Sisteme de ecuatii liniare
Fie sistemul de m ecuatii cu n necunoscute
(3.1)
Sistemul (3.1) poate fi scris condensat sub forma:
(3.1)
Daca notam cu A = (aij),
matricea de tipul m n, matricea
coeficientilor necunoscutelor sistemului 
si 
, sistemul (3.1) se scrie în mod echivalent sub forma
matriceala:
Prin solutie a sistemului (3.1) întelegem n-upla (x1, x2, ..., xn) care satisface simultan toate ecuatiile sistemului.
Ordinul maxim al determinantilor cu elemente din A, nenuli este numit rangul matricei A, iar un astfel de determinant este numit determinant principal.
Ecuatiile ce contin elemente din determinantul principal se numesc ecuatii principale iar celelalte ecuatii se numesc ecuatii secundare. Analog vom numi necunoscute principale, respectiv necunoscute secundare.
Se numeste determinant caracteristic, determinantul obtinut prin bordarea determinantului principal cu coeficientii corespunzatori dintr-o ecuatie secundara si coloana termenilor liberi, respectiv necunoscute secundare.
|
3.1 Teorema. |
(Rouche) Un sistem de ecuatii liniare este compatibil daca si numai daca toti determinantii caracteristici sunt nuli. |
În cazul în care rangul matricei A, r = rang A, este egal cu numarul ecuatiilor, convenim ca teorema lui Rouche este satisfacuta.
Un sistem compatibil admite solutiile unica (este determinat) daca toate necunoscutele sunt principale, r = n. În caz contrar sistemul admite o infinitate de solutii (este nedeterminat), r < n.
Daca r = m = n sistemul (3.1)
este numit sistem Cramer, caz în care componentele solutiei sunt date de 
.
Sistemul (3.1) în care bi
= 0, 
se numeste sistem omogen.
Un sistem omogen este întotdeauna compatibil, admitând cel putin solutia banala (0, 0, ..., 0). Pentru ca un sistem de ecuatii liniare si omogene sa admita si solutii diferite de solutia banala impunem conditia r < n.
|
