceiasi limita.

3. Daca dintr-un sir convergent scoatem (sau adaugam) un numar finit de termeni, atunci sirul obtinut este tot convergent catre aceeasi limita.

4. Orice sir convergent este marginit.

Obs: Reciproca , in general falsa.

Daca ,insa ,(x_n)_n nemarginit => (x_n)_n divergent

5. Limita unui sir convergent cu termeni pozitivi , este pozitiva.

Lema lui Cesaro

Orice sir marginit contine cel putin un subsir convergent.

Siruri convergente la 0

Proprietati:

1) Daca sirul (x_n)_n de numere strict pozitive este strict crescator si nemarginit, atunci  

2) Operatii cu siruri convergente la zero:

Fie , atunci:

a) (suma a doua siruri convergente la 0 este un sir convergent la 0)

b) , (produsul dintre o constanta si un sir convergent la 0 este un sir convergent la 0)

c) (produsul a doua siruri convergente la 0 este un sir convergent la 0)

3) Produsul dintre un sir margini si un sir convergent la 0 este un sir convergent la 0.

Criterii suficiente de convergenta a sirurilor

I) Criteriul majorarii (asigura existenta limitei unui sir prin utilizarea catorva siruri tip ce tind la 0 sau la ±∞)

Fie (a_n)_n un sir de numere reale.

Daca si exista un sir (b_n)_n de numere reale pozitive convergent catre 0 () astfel incat , ( k fiind un rang fixat), atunci .

Daca (u_n)_n este un sir astfel incat si daca a_n ≥ u_n , ( k fiind un rang fixat),atunci .

Daca (v_n)_n este un sir astfel incat si daca a_n v_n , (k fiind un rang fixat),atunci .

Observatie:

Siruri ce tind la +∞: orice sir crescator si nemarginit superior

Siruri ce tind la -∞: orice sir descrescator si nemarginit superior

II) Criteriul lui WEIERSTRASS

1) Orice sir monoton crescator si marginit superior este convergent.

2) Orice sir monoton descrescator si marginit superior este convergent.

In general, orice sir monoton si marginit este convergent.

Observatii:

1) Un sir monoton crescator si marginit superior converge catre marginea sa superioara.

2) Un sir monoton descrescator si marginit inferior converge catre marginea sa inferioara.

CONCLUZII

CONVERGENTA + MARGINIRE

CONVERGENTA + MONOTONIE