ALTE DOCUMENTE
|
||||||||||
Siruri de numere
Fie E o multime si multimea N= a nr. Naturale.
O aplicatie a multimei N in multimea E, face sa corespunda multimii N o familie de elemente din E, despre care spunem ca formeaza sir.
Def 1 Un sir de elemente din multimea E este o functie definita pe multimea N a numerelor naturale, cu valori in E.
Elementele sirului din E se notaza an si iar
sirul insusi prin (an)n
N sau simplu an.
Def2 Un sir de nr (an) este marginit inferior,
respectiv superior, daca exista un numar m , respective M, a.i pentru orice n 
N avem :
an
m respectiv an
M
Un sir marginit este un sir marginit inferior si superior.
Un sir de numere an este crescator, daca :
a1a2a3 . - . an.
si este descrescator daca :
a1a2a3 . - . an.
Spunem ca un sir crescator sau descator este un sir monoton.
Limita unui sir
Fie Xo un punct pe o dreapta, se numeste vecinatate a lui Xo orice multime V care contine un interval deschis (a,b) care contine pe Xo.
Def3 un numar a este limita unui sir (an) daca orice vecintate a lui a contine aproape toti termenii sirului. Prin "aproape toti" intelegem tot, cu exceptia unui numar finit.
In acest caz, spunem ca sirul (an) este convergent, sau tinde catre a, sau converge catre a si scriem :
an=a
Teorema : Un sir convergent are o singura limita
Dem Fie sirul (an). Presupunem ca a si a' sunt doua unmere , ambele limite ale sirului.
Numerele ai si a' fiind diferite, exista doua vecinatati V si V', fara puncte commune. Deoarece a este o limita, in afara lui V ramane un numar finit de termeni ai sirului deci V' nu poate cuprinde o infinitate de termeni, adica numarul a nu poate sa fie limita, ceea ce contrazice ipoteza.Deci limita unui sir convergent este unica
Teorema
Orice sir convergent este marginit
Dem: Fie sirul (an)
cu limita a. Atunci orice vecinatate V a lui a contine toti termenii sirului; in afara lui V avem un numar finit
de termeni, fie 
un numar mai mic decat orice termen din stanga si 
un numar mai mare decat orice termen din dreapta. Atunci intervalul [,] contin toti termenii sirului.
Teorema
Un numar a este limita unui sir (an) daca pentru
orice ε >0 exista un numar N(ε) astfel incat, oricare ar fi n Nε , sa avem : |an-a| < ε
Dem Conditia necesara :
presupunem ca sirul este convergent, deci exista un numar a , astfel ca orice vecinatate a lui a sa contina aproape toti termenii sirului.
Consideram ca vecinatate un interval deschis de lungime 2ε centrat in a. Exista atunci N, care depinde de ε, astfel incat toti termenii sirului (an) pentru care n>N sa apartina acesui interval.
Conditie suficienta
sirul (an) fiind dat, consideram ca exista un a si pentru orice ε>o exista un N(ε) pentru care are loc relatia |an-a|<ε
Aceasta este echivalentul cu a spune ca intervalul deschis (a-ε, a+ε) contine aproape toti termenii sirului. Dar ε fiind arbitrar, proprietatea are loc pentru orice interal deschis centrat in a, deci pentru orice vecinatate a lui a.
Siruri fundamentale (sir Cauchy)
Def
Spunem ca un sir (an) este fundamental (sir Cauchy)
daca pentru orice ε>0, exista un
numar N(ε), astfel incat oricare ar fi m N(ε) ,
n N(ε) sa
avem:
|am-an| < ε
Obs.
Fie Xn R ; (n1) un sir de nr. Atunci :
(xn)n
nu este convergent 
X
R, 
X>1 un subsir al sirului (xn)n astfel incat : |x-xn|ε, k1
(xn)n nu converge catre x R ε > o si (xnk)k1 un subsir al lui (xn)k1 a.i |x-xnk| ε , k1
(xn)n
>1 nu este sir Cauchy ε > 0, (xnk)k si (xmk)k subsiruri ale sirului (xn)n a.i
(Xnk-Xmk)ε , k1
Exemple:
sirul (xn)=(-1)n
(n) nu este convergent
Dem. Presupunem ca (xn)n este convergent,
fie X limita sa si ε=
. Atunci exista N a.i |xn-x|< n≥N
Pentru n par (respective impar), nN, obtinem:
|1-x|< (respectiv |-1-x|< ) de unde rezulta X>
(respectiv x<-), absurd 
(xn)n nu este convergent .
2.Fie xn=
, nR. Atunci (xn)n este sir
Cauchy.
Dem : fie ε > 0 fixat.
Atunci |-
|< + 
+
< ε, m,n N,unde N=E(
)+1, deci (xn)n este sir
Cauchy.
Teorema: Orice sir Cauchy este marginit.
Dem: din ipoteza,
oricare ar fi ε > 0 , exista N(ε) astfel incat |am-an|<
ε pentru m N(ε) , n N(ε) . Luam ε=1, m=N si avem
-1 < an-aN < 1 sau aN-1 < an < aN+1 deci sirul este marginit.
Teorema: Daca un sir fundamental contine un subsir convergent, atunci el este convergent.
Dem: fie sirul fundamental (an) si subsirul (anp) convergent catre o limita a0 .
Din ipoteza ε > 0 fiind dat, ex N1 (ε) si N2 (ε) a.i
|an-am| <
pentru n,m N
|anp-a| < pentru np N2 (ε)
Fie N(ε)= max [N1(ε), N2(ε)]. Atunci pentru orice n≥N(ε) si alegand pe p astfel ca np>N(ε),deci np >N avem |an-a|≤|an -anp|+|anp-a|<ε,deci si sirul (an) are aceeasi limita.
Criteriul Cauchy
Un sir an este convergent,daca pentru orice ε>0 exista un N astfel incat oricare ar fi m≥ N n≥ N sa avem: |am-an|<ε (1).
Dem: 1) Necesitatea:
- presupunem ca sirul an
este convergent catre o limita a.Fie ε' >0. Exista un N(ε') astfel
ca pentru orice m,nN sa avem
|am-a| < ε' ; |an-a|<ε'
atunci |am-an||am-a| + |a-an| < 2ε'.
Luam ε=2ε' si avem rel (1).
Suficienta
Presupunem ca are loc relatia
|am-an| < ε oricare ar fi m,n N( ε). Atunci
sirul (an) este marginit, Atunci el contine un subsir convergent,
deci cu teorema dinainte sirul insusi este convergent.
Teorema: - un sir monoton si marginit este convergent.
Dem: - presupunem sirul (an) crescator si marginit, atunci :
a1a2 . . an . A
Sirul (an) este si
marginit, deci contine un subsir convergent (anp). Fie a limita
subsirului, care este crescator, deoarece (anp) este un subsir din (an), avem pnp, deci apanp a , p N.
Deoarece a este limita
subsirulu, exista cel putin un p'N, pentru care |anp'-a|< ε, ε>0.
Deci -εanp-a0, a-ε anp'a
Numarul np'fiind fixat, pentru toti n≥np' avem:
a-ε anp'ana
Deci pentru oricare ε > 0, exista un N(ε)=np' pentru care |an-a| < ε , adica sirul (an) este convergent si are limita a.
Exercitii:
Sa se arate ca sirul (xn)n , unde xn=1+(-1)n, n1 nu are limita
Solutia 1 :
presupunem ca (xn)n ar avea limita;
fie x=xn deoarece
xn=o sau xn=2 rezulta ca x este finit;
Fie V=(x-ε,x+ε) o vecinatate a lui x cu o <ε < 1.
Daca xn V, atunci xn+1 
V, deci nε1 nu putem avea xnV, nnε
Solutia 2 :
Presupunem ca (xn)n≥1
are limita;Fie x=xn.
Atunci 2=x2n=x2n+1=0 absurd
Prin urmare sirul (xn)n1 nu are limita.
Exercitiu 2 :
Sa se calculeze limita sirului
(xn)n1 unde : xn=n-
,oricare n≥1.
Solutie:prin impartire si
descompunere in fractii simple obtinem: xn=n-=1-
=1-(
)=1-(
) ,k1
Atunci
deci Xn=
Exercitiul 3:
Fie (xn) un sir definit astfel:x =1;x =-1;xn=-(xn+1 xn-2) oricare n≥3.
Atunci oricare n>1,numarul 2(n+1) -7x²n-1 este patrat perfect.
Solutia:Aratam prin inductie ca:2n+1-7x2n-1=(2+xn-1), n≥2.
Cum x2=-1 relatia precedenta se verifica direct pentru n=2.
2n+1-7x2n-1=(2xn+xn-1)
22+1-7x22-1=(2x2+x1)2
23-7x12=(2x2-x1)2
8-7=(2-1)2
1=1
Fie n≥2 fixat pentru care 2 este adevarat.Atunci avem:
2n+2-7x2n=2[7x2n-1+(2xn+xn-1)2]=16x2n-1+8xn
xn-1+x2n=16(
)2-8xn
=8x2n+8xnxn+1+4x2n-4xnxn+1+x2n=(2xn+1+xn)2.
Exercitul 4:
Fie (xn) n≥1,un sir definit astfel:
X0=2; x1=
; xn+1=(x2n-1-2)xn-x1,oricare
ar fi n≥1.
Atunci: [xn]=2
,oricare ar fi n≥1
Solutie: x1==2+=2
+2-
X2==2+=2
+2-
De unde prin inductie deducem
ca: xn=2
+2-
Deoarece Є N.oricare ar fi n≥1,rezulta
relatia:
[xn] = si xn=[xn]+
, oricare ar fi n≥1
|
