Sisteme neliniare

Sisteme neliniare

3.1.Elemente si sisteme neliniare.Caracteristici statice si dinamice

3.1.1.Caracterizarea generala a neliniaritatilor si sistemelor neliniare

Sistemele neliniare sunt sisteme dinamice descrise prin multimea perechilor intrare-iesire, denumita descriere intrare-iesire sau externa:

S_t (3.1)

unde:

T,U,Y au aceeasi semnificatie din definitia generala a sistemelor

g_t(.) reprezinta o caracteristica intrare-iesire neliniara, explicita, variabila in timp sau stationara.

Daca se atribuie sistemului S_t o structura de stare, atunci descrierea se numeste interna sau intrare-stare-iesire.

S_t (3.2)

In aceasta descriere apar in plus variabilele de stare x_t, spatiul starilor X si f_t(.,.,.) o caracteristica intrare-stare-iesire neliniara, implicita, de asemenea variabila in timp(nestationara) sau invariabila in timp(stationara).Caracteristicile f si g au un caracter dinamic, in sensul ca ele cumuleaza operatii algebrice simple, liniare si neliniare, precum si operatii diferentiale, integrale, cu diferente si sume finite, de regula liniare sau separabile intr-o parte sau mai multe parti liniare, intercalate cu una sau mai multe functii neliniare.

Elementele neliniare intalnite in sistemele automate indeplinesc cateva conditii informationale, cel putin ca neliniaritati statice, stationare si scalare.

>>Conditia de orientare, de la intrare(cauze) spre iesire (efect) se exprima prin sensul de parcurgere a informatiei de la cauze la efecte, nu si invers. Da 545e47f ca totusi apar efecte secundare de sens opus, acestea se organizeaza ca legaturi inverse specifice buclelor de reactie aditive, multiplicative sau de alte tipuri. Orientarea se exprima prin sageti de la intrare spre iesire in schema bloc din fig.3.1.

Ca exemplu,in fig.3.2 s-au reprezentat caracteristica liniara 1, caracteristica polinomiala 2, caracteristica de tip releu 3 si caracteristica sinusolidala 4, descrise de relatiile intrare-iesire

y_t=ku_t adica (g_t(.)=k(.), k=const sau k_t(.), k_t=k(t));

y_t=a₁u_t+a₃u_t³, a₁<0,a₃>0 (3.3)

y_t=

y_t=a*sin u_t adica(g_t(.)=a sin(.),a=const,a_t=a(t))

>>Conditia de polaritate impune ca neliniaritatile sa redea la iesire nu numai valoric informatia aplicata la intrare, ci si semnul, cu polaritate directa(cadranele I si III) sau inversa(cadranele II si IV). O asemenea conditie are loc in cazul caracteristicii liniare 1 din fig.3.2, caracteristicii 2 cu alternarea polaritatilor inversa si directa, caracteristici 3 pentru u_t[-u₀,u₀], cu u₀>0. Caracteristica 4, de asemenea, alterneaza polaritatea, ca si caracteristica 2, dar in mod periodic. In ansamblu acestea nu verifica in mod univoc polaritatea, ci numai pe portiuni. De exemplu, caractristica 2 se poate utiliza ca transmitator de informatie pentru suficient de mare, iar 4 pentru <. Totodata, trebuie sa se tina seama ca pantele negative pot inversa polaritatea circuitelor de reactie la sistemele inchise prin asemenea neliniaritati.

>>Conditia de univocitate presupune ca unei marimi(valori) de intrare bine determinate ii corespunde o marime de iesire(valoare) si numai una. Daca o asemenea conditie nu are loc, pentru restabilirea bijectiei se introduc conditii logice. De exemplu, la releul cu bucla histerezis(fig.3.3) selectia corecta a iesirii pe bucla se face dupa semnul variatiei de la intrare

y_t= (3.4)

Un alt exemplu este caracteristica patratica de tip minim sau maxim (fig.3.4,a) care prezinta doua intervale de monotonie

y_t=ku_t² (k>0 pentru minim si k<0 pentru maxim) (3.5)

Pentru a minimiza indicatorul y_t se asigura asociatia variatiilor de la intrare si si actionarea cu o comanda logica de forma :

z_t= (3.6)

Sistemele neliniare au cel putin un element neliniar esential in structura lor dinamica. Sistemele neliniare in ansamblu, cat si elementele lor neliniare pot fi stationare, invariabile in timp, sau nestationare, variabile in timp. Caracteristicile elementelor nestationare au o evolutie proprie in timp, depinzand explicit de t prin g_t sau f_t. La elementele stationare, o asemenea dependenta explicita nu are loc, adica g,f depind numai de coordonate (intrari, stari, iesiri) ca functii de timp.

Elementele liniare si neliniare stationare se caracterizeaza prin caracteristici statice si dinamice proprii, care depind de structura lor, principii de functionare, destinatie, functiuni. Printr-o generalizare conceptuala, caracteristicile statice pot fi atribuite, in anumite conditii si limite, si elementelor nestationare, preferand denumirea de caracteristici nestationare in locul celei de caracteristici statice.

Caracteristici statice.Elementele liniare sau neliniare, la care informatia se transmite instantaneu de la intarare spre iesire, cum sunt cele din (3.3),.,(3.6) se numesc elemente statice, fara memorie, iar caracteristicile lor caracteristici statice, variabile in timp sau nestationare si invariabile in timp, constante sau stationare. Ca exemple de asemenea elemente cu caracteristicile lor statice avem graficele din fig.4.2, 4.3, 4.4. Caracteristicile statice se definesc si pentru elemente liniare sau neliniare dinamice, ca forme sau reprezentari limita, stationare, stabilizate cu t±∞, ale unor procese dinamice.

Caracteristici dinamice. Elementele neliniare sau liniare,la care transferul de informatie de la intrare spre iesire nu este instantaneu, ci are o evolutie in timp, care depinde de variatia in timp a marimilor de intrare si de dinamica lor proprie se numesc elemente dinamice, cu memorie, iar caracteristicile lor caracteristici dinamice, care de asemenea pot fi nestationare sau stationare. Elementele dinamice se descriu prin ecuatii diferentiale, integro-diferentiale, integrale (cazul continuu) sau prin modele discrete similare acestora (cazul discret). Ilustram caracteristicile dinamice si statice liniare si neliniare pe doua exemple.

Aplicatia 3.1.Oscilatorul liniar de ordinul al doilea are urmatorul model sau caracteristica dinamica (intrare-iesire)

(3.7)

nestationara, daca unul sau mai multi dintre parametri variaza in timp, si stationara in caz contrar. Cazul stationar cu invariabile in timp poate fi scris sub forma operationala din (3.1)

y_t=g(u_t), g(.)= (3.8)

(in sens generalizat)

Caracteristica statica a acestui element se obtine pentru sau, echivalent, D=0, si are forma

y_t= (3.9)

care rezulta ca un proces limita stabil pentru si t, iar caractreristica statica (3.9) se numeste stabila. Pt. limita teste nemarginita, iar caractreristica statica (3.9) se numeste instabila. Stabilizarea poate avea loc acum numai pentru t

Aplicatia 3.2.Oscilatorul neliniar invariabil in timp, de ordinul al doilea cu neliniaritate polinomiala are forma

(3.10)

care nu mai poate fi redusa usor la o forma explicita ca in cazul oscilatorului liniar. Nici caracteristica statica nu mai este simpla, aceasta are forma unui polinom

(3.11)

care pentru ku_t dat, verifica o ecuatie de gradul al treilea si determina o rezultanta ca in fig.1.5.( , cazul pendulului de lungime l si greutate mg, la care siny_t=y_t-

Dar caracteristica dinamica neliniara (3.10) se poate separa in doua parti, una liniara si alta neliniara

(3.12)

Acestea conduc la o schema-bloc (fig.3.6) in care avem un bloc dinamic liniar L cu memorie caracterizat prin operatorul inscris in blocul L, si un bloc neliniar N cu caracteristica fara memorie Totodata, aici avem o bucla cu reactie pozitiva () care favorizeaza oscilatiile libere (u_t=0). Mai adaugam ca decompozitia din (3.12) si imaginea ei din fig.1.6 nu este unica, dar separarea modelului in parti liniare si neliniare este esentiala.

Oscilatorul neliniar conduce la un model matematic mai adecvat prin descriere interna(3.2). Astfel, daca notam

y_t=x₁(t) ,

rezulta sistemul de ecuatii

y(t)=x₁(t)

care se scrie mai compact

(3.13) y(t)=c^Tx(t),

unde

A= , b=,c=

Modelul (3.13) evidentiaza structura descrieri interne (3.2) pentru cazul particular considerat aici si poate fi generalizat la structuri mai generale de sisteme neliniare.

3.1.2.Clasificarea neliniaritatilor

Folosind proprietatea de decompozitie sau separatie liniar-neliniara si faptul ca neliniaritatile tipice si uzuale sunt fara memorie(partea de memorie este preluata de elementele dinamice liniare), vom caracteriza si clasifica neliaritatile tipice dupa cateva criterii. Fenomenele neliniare sunt proprii multor sisteme, procese si legi din diverse domenii ale lumii reale, din fizica, chimie, tehnica, economie. Pe de alta parte, asemenea fenomene se introduc in mod functional in sisteme, procese, instalatii tehnologice.

Neliniaritati intrinseci, proprii proceselor dinamice, care au o influenta nedorita asupra proceselor, se numesc neliniaritatii perturbatoare. Asa sunt de exemplu jocurile in transmisiile mecanice, cuplajele de tot felul.In acelasi timp, jocul mecanic dimensionat si controlat in mod corespunzator, sta la baza principiului clasic de functionare a ceasornicelor. In mod similar pot fi caracterizate fenomenele gravitationale, in particular pendulul ca oscilator neliniar, sistemele giroscopice cu corectie gravitationala. In acest caz, neliniaritatile se numesc functionale.

Dupa efectul neliniaritatilor asupra tabloului calitativ de miscare al sistemelor neliniare, in comparatie cu modele liniare apropiate, fie si numai in domenii limitate, distingem neliniaritati esentiale si neesentiale. Neliniaritatile esentiale introduc elemente noi, multiple, in tabloul de miscare, al sistemelor neliniare, ca domenii de stabilitate si instabilitate in aceleasi spatii(de miscare sau parametrice) oscilatii si diverse combinatii de frecvente, proprii si fortate, puncte de echilibru, curbe de nivel, extreme libere sau conditionate. De exemplu, caracteristicile neliniare 2,3,4 din fig.3.2 sunt esentiale si difera mult de caracteristica 1 din acelasi grafic. De asemenea, caracteristicile din fig.3.3,3.4,3.5. Daca insa avem in vedere un domeniu limitat de functionare a caracteristici sinusoidale 4 din fig.3.2, ca si celei din fig.3.7, atunci caracteristica neliniara devine neesentiala (in limitele unor erori admise) .

Neliniaritatile continue si derivabile de un numar necesar de ori se numesc analitice, iar neliniaritatile care nu indeplinesc aceste conditii se numesc neanalitice, cum sunt caracteristicile 1,2,4 din fig.3.4,a si fig.3.5. Neliniaritatile care nu indeplinesc aceste conditii se numesc neanalitice, ca de exemplu caracteristica 3 din fig.3.2, caracteristicile din fig.3.3 si fig.3.4,b.

Neliniaritatile pot fi simetrice sau asimetrice. De regula, caracteristicile simetrice sunt functii impare y=g(u), g(u)=-g(-u). Toate carcteristicile din fig.3.2 si fig.3.3 sunt simetrice in raport cu originea sistemului de coordonate (u,y). Simetriea caracteristicilor neliniare se regaseste in multe procese dinamice din sistemele neliniare, indeosebi la miscarile periodice, cea ce usureaza mult studiul acestor procese.

Neliniaritati liniare pe portiuni. Caracteristicile de tip releu, sunt cele mai reprezentative caracteristici liniare pe portiuni. Cea mai simpla caracteristica de tip releu o are releul ideal (fig.3.8,a). In realitate insa, releele nu comuta instantaneu si caracteristicile lor prezinta zone de insensibilitate(fig.3.8,b), bucle histerezis(fig.3.8,c) si alte deformari posibile. Ecuatiile acestor caracteristici au forma:

pentru releul ideal (fig.3.8,a)

y=n= (3.14)

pentru releul cu zona de insensibilitate (fig.3.8,b)

y= (3.15)

pentru releul cu bucla histerezis (fig.3.8,c)

y= (3.16)

Caracteristicile b si a se obtin din c pentru coeficientul de intoarcere si,respectiv,zona de insensibulitate u₀=0 . De asemenea, pentru rezulta caracteristica din fig.3.3, precum si ecuatiile (3.4).

In general, neliniaritatile de tip releu sunt functionale, au rolul de a introduce in sistem energia totala de care acesta dispune, ca amplificatoare polarizate de tip releu. Mai mult, asemenea neliniaritati sunt impuse si de conditiile de optimizare a proceselor tranzitorii din sistemele dinamice liniare si neliniare. De aceea vom acorda o atentie deosebita neliniaritatilor de tip releu, care permit un studiu aproximativ si exact al sistemelor neliniare cu relee fara mari dificultati.

Caracteristicile de magnetizare si similare (fig.3.7,3.9) pot fi aproximate ca neliniaritati liniare pe portiuni. Analitic o asemenea caracteristica se poate aproxima prin expresia dublu- sinusoidala

y=a(sin-bsin u) cu >0, cu

Modelele liniare pe portiuni accentueaza fie zona centrala de insensibilitate (fig.3.10,a), fie fenomenul de saturatie sau limitare in modul (fig.3.10,b), fie ambele fenomene simultan (fig.3.10,c), dupa importanta acestora si domeniul de utilizare, aproximand liniar si celelalte portiuni. In ansamblu, caracteristicile de magnetizare si modelele lor liniare sunt neliniaritati functionale, dar zona de insensibilitate este adesea perturbatoare si provoaca autooscilatii. O alta caracteristica neliniara generatoare de modele liniare pe portiuni este neliniaritatea cu bucle histerezis (fig.3.9), cu trecerea prin origine si diminuarea sensibilitatii magnetice(curbele pline) sau cu remanenta magnetica, fara zona de insensibilitate (curbe intrerupte). Modelele liniare (pe portiuni) pot avea acum formele din (fig.3.11,a), cu zona de insensibilitate si (fig.3.11,b)fara zona de insensibilitate.

Sub pragul de saturatie, trecerea de pe o dreapta inclinata pe cealalta in (fig.3.11,c, se face ca si cum intre acestea ar fi o " zona moarta",ca un joc sau un luft in angrenajele mecanice.

* Neliniaritati optimizante. Acestea reprezinta diverse legi de comutare a unor relee in spatiul starilor sau traiectorii optimizante, dupa care procesele tranzitorii au loc in cel mai scurt timp posibil, se realizeaza cu un consum minim de combustibil , energie, materiale.

Aplicatia 3.3.Ca aplicatie prezentam structura unui sistem de stabilizare a turatiei turbinelor hidraulice cu reactie dupa viteza si acceleratia unchiulara (fig.3.12). In aceasta schema desfasurata blocul 1 reprezinta turbina hidraulica cu ecuatia diferentiala.

(t)=k₁x₂(t)  (3.17)

unde :

x₁ este viteza de rotatie a turbinei,

x₂ este comanda turbinei cu servomotorul hidraulic 2,avand o parte liniara descrisa prin ecuatia

(t)=k₂y  (3.18)

si o parte neliniara N cu o caracteristica statica y=g(u) care are forma din figura 1.10,c dar poate fi aproximata si cu aceea din fig.3.8,b sau c.Cu 3 si 4 s-au notat traductoarele de viteza (pentru x₁) si de acceleratie (pentru x₂), iar 5 reprezinta elementul sensibil, comparatorul, care formeaza abaterea

u(t)=(t)-c₁x₁(t)-c₂x₂(t)=(t)-r(t)  (3.19)

r(t)=c₁x₁(t)+c₂x₂(t)

Ne propunem sa reducem schema din fig.3.12 la o schema echivalenta cu un singur bloc liniar L, conservand neliniaritatea N, ca in fig.3.13. Ciclul informational al blocului L si inchiderea sistemului N sunt detaliate in fig.3.14. Operatorul de transfer al partii liniare H(D) se obtine ca raport dinamic intre r si y,,cum rezulta din fig.3.13. Dar din ecuatiile (3.19),(3.17),(3.18) si (3.14) rezulta

r =c₁x₁+c₂x₂=(c₁+c₂)x₁ si y=

iar in final

H(D)= (3.20)

S-a obtinut astfel un sistem neliniar la care partea liniara are ordinul al doilea in raport cu timpul. Ordinul partii liniare se poate reduce cu o unitate daca se elimina timpul t si se ia ca valoare independenta una din variabilele de stare. Astfel din ecuatiile (3.17),(3.18) avem

, y=g(u), u=-c₁x₁-c₂x₂, k= (3.21)

Sistemul echivalent de ordinul I ia forma din fig.3.15, in care D_x1(.) reprezinta prima derivata in raport cu x₁.

In aceste reprezentari nu s-au precizat conditiile initiale, intervalele de integrare date de tipul neliniaritatii N si alte elemente si conditii care apar in determinarea proceselor dinamice sau a portretului, a tabloului calitativ de miscare (faza sau stare) ale sistemelor neliniare.

3.2.Tabloul calitativ de miscare al sistemelor neliniare

2.1.Tabloul calitativ de miscare.Puncte singulare

Prin tabloul calitativ de miscare al sistemelor neliniare se intelege totalitatea regimurilor posibile de functionare libera si comandata, din toate conditiile initiale posibile, admise sau nu, precum si evolutiile asimptotice, stabile sau instabile.

Puncte singulare:punctele singulare sau de echlibru reprezinta solutii banale ale ecuatiei

(t)=f(x,t) , t>t₀, x(t₀)=x₀  (3.22)

Unde :

x - vectorul de stare n-dimensional

f - functie vectoriala neliniara cu acealasi numar de n componente ca si starea x.

Punctele singulare sau de echilibru sunt puncte fixe,in care viteza de miscare este nula.

(t)=0  (3.23)

Aceste puncte verifica ecuatia neliniara

f(x,t)=0 (3.24)

Ecuatia (3.24), ca ecuatie neliniara, poate sa admita sau nu solutii reale in raport cu x.

Exista si neliniaritati f(x) care nu se anuleaza in nici un punct din spatiul finit xЄXRⁿ, ca de exemplu carcteristicile exponentiale, scalare sau vectoriale, polinoamele algebrice care nu admit radacini reale. In conditiile de regularitate corespunzatoare, functia f(x) se poate dezvolta in serie Taylor in jurul oricarui punct de echilibru, x₀, daca exista

f(x)=f(x₀)+(x-x₀)+g(x-x₀)=0  (3.25)

lim g(x-x₀)=0

xx₀

unde :

g(.)- cumuleaza termeni patratici, cubici in raport cu componentele diferentei (x-x₀).

Limita acestei functii cu xx₀ este uniforma. Dezvoltarea din (3.25) separa in vecinatatea oricarui punct sigular x₀ o parte liniara cu matricea Jacobi

A₀= (3.26)

In imediata vecinatate a punctului x₀, in care g(x-x₀) ia valori suficient de mici, ecuatia neliniara (3.25) ia forma liniara

A₀(x-x₀)=0 (3.27)

Care admite o singura solutie x=x₀ daca det A₀≠0. In caz contrar solutia aproximarii neliniare nu este univoc determinata. In caul nesingular punctele de echilibru, daca exista, sunt puncte izolate. In vecinatatea acestor puncte tabloul calitativ de miscare este aproape liniar, iar pe masura ce se departeaza de x₀, apar deformatii neliniare tot mai accentuate, care se transforma in caracteristici specifice neliniare, cum sunt ciclurile limita in plan sau in spatial n-dimensional, curbele sau suprafetele separatoare.

BREVIAR :Inainte de a prezenta natura punctelor singulare ale sistemelor liniare, facem o paranteza in care enumeram structura si formele diagonale si Jordan ale matricelor reale, patrate A(nxn)

1.Matricea A are structura simpla daca admite n valori proprii distincte sau, cel putin, n vectori proprii liniar independenti (este o matrice diagonalizabila). Atunci exista o matrice modala M astfel incat matricea A sa ia forma diagonala D

MAM^-1=D , M=[u₁u₂u_n] (3.28)

Unde :

u₁u₂u_n -vectori liniari independenti asociati valorilor proprii

-vectorii proprii

2.Admitem ca una sau mai multe valori proprii ale matricei A sunt multiple.

Atunci :

2.a.Daca este o radacina multipla de ordinul j, aceasta poate genera j elemente diagonale

D=diag(., (3.29)

2.b.Poate forma o celula Jordan completa de ordinul j daca degenerarea sa este simpla

J=diag(.J_j( (3.30)

Unde :

(3.31)

2.c.Poate avea q elemente sau blocuri Jordan in diverse combinati posibile. De exemplu pentru j=4 si q=2 sunt posibile urmatoarele combinatii

J=[.,

J=[., (3.32)

Prin degenerare de ordinul q_k a unei valori proprii se intelege numarul

q_k=n-r_k  (3.33)

unde :

r -ragul matricei singulare I-A.

Structurile (3.30) si (3.32) se numesc cvasidiagonale. Petru diagonalizarea sau cvasidiagonalizarea unei matrice patratice se determina valorile ei proprii, se determina gradul ei de degenerare q, se formeaza structura Jordan corespunzatoare, apoi se rezolva ecuatiile vectorilor care formeaza matricea M. Pentru ilustrare si ca model de cvasidiagonalizare, prezentam o procedura si un exemplu. Mai reamintim si faptul ca liniile matricei modale inverse M^-1 formeaza vectorii proprii reciproci sau sau baza reciproca in raport cu baza . Echivalent,vectorii reciproci sunt sunt coloanele matricei (M^T)^-1 din (3.28)

[v₁v₂.v_n]=([u₁u₂.u_n]^T)^-1

Pentru diagonalizare sau cvasidiagonalizarea unei matrice patratice A se procedeaza astfel:

Se determina valorile ei proprii, ca radacini ale ecuatiei caracteristice

det(I-A)=0,,k=1,2,.,n (pot fi si multiple)

Se determina rangul matricei singulare I-A, r_k, si se calculeaza gradul de degenerare q_k dupa formula (3.33), pentru fiecare k.

3.a. Se construieste structura diagonala a matricei D dupa regula 1 la matricele diagonale cu , ij si in cazul 2.a, cand toate valorile proprii multiple prezinta degenerare totala, q_k=k (r_k=n-k une k este ordinul de multiplicitate al valorii proprii ), dupa formula (3.30). In acest caz toti vectorii proprii sunt liniar independenti.

3.b Se construieste structura Jordan cvasidiagonala J din (3.31), daca degenerarea q_k a valorii proprii este simpla, q_k=1(r_k=n-1)

3.c Se construieste structura Jordan cvasidiagonala J de forma (3.32) cu q_k celule Jordan pentru q_k=2,.,k-1(r_k=n-2,.,n-k+1)

4. Cu structura Jordan J se formeaza (procedural) urmatorul sistem.

f(u₁)f(u₂)f(u₃)

J=

Se insumeaza vectorii (u_i) scrisi pe coloana in dreapta matricei J inmultiti cu elementele de pe coloana f(u_j), cum se ilustreaza aici.

Relatiile omogene din acest sistem definesc vectorii proprii, (u₁) si (u₃), iar relatiile neomogene definesc ceilalti vectori (u₃) liniar independenti care completeraza matricea M din (3.28).

Ilustram acest procedeu pe urmatorul exemplu.Sa se cvasidiagonalizeze matricea

A=

Valorile proprii ale acestei matrice sunt .Calculam rangul matricei I-A pentru

r₁=rang (celula Jordan)

Forma cvasidiagonala este

J=

Sa determinam matricea M.Aplicam procedura de la punctul 4.

f(u₁) f(u₂) f(u₃)

J=

Prima si ultima relatie definesc vectorii proprii u₁ si u₃ ,deci au forma

f(u₁) :()u₂=0 ,u₁=

f(u₃) :()u₃=0 , u₃₌

A doua relatie da

f(u₂) :(I-A)u₂=u₁ arbitrar ,u₂=

Luand valori cat mai simple pentru si astfel incat vectorii care se obtin sa fie liniari independenti,de exemplu =0 rezulta vectorii matricei M

M=

..Revenim la problema punctelor singulare

Matricea diagonala D₀=diag() admite ca valori propri tocmai aceste numere, iar matricea caracteristica atasata are determinantul (polinomul caracterstic)

det[I-D₀]=( (3.34)

D₀=MAM^-1

Care corespunde ecuatiei diferentiale

y_n⁽ⁿ⁾(t)+a_n-1y^(n-1)+.+a₁y+a₀y(t)=0  (3.35)

cu solutia generala si derivatele ei

(3.36)

Pentru diverse valori ale constantelor arbitrare C₁,C₂,.,C_n solutia (3.36) reprezinta diverse traiectorii integrale in spatiul coordonatelor canonice (de faza) y₁,y₁^`,.,y₁^(n-1)_, care se intersecteaza numai in punctele x_0, respectiv y₀, legate prin relatia de transformare (3.34).

Definitii: Directii proprii, Drepte separatoare, Nod, Focar, Turbion.

Directii proprii:

In particular pentru C_i=1,C_j=0,oricare ar fi j≠i,i=1,2,.n, rezulta n directii distincte(daca exista) in spatiul n-dimensional,,i=1,2,.n, care evident sunt solutii particulare ale ecuatiei (35).Pentru C_i≠0,acestea devin traiectorii drepte in spatiul n-dimensional,suprapuse peste vectorii ,i=1,2,.n, si se numesc directii proprii.

Determinam aceste directii in spatiile bidimensional si tridimensional (n=2)(n=3).Pentru radacinilereale, aceste directii exista, iar pentru complex-conjugate, aceste directii devin imaginare(nu exista).

In spatiul bidimensional, directiile D₁,D₂, daca exista, impart planul(y₁,y₂)in patru domenii si se numesc drepte separatoare. In fig.3.16.a avem cazul radacinilor reale negative , cu cele patru domenii si traiectoriile convergente spre y₀ in fiecare domeniu, inclusiv pe dreptele separatoare D_i :y₂=y₁,i=1,2, care apartin simultan domeniilor adiacente. Punctul singular y₀ se numeste in acest caz nod stabil. Similar se obtine si nodul instabil pentru radacinile reale, pozitive , fig.3.16.b. Daca insa , atunci dreptele separatoare au pante de semn contrar, portretul de faza are forma din fig.3.16.c iar punctul singular se numeste punct sa.

Cazurile degenerate cu se caracterizeaza printr-o singura dreapta separatoare(D₁ si D₂ se suprapun ), iar planul (y₁,y₂) se imparte acum in doua semipane. Natura si denumirea punctelor singulare raman aceleasi. Degenerarea punctului sa se transforma in traiectorii paralele cu axa y₁, orientate spre dreapta in semiplanul superior (y₂=const>0) si spre stanga in semiplanul inferior(y₂=const<0).

Directiile D₁, D₂ nu exista daca . Distingem si aici 3 cazuri nedegenerate :(cazul stabil), (cazul instabil) si (limita de stabilitate). Traiectoriile de miscare in cele 3 cazuri s-au reprezentat in Fig.3.17, iar punctele de echilibru(singulare) se numesc focar stabil , focar instabil si turbion sau centru

OBS : Trebuie sa reamintim ca aceste tablouri de miscare reprezinta modele liniare, riguros valabile(la limita, cu yày₀) pentru sistemele neliniare si aproximativ, intr-o vecinatate restransa.

Planul fazelor

Planul fazelor permite anumite reprezentari geometrice pe baza carora se pot trage concluzii privind miscarea libera si perturbata a sistemelor privind stabilitatea acestora precum si alti parametrii calitativi.

Se considera pentru inceput un sistem de ordinul II in miscare libera (v=0) descris prin ecuatiile

(3.37)

sau eliminand timpul

(3.38)

unde  f₁ si f₂ sunt functii derivabile

Solutiile sistemului (3.37) y₁(t),y₂(t) reprezinta in planul y₂-y₁ puncte situate pe traiectoriile de faza. In acest caz,consideram vectorul =[y₁,y₂]^T, derivata acestuia in raport cu timpul reprezinta vectorul viteza avand componentele f₁ pe axa x₁ si f₂ pe axa x₂, amplitudinea v= si directia

(3.39)

unde : si sunt vectorii celor doua axe

Relatiile (3.37) arata ca pentru orice punct comun al traiectoriilor de faza pornind din conditii initiale y₁(t₀),y₂(t₀) diferite, vectorii de viteza tangenti la fiecare traiectorie vor avea acceasi directie ceea ce nu se poate, deci traiectoriile de faza nu se vor intersecta. Exista totusi puncte, denumite puncte singulare, in care traiectoriile de faza se intersecteaza, coordonatele acestor puncte fiind solutiile sistemului de ecuatii :

f₁(y₁,y₂)=0, f₂(y₁,y₂)=0 (3.40)

Din (3.40) si (3.39) rezulta =0, ceea ce implica y₁=y_1s=ct, y₂=y_2s=ct denumite valori stationare ale variabilelor iar punctul de coordonate (y_1s,y_2s) poarta denumirea de punct stationar sau punct de echilibru.

Sistemul de ecuatii neliniare (3.40) poate avea o singura solutie, mai multe solutii sau nici o solutie. Se considera ca exista cel putin o solutie a sistemului de coordonate y_1s,y_2s si se va analiza comportatea solutiei libere a sistemului (3.37) intr-o forma finita din jurul acestui punct stationar, pentru care sistemul neliniar poate fi aproximat printr-un sistem liniar (y₁=y_1s+,y₂=y_2s+

=f₁(y_1s,y_2s)+a₁₁ (3.41)

=f₂(y_2s,y_1s)+a₂₁

unde:

a_ij= , variabilele fiind variatii fata de valorile stationare y_1s ,y_2s sau altfel spus, originea axelor lor se afla in punctul stationar (y_1s,y_2s) .Consideram iesirea egala cu y= ,sistemul (3.41) poate fi pus in forma matriceala avand matricele:

A= ;c^T =[1 0] (3.42)

Pentru studiu este avantajos sa se faca o schimbare de variabila

 ; T= ;A_cT=TA ; (3.43)

unde :

A_c= a₀=a₁₁a₂₂-a₂₁a₁₂ a₁=-(a₁₁+a₂₂) (3.44)

In noul system de coordinate avand originea axelor tot in (y_1s,y_2s) sistemul va fi descries prin ecuatiile:

; (3.45)

Derivand prima ecuatie in raport cu timpul rezulta:

(3.46)

cu ecuatia caracteristica:

(3.47)

In functie de radacinile ecuatiei caracteristice solutiile sistemului (3.47) au forma :

a)   pentru radacini reale :

a₁²>4a₀

x₁= (3.48)

x₂=

unde :

C₁ si C₂ sunt constante reale ce depind de conditiile initiale.

b)   pentru radacini complexe :

x₁= (3.49)

x₂=

unde :

C₁ si C₂ depind de conditiile initiale x₁₀ si x₂₀.

Se vor analiza pe rand diverse situatii in functie de radacini si semnele acestora.

Cazul 1. a₁>0 ,a₀>0,a₁²>4a₀, deci radacinile reale negative <

Din (3.48) rezulta doua cazuri particulare:

a)    C₁=0 ; x₁ ;x₂= , deci traiectoria de faza in planul x₂-x₁ este o dreapta D₂ de panta

b)    C₂=0 ; x₁= ; x₂= ,deci traiectoria de faz va fi o dreapta D₁ de panta

Din (3.46) eliminand timpul rezulta panta izoclinelor :

(3.50)

Are valoarea zero pentru =0 ce va corespunde la o dreapta x₂=- de panta negativa - (dreapta in fig.3.18, indicandu-se sensul izoclinei in cadranul II si IV pentru aceasta dreapta. Pe axa orizontala x₂=0, deci sensul fiind indicat pe figura. In mod similar, analiza semnului lui x in diverse zone ale planului s-au indicat sensurile traiectoriilor de faza prin sageti prezentandu-se in fiecare zona cate o izoclina. Deoarece si sunt negative din (3.49) pentru t ,deci toate izoclinele converg catre originea planului x₁,x₂ respectiv catre punctul stationar (y_1s,y_2s). Dupa cum se observa din figura, miscarea libera este stabila si punctul stationar poate fi atins din orice punct initial (punct de tip nod stabil). Se poate face si o corelatie intre forma traiectoriilor de faza si forma aperiodica a raspunsului.

Cazul particular rezulta simplu din fig.3.18 prin suprapunerea celor doua drepte D₁,D₂.

Cazul 2. a₁>0,a₀>0,a₁²<4a₀ ,deci radacini complexe cu partea reala negativa ().Solutiile sunt date de (3.49) care tind oscilant amortizat catre zero. Deci, traiectoriile de faza converg catre origine (fig.3.19)(punct de tip focar stabil) si sunt spirale deoarece

ln <0 (3.50)

Se poate face si aici o analogie intre forma izoclinelor si raspunsul x₁(t).

Daca a₁=0,a₀>0 rezulta radacini pur imaginare, deci si x₁(t) va oscila permanent cu amplitudinea constanta rezultand din (3.49).

x₁(t)=C₁ cos+C₂ sin

x₂(t)=C₂ cos sin

sau

x₁²+=C₁²+C₂²

deci vor fi curbe inchise de forma eliptica (daca se ia ca variabila vor fi cercuri).

Cazul 3. a₁<0,a₀>0,a₁²<4a₀,rezulta radacini complex conjugate cu parte reala pozitiva () .In acest caz,solutiile (50) vor fi oscilant neamortizate pentru (t).Izoclinele vor fi tot spirale,dar divergente asa cum rezulta din (53)

ln (53)

si sunt reprezentate in fig.3.21

Rezulta deci ca punctul stationar este instabil,deoarece chiar daca procesul este adus in acest punct,cea mai mica perturbatie il va deplasa in alt punct stationar stabil(punct de tip focar instabil).

Cazul 4. a₁<0,a₀>0,a₁²>4a₀ deci radacini reale ambele positive .Ca si in cazul 1 se deduc si aici cele doua drepte D₁ si D₂,dar situate in cadranele I si III (figura..).S-au trasat izoclinele pornind din origine,deci originea nu poate fi un punct stabil deoarece solutiile x₁ si x₂ converg catre (punct de tip nod instabil)

Cazul 5. a₀<0 ,rezulta radacini reale de semne contrare () .Solutiile sistemului sunt date de (49).Ca si in cazul 1 se deduc cele doua drepte.D₂ este situata in cadranele I si III si corespunde unei solutii :

x₁(t)= pentru t ,iar D₁ este situata in cadranele II si IV si corespunde unei solutii :

x₁(t)= pentru t

In fig.3.23. s-au trasat sensurile traiectorilor de faz pentru diverse zone din plan.Dreapta =0 este bisectoarea unghiului format din cele doua drepte.Atingerea punctului stationar este posibila numai daca se porneste din conditii initiale situate pe dreapta D₁ in rest,punctul stationar nu poate fi atins(punct de tip sa)

Pentru fiecare punct stationar prezentat mai sus,forma traiectorilor de fza din jurul punctelor stationare defineste natura acestui punct de tip nod,focar sau sa.

3.3.Cicluri limita.

Ciclurile limita reprezinta traiectorii inchise catre care tind asimtotic, dintr-o vecinatate determinata, toate traiectoriile, atat din interior cat si din exterior (cicluri limita stabile) sau de la care diverg traiectorii, atat spre interior cat si spre exterior (cicluri limita instabile), traiectorii perturbate de la aceste curbe inchise.

Ca metode de studiu a ciclurilor limita putem enumera:

Criteriul de inexistenta al ciclurilor limita propus de Bendixon;

Teorema Poincare-Bendixon;

Metoda transformarilor punctuale sau curbelor caracteristice;

Metoda Lienard;

Miscarea perturbatiilor sau metoda parametrului mic pentru miscarea libera a sistemelor autonome;

Metoda functiei de descriere.

In acest capitol vom studia existenta si stabilitatea ciclurilor limita folosind metoda functiei de descriere.

Studiul ciclurilor limita cu ajutorul functiei de descriere

Orice sistem care poate fi pus in forma aratata in fig. 2.1, poate fi studiat folosind metoda functiilor de descriere.

Fig. 3.23. Schema bloc a unui sistem ce contine o parte liniara si una neliniara

In studiul acestui sistem, functia de descriere poate fi folosita pentru a descoperi existenta ciclurilor limita precum si pentru studiul stabilitatii acestora. Aplicabilitatea functiei de descriere in analiza ciclurilor limita, se datoreaza faptului ca forma semnalelor intr-un sistem ce prezinta cicluri limita este de obicei sinusoidala. Presupunand ca elementul liniar din fig. 2.1. are proprietatea de filtru trece jos (cum este cazul celor mai multe sisteme fizice), daca sistemul are cel putin un ciclu limita, atunci semnalele sistemului trebuie sa fie toate periodice. Din acesata cauza intrarea in elementul liniar poate fi scrisa ca suma a mai multor armonici si intrucat elementul liniar se comporta ca un filtru trece jos, filtreaza armonicile superioare ale semnalului de iesire.

Uneori un ciclu limita poate fi dorit, este cazul ciclurilor limita ale oscilatoarelor electronice folosite in laboratoare. Un alt exemplu in care ciclurile limita sunt dorite este asa numita "tehnica a vibratiilor" care poate fi folositoare pentru minimizarea efectelor negative ale frecarii in sistemele mecanice. Cu toate acestea in multe sisteme de reglare ciclurile limita sunt nedorite din cauza urmatoarelor motive:

un ciclu limita prin instabilitatea sa, tinde sa cauzeze un control slab al acuratetii reglarii;

oscilatiile permanente asociate cu cicluri limita pot cauza sporirea eroziunii si chiar distrugerea mecanica a sistemelor fizice;

In general cunoasterea precisa a formei de unda a unui ciclu limita nu este o problema imperioasa, insa cunoasterea existentei, precum si a amplitudinii si pulsatiei lui este decisiva, metoda functiei de descriere putand fi folosita in acest scop.

Functia de descriere

Vom vedea in continuare cum se reprezinta o componenta neliniara prin functia de descriere. Ipotezele in care se defineste functia de descriere pentru o neliniaritate cu o intrare si o iesire sunt:

1. Neliniaritatea este descrisa de :

(2.1)

unde f este o functie monotona pe portiuni, univalenta sau polivalenta, avand cel mult discontinuitati de prima speta (conditiile Dirichlet)

Neliniaritatea este simetrica fata de originea planului u, w;

Daca u este periodic in timp atunci w este de asemenea periodic, de aceeasi perioada cu u;

In sistemele de reglare automata neliniare, elementul neliniar se afla inaintea unui subsistem liniar cu caracteristica atenuare - frecventa de tipul filtru trece - jos.

Aceste ipoteze sunt satisfacute in majoritatea cazurilor care intervin in aplicatii.

Consideram in continuare un semnal de intrare sinusoidal in elementul neliniar de amplitudine A si pulsatie w:

(2.2)

Iesirea w(t) a elementului neliniar este tot o functie periodica de forma:

(2.3)

Folosind seriile Fourier, functia periodica w(t) poate fi dezvoltata astfel:

(2.4)

in care:

(2.5)

(2.6)

(2.7) sunt coeficientii Fourier ai iesirii w(t).

Din cauza ipotezei 2 de mai sus

De asemenea din cauza proprietatii de filtru trece jos a partii liniare (ipoteza 4) armonicile superioare ale lui w(t) vor fi filtrate rezultand:

(2.8)

unde w₁(t) este fundamentala lui w(t).

Tinand cont ca:

(2.9)

si transpunand in complex relatia (2.2) obtinem :

(2.10)

Pornind de la produsul a doua numere complexe:

(2.11)

si daca notam si tinem cont si de faptul ca obtinem:

(2.12)

Din relatiile (2.8) si (2.12) rezulta:

(2.13)

Dar cum:

(2.14)

si tinand cont de (2.13) obtinem:

(2.15)

Definitia 13. Se numeste functie de descriere a elementului neliniar (2.1) raportul:

(2.16)

Tinand cont de relatiile (2.10), (2.13) si (2.14)obtinem:

(2.17)

In aplicatii se utilizeaza si functia de descriere inversa negativa:

(2.18)

Definitia 14. Hodograful se numeste loc de descriere invers negativ al elementului neliniar (2.1).

Calculul fuctiei de descriere

Pentru aplicatia pe care o vom trata la acest capitol avem nevoie de funtia de descriere a unei neliniaritati de tip bipozitional ideal. De aceea vom calcula in continuare fuctia de descriere a acestei neliniaritati.

a) Se considera un bloc neliniar a carui neliniaritate este de tipul bipozitional ideal, avand un model matematic descris de:

(2.19)

la intrarea caruia se aplica un semnal sinusoidal (fig.2.1.)

Fig. 2.1. Caracteristica statica a unei neliniaritati de tip releu ideal

Tinand cont de relatiile (2.6) si (2.7) obtinem:

(2.20)

(2.21)

Functia de descriere a reului ideal este:

(2.22)

2.5. Criteriul Nyquist (extensie)

O simpla extensie a criteriului Nyquist, poate fi facuta prin introducerea unui factor proportional k in schema unui sistem in circuit inchis ca in fig.2.2.

Fig.2.2. Schema bloc a unui sistem in circuit inchis

Aceasta modificare va fi folosita in interpretarea stabilitatii ciclurilor limita, folosind metoda functiei de descriere.

Functia de transfer a sistemului in circuit inchis devine :

(2.23)

Egaland cu zero ecuatia caracteristica a aceasteia obtinem:

(2.24)

Se traseaza in continuare in planul complex locul de transfer al sistemului in circuit deschis (fig. 2.3) care se obtine facand in functia de transfer a sistemului in circuit deschis:

(2.25)

Fig. 2.3. Locul de transfer al sistemului in circuit deschis

Pe baza locului de transfer al sistemului in circuit deschis se poate formula extensia criteriului Nyquist care porneste de la premiza ca functia de transfer a sistemului in circuit deschis nu contine poli in semiplanul drept complex, adica sistemul in circuit deschis este stabil.

In aceste conditii pentru ca sistemul in circuit inchis sa fie stabil trebuie ca locul de transfer al sistemului in circuit deschis sa nu inconjoare punctul , atunci cand variaza de la 0 la

Existenta si stabilitatea ciclurilor limita

Presupunem ca exista o autooscilatie de amplitudine A si pulsatie w in sistemul din din fig.2.4. In aceste conditii variabilele sistemului trebuie sa satistaca urmatoarele relatii:

Fig. 2.4. Schema bloc a unui sistem reprezentat prin N(A) si H(jw)

(2.26)

Atunci avem:

(2.27)

Deoarece , impartim relatia (2.27) la y si obtinem:

(2.28)

care mai poate fi scrisa astfel:

(2.29)

De aceea amplitudinea A si pulsatia w ale ciclurilor limita ale sistemului trebuie sa satisfaca relatia (2.29). Daca aceasta ecuatie nu are solutii, atunci sistemul neliniar nu are cicluri limita.

De fapt expresia (2.29) reprezinta doua ecuatii neliniare ( partea reala si partea imaginara reprezentand fiecare cate o ecuatie depinzand de cele doua variabile A si w). Acest sistem are de regula un numar finit de solutii.

Aplicatia 2. (Determinarea existentei ciclurilor limita pe cale analitica)

Se considera ecuatia Van der Pol:

(2.30)

unde este o constanta pozitiva. Vom determina in continuare daca exista un ciclu limita in acest sistem si daca da vom calcula amplitudinea si pulsatia ciclului limita.

Presupunem mai intai existenta unui ciclu limita cu amplitudine si pulsatie nedeterminate iar apoi vom determina daca sistemul considerat poate sa aiba o astfel de solutie.

In continuare punem sistemul dinamic sub forma prezentata in fig. 2.1 (separam partea liniara de partea neliniara). Pentru acesta scriem:

(2.31)

Daca notam ca fiind marimea de iesire din blocul neliniar, respectiv intrarea in cel liniar, ecuatia (2.31) devine:

(2.32)

iar partea liniara se observa ca este descrisa de functia de transfer:

(2.33)

Cum partea neliniara este data de produsul ecuatia (2.30) poate fi pusa sub forma aratata in fig. 2.5.

Fig.2.5. Transpunerea sub forma de schema bloc a

oscilatorului Van der Pol

El arata ca un sistem cu reactie continand un bloc liniar si unul neliniar , unde blocul neliniar desi instabil, are proprietatea de filtru trece jos.

Acum vom presupune ca avem un ciclu limita in sistem si semnalul de iesire y este de forma:

(2.34)

unde:

A - amplitudinea ciclului limita;

w - pulsatia ciclului limita.

In aceste conditii iesirea w a blocului neliniar este:

(2.35)

Folosind formulele:

(2.36)

(2.37)

obtinem:

(2.38)

Se observa ca w contine 3 armonici, insa putem spune ca efectul armonicilor superioare este suficient atenuat de blocul liniar astfel incat in semnalul de iesire y, efectul lor nu se mai resimte.

Astfel il putem considera pe w dupa cum urmeaza:

(2.39)

iar blocul neliniar din fig 2.5 poate fi aproximat prin blocul echivalent cvasiliniar din fig. 2.6.

Fig. 2.6. Aproximarea cvasiliniara a oscilatorului Van der Pol

"Functia de transfer" a blocului cvasiliniar depinde de amplitudinea semnalului A, spre deosebire de functia de transfer a blocului liniar. In domeniul frecventei asta inseamna ca:

(2.40)

unde N(A) reprezinta aproximare blocului cvasiliniar in domeniul frecventei:

(2.41)

Intrucat am presupus ca sistemul contine o oscilatie sinusoidala avem:

(2.42)

unde H(jw) reprezinta raspunsul in frecventa al blocului liniar.

Ecutia caracteristica a sistemului in circuit inchis este:

(2.43)

Vom prelucra in continuare ecuatia (2.43) pentru a obtine pe A si w.

(2.44)

Amplificam cu numarul complex conjugat:

(2.45)

Dupa aducerea la acelasi numitor si ordonarea ecuatiei obtinem:

(2.46)

Din conditia:

(2.47)

obtinem un sistem de doua ecuatii cu necunoscutele A si w dupa cum urmeaza:

(2.48)

Din cea de-a doua ecuatie a sistemului (2.48) obtinem:

Cum pulsatia nu poate fi nici 0 nici negativa rezulta o pulsatie a ciclului limita

Inlocuind in prima ecuatie a sistemuli (2.48) pe obtinem

In prisma variabilei Laplace ecuatia caracteristica a sistemului in circuit inchis are valorile proprii:

(2.49)

Se observa ca pentru A=2 obtinem:

(2.50)

care indica existenta unui ciclul limita de amplitudine A=2 si pulsatie w=1.

In general este dificil de rezolvat aceste ecuatii prin metode analitice, in particular pentru sistemele de ordin superior si de aceea se foloseste uzual o abordare grafica.

Vom descrie in continuare acesta abordare.

Se reprezinta in planul complex atat raspunsul in frecventa al blocului liniar cat si functia de descriere inversa , (calculata asa cu s-a aratat in subcapitolul 2.3), ( fig.2.7.)

Fig. 2.7. Determinarea grafica a existentei si stabilitatii ciclurilor limita

Daca cele doua curbe se intersecteaza o data atunci exista un singur ciclu limita iar valoorile lui A si w in punctul de intersectie sunt solutiile ecuatiei (2.29) (). Daca cele doua curbe se intersecteaza de n ori atunci sistemul are un numar de n cicluri limita posibile.

Amplitudine corespunzatoare ciclui limita indicat de punctul L₁ este chiar valoarea lui A in punctul L₁ pe curba . Pulsatia ciclui limita indicat de punctul L₁ este chiar valoarea lui w in punctul L₁ pe curba H(jw).

Asa cum am aratat in subcapitolul 2.1 ciclurile limita pot fi stabile sau instabile. Mai sus am discutat cum se determina existenta ciclurilor limita. Sa vedem acum cum se determina stabilitatea unui ciclu limita pe baza extensiei criteriului Nyquist prezentata in subcapitolul 2.5.

Se considera reprezentarea raspunsului in frecventa precum si a functiei de descriere inverse negative din fig. 2.7. Observam ca avem doua puncte de intersectie intre cele doua curbe, indicand faptul ca sistemul are doua cicluri limita. Valoarea lui A corespunzatoare punctului L₁, este mai mica decat valoarea lui A corespunzatoare punctului L₂.

Vom discuta mai intai despre stabilitatea ciclului limita corespunzatoare punctului L₁. Presupunem ca sistemul opereaza initial in punctul L₁ cu amplitudine si pulsatia ciclului limita A₁, respectiv w₁. Datorita unei mici perturbatii, amplitudinea semnalului de intrare a elementului neliniar creste foarte putin iar punctul de operare al sistemului se muta de la L₁ la L₁^|. Deoarece puntul L₁^| este incercuit de curba H(jw) conform criteriului Nyquist prezentat in subcapitolul 2.5, sistemul este instabil in acest punc de operare si amplitudinile semnalelor sistemului vor creste. De aceea punctul de operare se va muta de-a lungul curbei catre puntul L₂. Pe de alta parte daca sistemul este perturbat astfel incat amplitudine A sa se micsoreze, punctul de operare al sistemului se va muta in punctul L₁^|| in cealalta directie. Deoarece punctul L₁^|| nu este incercuit de curba H(jw), sistemul devine stabil in acest punct de operare, iar amplitudinea semnalelor sistemului continua sa scada indepartandu-se de punctul L₁.Discutia de mai sus arata ca o mica perturbatie poate distruge oscilatia din punctul L₁ si de aceea ciclul limita corespunzator pnctului L₁ este instabil.

Daca sistemul opereaza in punctul L₂ unde amplitudine si pulsatia ciclului limita sunt A₂ si respectiv w₂ si daca asupra sistemului actioneaza o mica perturbatie, in sensul cresterii amplitudinilor semnalelor sistemului, atunci punctul de operare al sistemului se muta pe curba , in sensul cresterii lui A.

Punctele de pe curba corespunzatoare unei amplitudini mai mari decat A₂, nefiind incercuite de curba H(jw) conduc la un sistem stabil, determinand scaderea amplitudinii si corespunzator deplasarea punctului de operare al sistemului tot catre punctul L₂.

Daca dimpotriva asupra sistemului actioneaza o mica perturbatie, in sensul scaderii amplitudinilor semnalelor sistemului, atunci punctul de operare al sistemului se muta pe curba , spre punctul L₁. Datorita faptului ca un astfel de punct este incercuit de curba H(jw), sistemul devine instabil, amplitudinea semnalelor lui crescand, puntul de operare al sistemului deplasandu-se tot catre L₂.

Discutia de mai sus arata ca o mica perturbatie nu poate distruge oscilatia din punctul L₂ si de aceea acest ciclu limita este stabil.

Rezumand cele discutate mai sus obtinem un criteriu pentru existenta si stabilitatea ciclurilor limita:

Criteriul ciclului limita: Fiecare punct de intersectie dintre curba H(jw) si curba , corespunde unui ciclu limita. Daca punctele de langa intersectie si de-a lungul curbei partea cu A crescator nu sunt incercuite de curba H(jw), atunci ciclul limita corespunzator este stabil.

Aplicatia 3. Vom aplica in continuare atat metoda analitica pentru determinarea ciclurilor limita (ecuatia balansului armonic), precum si metoda grafica de determinare ciclurilor limita si studiul stabilitatii acestora pentru sistemul prezentat in fig. 2.8.

Vom calcula in continuare pe baza ecuatieie balansului armonic pulsatia si amplitudinea ce caracterizeaza ciclurile limita stabile care se pot instala in sistemul din fig. 2.8, in cazul cand

Fig. 2.8

Din ecuatia balansului armonic:

(2.51)

obtinem :

(2.52)

Intrucat:

(2.53)

si functia de descriere a elementului bipozitional ideal calculata in subcapitolul 2.4 este:

(2.54)

prin inlocuirea acestora in relatia (2.52) se obtine sistemul:

(2.55)

Din relatia a doua a sistemului (2.55) se obtine:

si deoarece sunt excluse rezulta pentru pulsatia ciclului limita

Introducand valoarea in prima relatie a sistemului (2.55) se determina amplitudinea ciclului limita:

(2.56)

Asadar in sistem apare un ciclu limita de amplitudine si pulsatie

Vom studia in continuare stabilitatea acestui ciclu limita folosind criteriul ciclului limita.

Pentru aceasta vom reprezenta in planul complex atat raspunsul in frecveta al partii liniare pentru

(2.57)

cat si functia de descriere inversa negativa a partii neliniare pentru , calculata in subcapitolul 2.4:

(2.58)

Prin amplificarea lui H(jw) cu numarul complex conjugat al numitorului obtinem:

(2.59)

avand partea reala:

(2.60)

si partea imaginara:

(2.61)

In continuare vom determina modul de variatie a partii reale, respectiv a partii imaginare in raport cu pulsatia

(2.62)

Tracand toate aceste rezultate intr-un tabel obtinem modul de variatie al partii reale in raport cu

Procedand in mod similar si pentru partea imaginara obtinem:

Tracand toate aceste rezultate intr-un tabel obtinem modul de variatie al partii imaginare in raport cu

Ne intereseaza in continuare un tabel de variatie al functiei de descriere inverse negativa (), in raport cu amplitudinea A, unde am considerat

Pe baza tabelelor obtinute mai sus, vom trasa in planul complex atat hodograful partii liniare a sistemului considerat, precum si functia de descriere inversa negativa a partii neliniare (fig. 2.9).

Fig. 2.9. Reprezentarea in planul complex a lui H(jw) si

Criteriul ciclului limita afirma ca fiecare punct de intersectie dintre curba H(jw) si curba , corespunde unui ciclu limita. Daca punctele de langa intersectie si de-a lungul curbei partea cu A crescator nu sunt incercuite de curba H(jw), atunci ciclul limita corespunzator este stabil.

Conform acestui criteriu, sistemul studiat are un singur ciclu limita (existand un singur punct de intersectie intre curbele H(jw) si ), iar acesta este un ciclu limita stabil. Pulsatia ciclului limita astfel determinat este , aceasta fiind una din valorile lui pentru care Q(w)=0, iar amplitudinea ciclului limita este , valoare pentru care . Putem analiza stabilitatea acestui ciclu limita.

Presupunem ca sistemul opereaza initial in punctul L₁ cu amplitudine si pulsatia ciclului limita , respectiv w=2. Datorita unei mici perturbatii, amplitudinea semnalului de intrare a elementului neliniar creste foarte putin iar punctul de operare al sistemului se muta in sensul cresterii lui A. Deoarece puntele din dreapta punctului L₁ nu sunt incercuite de curba H(jw) conform criteriului Nyquis prezentat in subcapitolul 2.5, sistemul este stabil in oricare punct operare situat la dreapta punctului L₁ si amplitudinile semnalelor sistemului vor scadea. De aceea punctul de operare se va muta iarasi in L₁.

Daca perturbatia care actioneaza asupra sistemului la un moment de timp, determina scaderea amplitudinii semnalelor sistemului, punctul de operare al sistemului se deplaseaza pe axa imaginara apropiindu-se de originea planului complex. Orice punt de pe axa imaginara situat intre punctul L₁ si originea planului complex, este inconjurat de curba H(jw), si conform extensiei criteriului Nyquis, aceste puncte de operare fac sistemul instabil. De aceea amplitudinea semnalelor sistemului va creste determinand deplasarea punctului de operare catre punctul L₁.

Conform definitiei ciclurilor limita stabile (reprezinta traiectorii inchise catre care tind asimtotic, dintr-o vecinatate determinata, toate traiectoriile, atat din interior cat si din exterior) rezulta ca ciclul limita previzionat cu metoda functiei de descriere este un ciclu limita stabil.

Datorta faptului ca metoda functiei de descriere face doar o predictie a existentei si stabilitatii ciclurilor limita, validitatea si acuratetea acestei predictii, trebuie sa fie confirmata de simularea pe calculator.

Astfel prin metoda functie de descriere am determina existenta unui ciclu limita stabil, avand A=0,58 si . Realizand un calcul simplu obtinem perioada semanalului de iesire al sistemului studiat :

Intradeva simularea realizata in Matlab-Simulink, confirma rezultatele determinate folosind metoda functiei de descriere (fig.2.10).

Fig. 2.10. Evolutia lui y in raport cu timpul (semanl periodic avand T=3,14 si A=0,58)

Este usor de verificat folosind de exemplu criteriul lui Hurwitz, ca pentru partea liniara este stabila (toti minorii determinantului Hurwitz sunt pozitivi).

Marimea de iesire din elementul neliniar poate lua doar doua valori:

(2.63)

Datorita stabilitatii partii liniare atunci cand si , iar cand si (2.64)

Deci de fiecare data w determina schimbarea semnului lui a si acesta determina comutari permanente ale iesirii blocului bipozitional.

Variatia calitativa a lui w in raport cu timpul obtinuta in urma simularii in Matlab-Simulink este aratata in fig. 2.11.

Fig.2.11. Variatia calitativa a lui w in raport cu timpul

In fig 2.12. sunt reprezentate variatiile lui w si y in raport cu timpul in situatiile in care si , obtinute tot prin simulare (Matlab -Simulink ) considerandu-se

Fig.2.12. Variatia calitativa a lui w si y in raport cu timpul

In urma rezolvarii sistemului (2.55) se observa ca pulsatia ciclurilor limita nu depinde de si de , in timp ce amplitudinea ciclurilor limita depinde de amandoi parametrii mai sus amintiti: A variaza proportional cu si invers proportional cu

O observatie importanta este aceea ca (0, 4) este tocmai domeniul de stabilitate al partii liniare in raport cu

Cand partea liniara tinde sa prezinte o instabilitate aperiodica, iar ciclurile limita tind sa se produca cu amplitudinea minima .

Cand partea liniara manifesta un caracter oscilant neamortizat si in sistem , adica exista tendinta producerii unui fenomen de rezonanta asa cum se observa in fig. 2.13.

Fig. 2.13. (

Vom studia in continuare ce se intampla cu ciclurile limita daca

Avand in vedere ca y ia valori in intervalul:

(2.65)

se pot produce trei situatii dupa cum urmeaza:

a) (2.66)

In aceasta situatie rezulta:

sau (2.67)

Ca urmare , si

Mai exact se observa din (2.65) si (2.66) ca daca respectiv , atunci si astfel (fig. 2.14).

Fig.2.14 (a=2, w₀=2, r=-2)

b) (2.68)

In aceasta situatie poate lua atat valori pozitive cat si valori negative. Marimea de iesire y va oscila astfel in jurul nivelului r cu o valoare medie situata intre nivelul de 0 si nivelul r asa cum se observa din simulare (fig.2.15)

Fig. 2.15 (r=-0.5, a=2, w₀=2)

c)

conduce la :

(2.70)

Astfel ca si asa cum se obtine si prin simulare (fig. 2.16)

Fig.2.16. (r=2, a=2, w₀=2)