Spatii metrice

Spatii metrice

2.1. Definitie . Fieo multime nevida. Functia se numeste distanta sau metrica pe daca verifica proprietatiile:

1. , egalitatea avand loc daca si numai daca ;

2.

3.

Perechea , formata din multimea si distanta se numeste spatiu metric. Axioma 2 (axioma simetriei) arata simetria distantei intre punctele spatului , iar axioma 3 se mai numeste, pentru motive lesne de inteles, axioma triunghiului.

Daca , atunci aplicand axioma 3 obtinem

. (1)

Vom da cateva exemple de spatii metrice uzuale.

Exemplul 1. Multimea a numerelor reale devine spatiu metric daca definim distanta euclidiana (in mod natural) prin relatia

. (2)

Exemplul 2. Pe multimea a numerelor reale putem introduce urmatoarea distanta, notata cu ,

. (3)

Exemplul 3. Daca este un spatiu metric atunci aplicatiile urmatoare

si , (4)

sunt distante pe .

Indicatie. Oricare ar fi si atunci .

Intr-adevar, din , deducem

Cu ajutorul acestei inegalitati se arata usor ca verifica axioma triunghiului.

Exemplul 4. Orice multime inzestrata cu distanta poate fi organizata ca spatiu metric (!).

Exemplul 5. Spatiul euclidian real n-dimensional . In , spatiu numeric real cu dimensiuni, fie cu si , . Definim distanta

. (5)

Primele doua axiome din definitia distantei se verifica usor.

Pentru a verifica axioma triunghiului, vom folosi inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski[1]:

oricare ar fi .

Avem,

unde s-a notat cu si . Spatiul , astfel metrizat, se numeste spatiu euclidian real cu dimensiuni.

Exemplul 6. In acelasi spatiu numeric definim distantele:

si (6)

2.2. Definitie. Fie un spatiu metric. O submultime se numeste marginita, daca exista un element si astfel incat

. (7)

Alegerea elementului este oarecare. Intr-adevar fie , un element oarecare dar fixat, atunci

.

Numarul fiind pozitiv rezulta ca alegerea lui poate fi oarecare.

Fie un spatiu metric. O functie este marginita daca multimea imagine este multime marginita in spatiul metric ( adica este submultime a unei sfere din ).

In spatiul metric , multimile

si ,

definesc sfera deschisa respectiv, sfera inchisa cu centrul in de raza .

Exercitiu. Fie , inzestrat cu distanta euclidiana (vezi, exemplul 5) cat si cu distantele si definite in exemplul 6. Sa se reprezinte, pentru fiecare caz imparte, "sferele" cu centrul in origine de raza .

Siruri in spatii metrice.

2.3. Vom prezenta teora sirurilor pe spatiul metric abstract , apoi aplicam aceasta teorie la diferite spatii concrete. Evident, motivul prezentarii teoriei pe spatiul metric abstract este ca acelasi spatiu abstract poate avea mai multe concretizari, de exemplu, la spatiul , dar si la diferite spatii functionale, adica la multimi de functii de o anumita clasa.

Scrierea obisnuita a unui sir de puncte dintr-un spatiu metric ,

pune in evidenta o aplicatie a multimii numerelor naturale in multimea . Asadar, aplicatia , definita prin defineste sirul de puncte din spatiul metric si notam acest sir prin .

Observatie. Nu trebuie confundat un sir cu elementele din care este format sirul. Vom nota cu , multimea elementelor (termenilor) din care este format sirul . Evident, multimea poate fi finita sau infinita.

Fie , un sir si functia strict crescatoare atunci sirul , definit prin , unde , , se numeste subsir al sirului . Are loc incluziunea de multimi .

2.4. Definitie. Elementul se numeste limita sirului daca , cand si vom scrie sau .

Definitia poate fi reformulata astfel: sirul este convergent daca exista cu proprietatea ca pentru

a.i. .

Facem precizarea, daca mai este nevoie, ca limita unui sir convergent din spatiul metric este un element tot din . Limita unui sir este evident, punct aderent multimii elementelor sirului.

2.5. Teorema. Fie spatiu metric. Daca sirul este convergent atunci limita sa este unica.

Demonstratie. Presupunem ca exista si si . Fie oarecare, exista a.i. si . Atunci pentru si avem . Cum sunt fixati si oarecare, rezulta ca . Atunci, din axioma intai a distantei, avem .

2.6. Teorema. Fie un spatiu metric. Daca sirul este convergent catre punctul atunci orice subsir al sirului dat converge la .

Demonstratie. Fie , oarecare, dar fixat. Atunci exista a. i. putem scrie

2.7. Propozitie. Fie un spatiu metric. Daca sirul este convergent la , atunci numerele sunt marginite pentru orice element fixat .

Demonstratie.Sirul fiind convergent la atunci multimea este marginita de un numar . Asadar, putem scrie

2.8. Definitie. Sirul se numeste sir Cauchy (sau sir fundamental) daca verifica proprietatea

a.i. si oricare ar fi .

2.9. Teorema. Daca sirul este convergent catre punctul atunci el este un sir Cauchy (reciproca, in general nu este adevarata).

Demonstratie. Fie , a. i. , .

Din inegalitatea triunghiului, putem scrie

, si oricare ar fi ,

deci, sirul este Cauchy.

Nu orice sir Cauchy intr-un spatiu metric este convergent ( !).

De exemplu, fie spatiul metric , cu distanta definita prin , . Consideram sirul de numere rationale , cand . Deci, este un sir Cauchy de numere rationale, insa nu este convergent in deoarece .

Siruri de numere reale

2.10. Daca , atunci sirul este de numere reale. Un sir de numere reale poate fi definit prin termenul general (de exemplu, sirul ) sau cu ajutorul relatiilor de recurenta (lineare sau nelineare), ca in exemplele urmatoare:

(a). progresia aritmetica (un sir pentru care diferenta a oricaror doi termeni consecutivi este constanta):

, , (constanta), numita ratia progresiei aritmetice).

(b). progresia geometrica (un sir pentru care raportul oricaror doi termeni consecutivi este constant):

, , (constanta) numita ratia progresiei geometrice.

Sirul , este convergent daca exista astfel incat in orice vecinatate a punctului se afla toti termenii sirului incepand de la un anumit rang.

(i). Daca limita exista si este finita spunem ca sirul este convergent catre si scriem:

exista astfel incat exista a.i. , pentru orice .

(ii). Sirurile care nu au limita sau au limita se numesc divergente;

in cazul cand sirul scriem: exista a.i. , pentru orice si sunt vecinatatile punctului de la infinit.

in cazul cand sirul scriem, exista a.i. , pentru orice si sunt vecinatatile punctului de la minus infinit.

2.11. Propozitie. Daca sirul de numere este convergent si are limita atunci limita este unica.

Demonstratie. Vezi teorema 2.4.

2.12. Propozitie. Orice sir convergent de numere reale este marginit.

2.13. Criterii suficiente de convergenta (pentru siruri de numere reale):

(1). Fie un sir de numere reale si exista . Daca exista sirul si a.i. , pentru orice , atunci .

(2). Daca a.i. si , fixat, atunci .

(3). Orice sir monoton (crescator sau descrescator) si marginit este convergent.

(4). Lema lui Cesaró, (1859-1906). Orice sir de numere reale marginit contine un subsir convergent (altfel spus, orice sir de numere reale marginit are cel putin un punct limita).

Demonstratie. Vom admite ca sirul are un numar infinit de termeni distincti. Fie un astfel de sir si fie intervalul a.i. (este posibil deoarece sirul este marginit). Vom imparti intervalul in doua parti egale. Atunci cel putin una din aceste parti contine o infinitate de termeni ai sirului. Notam cu acea parte care contine o infinitate de termeni ai sirului . Repetand acelasi procedeu cu intervalul atunci obtinem intervalul care desigur, contine o infinitate de termeni ai sirului . Continuand procedeul, obtinem prin inductie sirul de intervale inchise descendente ,

a. i. fiecare interval contine o infinitate de termeni ai sirului. Atunci exista , cu , cu , etc. Asadar, am construit subsirul . Fie lungimea intervalului . Atunci lungimea intervalului este egala cu . Din lema lui Cantor rezulta ca exista si este unic . Deoarece , deducem ca .

2.14. Operatii cu siruri de numere reale

Daca sirurile de numere reale si sunt convergente. Atunci sirurile

si sunt convergente si avem

si .

Daca si (cand ), atunci si .

Daca , atunci si (cand ).

Daca si si , atunci sirul este convergent si avem

(cand ). Cazurile .

Daca , atunci (cand ).

2.15. Criteriul Cesaró-O.Stolz. Fie sirul , . Daca se verifica proprietatile

Sirul este monoton si nemarginit ( sau , cand ).

Exista (limita este finita sau infinita).

Atunci sirul este convergent si .

Demonstratie. Vom analiza cazul cand (cazul cand se obtine din cazul

anterior schimband sirul in ).

Presupunem ca limita este finita. Fie , oarecare, dar fixat. Potrivit ipotezei, exista numarul natural a.i. si , oricare ar fi . Atunci avem

, .

Scriind aceste inegalitati pentru si apoi adunam aceste relatii, avem:

__________ ______ ____ __________ ______ ____ _

.

Impartind relatia gasita cu , putem scrie

Prin trecere la limita in ultima relatie, gasim

(deoarece , cand , iar este fixat).

Asadar, pentru suficient de mare, putem scrie . Deci, exista a.i. . Aceste relatii arata ca sirul .

Cazul limitei infinite, . Atunci pentru orice , exista a.i. , . Asadar, avem ,. Procedand ca mai sus, gasim si atunci rezulta ca , ceea ce arata ca .

Reciproca, in general, nu este adevarata. De exemplu, sirul , desi este

convergent si are limita egala cu , nu verifica conditia a doua din criteriul Cesaró-O.Stolz.

Intr-adevar, avem

Daca alegem si atunci sirul este nemarginit si deci sirul verifica prima conditie. A doua conditie conduce la

care arata ca limita nu este unica ceea ce justifica faptul ca reciproca criteriului Cesaró-Stolz nu este in general adevarata.

2.16. Consecinta. Fie un sir de numere reale pozitive. Daca sirul este convergent si are limita egala cu (), , atunci:

(1). sirul mediilor aritmetice ;

(2). sirul mediilor geometrice ;

(3). sirul mediilor armonice , cand .

2.17. Consecinta. Fie un sir cu termeni strict pozitivi. Daca exista (finita sau infinita) limita atunci .

Reciproca, in general, nu este adevarata. De exemplu, fie , unde , si sirul . Atunci, exista , iar

nu exista .

Exercitiu. Sa se arate, folosind criteriul lui Cesaró-O.Stolz, ca

2.18. Propozitia. Orice sir Cauchy de numere reale este marginit .

Demonstratie. Alegem si fie , un sir Cauchy. Atunci exista a.i. si , deci .

Notam . Atunci , care arata ca sirul este marginit.

2.19. Propozitia. Fie un sir Cauchy de numere reale care poseda un subsir convergent . Atunci sirul este convergent si are aceeasi limita cu a subsirului .

Demonstratie. Fie si oarecare, dar fixat. Atunci exista a.i. si si exista a.i . Deci, putem scrie , de unde rezulta ca sirul este convergent si are limita egala cu .

2.20. Propozitia. Orice sir Cauchy de numere reale este convergent (spunem ca este spatiu metric complet).

Demonstratie. Fie un sir Cauchy de numere reale. Atunci, din propozitia 3 rezulta ca sirul este marginit si conform cu lema lui Cesaro contine un subsir convergent si din propozitia 4, rezulta ca sirul Cauchy este convergent.

2.21. Definitie. Deoarece multimea a numerelor reale este complet ordonata, au sens notiunile de margine inferioara si margine superioara a unei multimi din . Asadar, orice sir de numere reale are o limita inferioara si o limita superioara, desi nu orice sir de numere reale are o limita.

Fie sirul , (eventual ).

Numarul real , definit prin relatiile

si , (1)

se numeste limita inferioara a sirului in si vom scrie

. (2)

Numarul real , definit prin relatiile

si , (3)

se numeste limita superioara a sirului in si vom scrie

. (4)

Se verifica inegalitatile a.i. si .

In mod evident, segmentele sunt in relatia de incluziune si, conform cu Axioma lui Cantor, avem si

. (5)

Din (5), deducem ca pentru orice , exista a.i.

(6)

Numarul se numeste punct limita al sirului , , daca exista un subsir al sirului a.i. . Vom nota cu multimea tuturor punctelor limita ale sirului . Atunci avem

De exemplu, sirul nu are limita, insa subsirurile si sunt convergente si au respectiv limitele: si . Deci si sunt puncte limita ale sirului dat. Avem si si atunci putem scrie si .

Fie si siruri in . Atunci au loc afirmatiile:

(a).. (7)

(b). daca sirul este convergent (exista in ) atunci

. (8)

(c). , (9)

evident, daca nici una dintre aceste sume nu este de forma .

(d). daca , atunci

. (10)

Exercitii

Aratati ca sirul cu termenul general , are doua puncte limita.

Raspuns. Punctele limita sunt elementele multimii .

Aratati ca sirul cu termenul general are punctele limita .

Punctele limita ale sirului cu termenul general apartin multimii

Determinati termenul general al sirului care verifica relatia de recurenta:

, unde .

Raspuns. Relatia data se poate scrie sub forma echivalenta Scriind relatiile pentru si adunand egalitatile parte de parte gasim . Daca se tine seama de valorile cunoscute ale primilor doi termeni ai sirului obtinem .

2.22. Lema. Fie un spatiu metric, si . Proprietatile urmatoare sunt echivalente:

i). (s-a notat cu multimea punctelor aderente multimii ).

ii). Exista un sir astfel incat .

Demonstratie. Aratam implicatia . Fie . Cum rezulta ca punctul este punct aderent multimii si deci orice vecinatate a lui contine un punct din . Asadar, , . Daca punem atunci avem .

Implicatia este evidenta.

2.23. Definitie. Fie un spatiu metric, . Daca se spune ca elementul este aproximabil prin elemente din . In cazul cand inzestrat cu metrica lui Cebasev si atunci elementul se numeste uniform aproximabil prin elemente din (vezi § 4).

2.24. Spatiul functiilor continue cu metrica lui Cebasev

Fie multimea

functie continua }. (1)

Pe aceasta multime consideram operatiile obisnuite de adunare si inmultire a functiilor (), cat si inmultirea functiilor cu scalari (). Definim distanta (aratati ca este o metrica pe )

Spatiul metric se numeste spatiul functiilor continue cu metrica Cebasev (in acest spatiu distanta dintre functii este data cu abaterea lui Cebasev).

In continuare, analizam convergenta in spatiul functiilor

Fie sirul de functii care converge la functia , , adica,

,

echivalenta cu

, a.i. .

Aceasta relatie arata ca sirul de functii continue converge uniform la functia continua , (fig. 1). Reciproc, daca sirul converge uniform la functia continua atunci . Asadar, in spatiul convergenta este cea uniforma. Mai mult, orice functie continua poate fi uniform aproximata printr-un sir de functii continue.

Spatiul este un spatiu metric complet (!).

2.25. Observatie. Fie . Aplicatia , definita prin relatia

.

este bijectiva si continua si functia inversa este continua.

Fie . Daca punem este functia inversa a lui si spunem ca multimile si sunt omeomorfe (sau echivalente) si spunem ca functia realizeaza un omeomorfism.

Prin urmare, functia compusa este continua si atunci . Deci, putem extinde consideratiile de mai inainte la orice interval inchis obtinand spatiul functiilor continue cu convergenta uniforma.

Figura 1. Sirul de functii converge uniform pe catre functia .

2.26. Observatie Pe spatiul functiilor continue se pot defini si alte distante fata de care acest spatiu nu este complet. De exemplu, metrica , definita prin

.

Fie un sir Cauchy in medie, altfel spus

, cand .

Acest sir are limita in sensul metricii (5) insa functia limita poate fi orice functie din clasa functiilor reale de patrat integrabile pe intervalul , notata cu , deoarece spatiul functiilor continue este peste tot dens in . Daca functia limita nu este echivalenta cu o functie continua, un astfel de sir fundamental in nu are limita in . Asadar, spatiul functiilor continue nu este complet si completarea lui conduce la spatiul . De exemplu, sirul , definit prin este sir Cauchy fata de metrica (5), dar nu converge in aceasta metrica la o functie continua (vezi seminarul).

Spatii metrice complete

2.27. Definitie. Spatiul metric se numeste complet daca orice sir Cauchy din este convergent (evident la o limita din ).

2.28. Observatie Intr-un spatiu metric nu orice sir Cauchy este convergent la o limita apartinand acelui spatiu (vezi exemplele 1 si 2).

Exemplul . Fie , unde este distanta naturala pe . Consideram subspatiul , care fata de distanta devine spatiu metric si sirul Cauchy, definit prin termenul general, . Evident, acest sir este convergent catre limita .

Exemplul . Se stie ca sirul de numere rationale este convergent si are limita . Deci, este sir Cauchy de numere rationale. Asadar, spatiul metric , cu distanta definita prin , , nu este spatiu metric complet deoarece .

2.29. Definitie. Fie spatiile metrice si . Aplicatia bijectiva este o izometrie daca verifica proprietatea

. (1)

Exemplul . Fie functia definita prin unde este reprezentat prin vectorul coloana si este o matrtice ortogonala cu elemente reale , iar este un vector coloana fixat.

Atunci este o izometrie pe spatiul cu valori in el insusi.

Intr-adevar, fie si si distanta euclidiana pe , definita prin

unde si . Avem

2.30. Observatie. Matricea fiind ortogonala atunci au loc relatiile:

.

Functiile definite ca in exemplul 3 sunt functii lineare. Aceste functii transforma punctual spatiul euclidian in el insusi si sunt singurele transformari care lasa invarianta distanta intre puncte. Aceste transformari sunt importante deoarece cu ajutorul lor se poate da sens caracterului obiectiv al diferitelor marimi fizice. Din modul cum au fost definite transformarile liniare,

, ,

observam ca matricea ortogonala Q are componentele adimensionale.

2.31. Definitie. Fie si doua spatii metrice. O functie se numeste contractie daca exista astfel inca

. (2)

2.32. Observatie. Aplicatia se numeste contractie pe spatiul metric daca exista astfel inca

. (2')

Fie o multime din (). Atunci functia este contractie pe daca verifica conditiile:

(i). ;

(ii). exista astfel incat .

2.33.Observatie. Se constata cu usurinta ca orice contractie pe spatiul metric este functie continua si chiar functie uniform continua in spatiul .

2.34. Definitie. Fie sidoua spatii metrice. Functia se numeste contractiva daca

. (3)

2.35. Definitie.Fie sidoua spatii metrice. Functia se numeste neexpansiva daca

. (4)

2.36. Teorema (Picard- Banach)[4]. Fie un spatiu metric complet si o contractie pe . Atunci exista si este unic un element astfel incat . Mai mult, elementul poate fi obtinut ca limita sirului recurent

si oarecare, dar fixat.

Observatie. Elementul pentru care se numeste punct fix al aplicatiei .

Mai mult, valoarea absoluta a erorii, cu care un termen al sirului recurent aproximeaza punctul fix , admite majorarea :

.

Demonstratie Vom arata ca sirul din , definit recurent prin relatia si , este sir Cauchy si limita sa nu depinde de alegerea lui si reprezinta unicul element din cu proprietatea ca .

Fie astfel incat . Pentru orice avem

De aici deducem ca pentru orice si avem

Deci,

, oricare ar fi si . (5)

Fie oarecare. Atunci, exista numarul a.i. si deci obtinem pentru orice si , ceea ce demonstreaza ca sirul este un sir Cauchy. Deoarece spatiul metric a fost presupus complet, atunci sirul este convergent in si fie . Intrucat , exista a.i. , deducem ca pentru avem

Cum , obtinem ca

Pentru a arata unicitatea punctului cu aceasta proprietate, fie un alt punct fix astfel incat , atunci , sau echivalent, si cum trebuie sa avem

2.37. Observatie Constructia sirului aproximatiilor succesive care converge la punctul fix , porneste de la un element oarecare al spatiului metric complet , care se poate alege astfel incat acest sir sa convearga cat mai repede la limita .

Exercitiu. Daca este un spatiu metric complet, atunci orice submultime inchisa, este tot un spatiu metric complet.

2.38. Observatie Exista si alte teoreme de punct fix, de exemplu, teorema lui Brouwer: Orice functie continua , are cel putin un punct fix. (pentru demonstratie vom considera functia , . Atunci este continua si avem  ; , deci exista a.i. .

In multe situatii este suficient sa consideram functiaastfel incat inegalitatea (2) sa nu fie verificata pe tot spatiul ci numai pe sfera inchisa oarecare

Atunci principiul contractiei trebuie aplicat punand conditia suplimentara ca functia (contractia) sa transforme sfera inchisa in ea insasi () si de aceea sirul aproximatiilor succesive nu iese din aceasta sfera.

Aceasta conditie poate fi indeplinita, de exemplu, daca cerem ca functia sa verifice pe langa conditia (2) si urmatoarea inegalitate

,. (7)

Atunci, daca .

In adevar,

.

Astfel contractia este privita ca o functie care actioneaza in tot spatiul metric si verifica conditia (2).

2.39. Observatie Orice termen al sirului aproximeaza punctul fix cu o anumita eroare. Intr-adevar, daca este contractie pe spatiul metric complet si este punctul fix, atunci si sirul aproximatiilor succesive , cu , converge catre . Termenul aproximeaza punctul fix cu o eroare rezultata din evaluarea (5):

, oricare ar fi si .

Trecand la limita cand , obtinem

. (8)

Avem

De unde obtinem

sau

In cazul cand este contractie pe spatiul metric complet si este punctul fix, atunci si sirul aproximatiilor succesive , cu , converge catre .

Termenul aproximeaza punctul fix cu o eroare rezultata din urmatoarea evaluare :

oricare ar fi si orice numar natural . Asadar,

(8')

2.40. Observatie. Conditia , care apare in definitia contractiei, este esentiala pentru existenta punctului fix. Intr-adevar, fie spatiul metric al numerelor reale cu distanta naturala, (se stie ca este spatiu metric complet) si aplicatia , definita prin

.

Atunci, aplicatia verifica conditia , conditie care nu este suficienta pentru existenta punctului fix.

Intr-adevar, pentru orice , avem si atunci

, oricare ar fi .

Deci functia nu admite un punct fix desi, avem :

si .

Aplicand teorema lui Lagrange pe intervalul rezulta ca exista a.i.

,

de unde deducem ca .

2.41. Observatie. Fie un interval inchis al axei reale si o functie continua si derivabila pe Daca exista a.i. , atunci ecuatia are o solutie unica pe , notata cu . Aceasta solutie se obtine cu sirul aproximatiilor succesive , cu , ales arbitrar. (avem ).

Mai mult, valoarea absoluta a erorii cu care un termen oarecare al sirului aproximeaza solutia exacta admite majorarea:

, unde este lungimea intervalului .

Intr-adevar, functia verifica conditiile teoremei lui Lagrange pe orice interval si atunci putem scrie

unde . Asadar, este contractie pe (care este spatiu metric complet (!)) si atunci putem aplica principiul contractiei.

Vom nota cu , valoarea absoluta a erorii care se comite atunci cand dorim sa inlocuim punctul fix cu termenul de rang din sirul aproximatiilor succesive. Atunci, o majorare a valorii absolute a erorii se obtine din succesiunea de evaluari:

In multe situatii este posibil ca functia , un interval inchis care contine o solutie a ecuatiei , sa nu fie contractie pe si atunci se impune alegerea unei functii construita de exemplu, cu urmatoarea

2.42. Propozitie. (Metoda lui Newton). Fie si este o functie care verifica conditiile:

(i). si oricare ar fi ;

(ii). exista si este marginita pe ;

(iii). ;

Atunci functia (sugerata de metoda tangentei, vezi seminarul)

, (9)

este contractie pe si mai mult, sirul aproximatilor succesive , cu oarecare, dar fixat, converge catre solutia exacta a ecuatiei .

Mai mult, valoarea absoluta a erorii cu care un termen oarecare al sirului aproximeaza solutia exacta , admite majorarea:

, (10)

unde este lungimea intervalului .

Demonstratie. Natural, ecuatia are solutie in intervalul . Cum este nenula pe , rezulta ca derivata pastreaza semn constant pe si in consecinta, ecuatia are o unica solutie pe .

Deoarece este continua pe si derivata nu se anuleaza pe , atunci este marginita inferior pe . Fie si . Functia , definita de formula (9) este derivabila si avem

si . (11

Deci este suficient sa cerem ca pentru orice (functia este continua pe ) sa avem

, (12)

pentru ca metoda aproximatiilor succesive sa poata fi aplicata desigur, pentru alegerea lui oarecare.

Exercitiul 1. Folosind principiul contractiei sa se determine o solutie aproximativa a ecuatiei

Solutie. Observam ca ecuatia are doua solutii exacte, notate cu . Ecuatia este echivalenta cu ecuatia . Fie , atunci ecuatia se scrie sub forma .

Ecuatia data are o solutie negativa in intervalul . O conditie suficienta ca sa fie contractie este ca .

Observam ca are loc incluziunea si pentru orice , avem . Asadar, este contractie pe intervalul compact , care fata de metrica indusa este spatiu complet. Alegem si construim sirul aproximatiilor succesive . Avem

.

Atunci

,

unde , reprezinta lungimea intervalului .

Analog se aproximeaza solutia pozitiva care se afla in intervalul .

Exercitiul 2. Folosind principiul contractiei sa se determine o solutie aproximativa a ecuatiei .

Solutie. Fie . Atunci si conduce la punctele critice (maxim local) si (minim local). Folosind sirul lui Rolle deducem ca exista o singura radacina reala, , a ecuatiei .

Daca alegem atunci ecuatia data este echivalenta cu . Deoarece atunci nu este contractie pe si in consecinta, ecuatia nu poate fi rezolvata cu teorema de punct fix pentru functia .

Daca alegem functia

, ,

sugerata de sirul aproximatilor succesive din metoda lui Newton (metoda tangentei) atunci avem:

pe si pe , deci nu este contractie pe .

Vom observa ca ecuatia poate fi scrisa sub forma echivalenta .

Alegem functia si deoarece ,

atunci conditia suficienta ca sa fie contractie pe este verificata si desigur, avem . Luand si obtinem .

Eroarea comisa admite majorarea (vezi formula (8))

.

Exercitiul 3.

(a)      Ecuatia are doua solutii situate respectiv in intervalele si

(vezi, Fig. 1). Scriind ecuatia sub forma echivalenta

atunci functia este contractie pe , respectiv pe . Determinati solutiile aproximative cu o eroare mai mica decat .

Figura 1. Graficul functiei .

(b) Ecuatia admite o solutie situata in intervalul .

Aratati ca functia este contractie pe . Aplicand principiul contractiei sa se determine eroarea cu care termenul , al sirul , aproximeaza solutia ecuatiei