Siruri

siruri

I.1. siruri si limite

Definitia I.1.1. Se numeste sir de numere reale o functie f:N R, f(n) = a_n.

Definitia I.1.2. sirul (a_n)_{n 0} se numeste crescãtor (respectiv descrescãtor) dacã a_n a_n+1, "n N (respectiv a_n a_n+1, "n N). sirurile crescãtoare si sirurile descrescãtoare se numesc siruri monotone.

Definitia I.1.3. sirul (a_n)_{n 0} este mãrginit dacã si numai dacã M>0 astfel încât a_n M, "n N.

Notatie: (a_n)_{n 0}, a_n R, R = R .

Definitia I.1.4. sirul (a_n)_{n 0}, a_n R are limita a si scriem , a R dacã în orice vecinãtate a punctului a se aflã toti termenii sirului începând de la un anumit rang.

Definitia I.1.5. sirul este convergent, , a R, dacã "e>0, N_e N astfel încât " n> N_e, a_n - a <e.

Definitia I.1.6. dacã e>0, N_e N astfel încât a_n > e, " n > N_e.

Definitia I.1.7. dacã "e>0, N_e N astfel încât a_n < -e, " n > N_e.

Dacã , atunci sirul este divergent.

I.2. Criterii suficiente de convergentã sau de existentã a limitei unui sir

dacã , b_n 0 si a_n - a b_n atunci ;

dacã si a_n b_n atunci ;

dacã si a_n b_n atunci ;

orice sir monoton si mãrginit este convergent (criteriul lui Weierstrass);

dacã b_n a_n c_n si atunci ;

criteriul lui Stolz:

dacã (b_n)_{n 0} crescãtor: si existã , atunci

;

- dacã (a_n)_{n 0}, a_n > 0 si existã atunci = (Cesaro);

- dacã (b_n)_{n 0} crescãtor: si existã , atunci

;

I.2. Operatii cu siruri convergente

, , a,b R

I.3. Operatii cu siruri care au limitã

, , a,b

dacã si , b R atunci ,

atunci , ;

dacã si , b R, atunci

;

atunci , ;

dacã si atunci ;

dacã atunci dacã a_n > 0 si dacã a_n < 0.

I.4. siruri tip