Siruri

siruri

I.1. siruri si limite

Definitia I.1.1. Se numeste sir de numere reale o functie f:N R, f(n) = a_n.

Definitia I.1.2. sirul (a_n)_{n 0} se numeste crescător (respectiv descrescător) dacă a_n a_n+1, "n N (respectiv a_n a_n+1, "n N). sirurile crescătoare si sirurile descrescătoare se numesc siruri monotone.

Definitia I.1.3. sirul (a_n)_{n 0} este mărginit dacă si numai dacă M>0 astfel încât a_n M, "n N.

Notatie: (a_n)_{n 0}, a_n R, R = R .

Definitia I.1.4. sirul (a_n)_{n 0}, a_n R are limita a si scriem , a R dacă în orice vecinătate a punctului a se află toti termenii sirului începând de la un anumit rang.

Definitia I.1.5. sirul este convergent, , a R, dacă "e>0, N_e N astfel încât " n> N_e, a_n - a <e.

Definitia I.1.6. dacă e>0, N_e N astfel încât a_n > e, " n > N_e.

Definitia I.1.7. dacă "e>0, N_e N astfel încât a_n < -e, " n > N_e.

Dacă , atunci sirul este divergent.

I.2. Criterii suficiente de convergentă sau de existentă a limitei unui sir

dacă , b_n 0 si a_n - a b_n atunci ;

dacă si a_n b_n atunci ;

dacă si a_n b_n atunci ;

orice sir monoton si mărginit este convergent (criteriul lui Weierstrass);

dacă b_n a_n c_n si atunci ;

criteriul lui Stolz:

dacă (b_n)_{n 0} crescător: si există , atunci

;

- dacă (a_n)_{n 0}, a_n > 0 si există atunci = (Cesaro);

- dacă (b_n)_{n 0} crescător: si există , atunci

;

I.2. Operatii cu siruri convergente

, , a,b R

I.3. Operatii cu siruri care au limită

, , a,b

dacă si , b R atunci ,

atunci , ;

dacă si , b R, atunci

;

atunci , ;

dacă si atunci ;

dacă atunci dacă a_n > 0 si dacă a_n < 0.

I.4. siruri tip