Sunt unele probleme de aritmetica in care se cere sa se afle doua marimi legate prin relatii care in
algebra dau un sistem de doua ecuatii liniare cu doua necunoscute. Procedeul aritmetic se aseamana cu procedeul algebric de rezolvare a unui asemenea sistem: eliminarea uneia dintre necunoscute.
In algebra un asemenea sistem se rezolva prin scadere sau adunare, dupa egalarea prealabila a coeficientilor, sau prin eliminarea unei necunoscute prin substitutie. In acelasi mod se rezolva si in aritmetica, eliminand una din marimile necunoscute prin scadere, dupa egalarea datelor.
Probleme de egalare a datelor
Probleme care se rezolva prin eliminarea uneia din necunoscute cu ajutorul scaderii
De la o cofetarie un elev a cumparat 4 prajituri si 6 sucuri platind 28 de lei. Altadata, la aceleasi
preturi, a cumparat 4 prajituri si 8 sucuri platind 32 de lei. Cati lei costa o prajitura si cati lei costa un suc ?
4 prajituri....6 sucuri....28 lei
4 prajituri....8 sucuri....32 lei
A doua oara a cumparat mai mult, motiv pentru care a si platit mai mult.
a. Cu cate sticle cu suc a cumparat mai mult a doua oara
8 sticle - 6 sticle = 2 sticle
b. Cat costa doua sticle cu suc (cu cat a platit mai mult a doua oara) ?
32 lei - 28 lei = 4 lei
c. Cat costa o sticla cu suc ?
4 lei : = 2 lei
d. Cat costa 6 sucuri ?
2 lei x 6 = 12 lei
e. Cat costa 4 prajituri ?
28 lei - 12 lei = 16 lei
f. Cat costa o prajitura ?
16 lei : 4 = 4 lei
R: O prajitura costa 4 lei si un suc costa 2 lei
Un elev cumpara 7 pixuri si 3 stilouri cu 141 lei. Alta data, cu aceleasi preturi, pe 2 pixuri si 6
stilouri da 246 lei. Cati lei costa un pix si cati lei costa un stilou
Rezolvare
7 pixuri....3 stilouri....141 lei
2 pixuri....6 stilouri....246 lei
Observam ca cel mai usor este sa egalam datele in privinta stilourilor. Pentru aceasta inmultim datele de pe primul sir cu 2.
14 pixuri.....6 stilouri.....282 lei
2 pixuri....6 stilouri.....246 lei
a. Cu cate pixuri a cumparat mai mult prima oara
14 pixuri - 2 pixuri = 12 pixuri
b. Cat costa 12 pixuri (cu cit a platit mai mult prima oara) ?
282 lei - 246 lei = 36 lei
c. Cat costa un pix
36 lei : 12 = 3 lei
d. Cat costa 7 pixuri ?
3 lei x 7 = 21 lei
e. Cat costa 3 stilouri ?
141 lei - 21 lei = 120 lei
f. Cat costa un stilou ?
120 lei : = 60 lei
R: Un pix costa 3 lei iar un stilou 40 de lei.
12 pahare si 10 farfurii au costat 106 lei. 15 pahare si 25 farfurii au costat 220 de lei. Cat costa un
pahar si cat costa o farfurie ?
Rezolvare
12 pahare....10 farfurii....106 lei
15 pahare....25 farfurii....220 lei
Egalam, de exemplu, numarul de farfurii. Observam ca acest lucru se poate face impartind datele de pe primul sir la 2, iar cele de pe al doilea sir la 5.
6 pahare....5 farfurii....53 lei
3 pahare....5 farfurii....44 lei
In continuare, rationamentul adoptat este ca si la a doua problema.
S-au cumparat odata 2 kilograme de bomboane si 3 kilograme de turta dulce cu 118 lei. Alta data
s-au cumparat la acelasi pret 5 kilograme de bomboane si 2 kilograme de turta dulce, platindu-se 174 lei. Cat a costat 1 kg de bomboane si cat a costat 1 kilogram de turta dulce
Rezolvare
2 kg bomboane....3 kg turta dulce....118 lei
5 kg bomboane....2 kg turta dulce....174 lei
Observam ca cel mai usor este sa egalam datele in privinta turtei dulci. Pentru aceasta inmultim datele de pe primul sir cu 2, iar cele de pe al doilea sir cu 3.
4 kg bomboane....6 kg turta dulce....236 lei
15 kg bomboane....6 kg turta dulce....522 lei
In continuare, rationamentul este cunoscut.
Pentru 4 duzini de linguri si 3 duzini de lingurite s-au platit 924 lei. Alta data, cu acelasi pret la bucata, pentru 4 duzini de linguri si 5 duzini de lingurite s-au platit 1.092 lei. Cat a costat o lingura si cat a costat o lingurita ? o duzina are 12 bucati de linguri sau 12 lingurite
Rezolvare
4 duzini linguri....2 duzini lingurite...924 lei
4 duzini linguri....5 duzini lingurite...1.092 lei
a. Cu cate duzini de lingurite a cumparat mai mult a doua oara ?
5 duzini - 3 duzini = 2 duzini
b. Cat costa 2 duzini de lingurite
1.092 lei - 924 lei = 168 lei
c. Cat costa o duzina de lingurite ?
168 lei : = 84 lei
d. Cat costa 3 duzini de lingurite ?
84 lei x 3 = 252 lei
e. Cat costa 4 duzini de lingurite ?
924 lei - 252 lei = 672 lei
f. Cat costa o duzina de lingurite ?
672 lei : 4 = 168 lei
g. Cat a costat o lingura ?
168 lei : 12 = 14 lei
h. Cat a costat o lingurita ?
84 lei : = 7 lei
R: O lingura a costat 14 lei, iar o lingurita 7 lei.
Prima oara s-au cumparat penare a cate 33 de lei bucata si pixuri a cate 9 lei bucata, platindu-se in
total 438 de lei. A doua oara s-au cumparat tot atatea penare si pixuri ca si prima data, dar fiecare penar a costat 27 de lei, iar pixul 18 lei si pentru intreaga cumparatura s-au platit 486 de lei. Cite penare si cate pixuri s-au cumparat de fiecare data ?
Rezolvare
33 lei (1 penar)....9 lei (I pix) ...438 lei
27 lei (1 penar)...18 lei (I pix) ..486 lei
Presupunem ca prima data s-au cumparat penare si pixuri de doua ori mai scumpe decat in realitate.
66 lei (1 penar)....18 lei (I pix) ...876 lei
27 lei (1 penar)....18 lei (I pix) ...486 lei
a. Care este diferenta de pret la un penar
66 lei - 27 lei = 39 lei
b. Care este diferenta totala ?
876 lei - 486 lei = 390 lei
c. Cate penare s-au cumparat
390 lei : 39 lei (penare)
d. Cat costa 10 penare ?
33 lei x 10 = 330 lei
e. Cat s-a platit pentru pixuri
438 lei - 330 lei = 108 lei
f. Cate pixuri s-au cumparat
108 lei 9 lei (pixuri)
R: S-au cumparat 10 penare si 12 pixuri
O statie de benzina are in depozit 15 bazine pline cu benzina si primeste zilnic o cisterna
cu benzina. Vinde zilnic 36 hl si dupa 375 de zile depozitul ei va fi gol. O alta statie are in depozit 20 de bazine pline, primeste zilnic o cisterna, vinde zilnic 84 hl si dupa 100 de zile depozitul ei va fi gol. Sa se afle capacitatea unui bazin si capacitatea unei cisterne.
Rezolvare
15 B....1 C/zi....36 hl/zi....375 zile
20 B....1 C/zi....84 hl/zi....100 zile
a. Cate cisterne primeste primul depozit in 375 de zile
1 cisterna x 375 = 375 cisterne
b. Dar al doilea depozit in 100 de zile
1 cisterna x 100 = 100 cisterne
c. Cata benzina vinde primul depozit in 375 de zile ?
36 hl x 375 = 13.500 hl
d. Dar al doilea in 100 de zile ?
84 hl x 100 = 8.400 hl
Deoarece dupa 375 de zile depozitul primei statii va fi gol, iar dupa 100 de zile depozitul celei de a doua statii se va goli (s-a vandut benzina din bazine si cisterne), inseamna ca putem scrie:
15 B....375 C....13.500 hl
20 B....100 C....8.400 hl
In acest moment am intrat pe un fagas cunoscut.
Probleme de eliminare a unei necunoscute prin inlocuirea ei (pe baza relatiilor din problema) in functie de cealalta marime necunoscuta
Un kilogram de ceai si 16 pachete de biscuiti costa 360 de lei. Un kilogram de ceai este de
14 ori mai scump decat un pachet de biscuiti. Cat costa 1 kilogram de ceai si cat costa un pachet de biscuiti
Rezolvare
1 kg ceai
360 lei
16 pachete de biscuiti
1 kg de ceai costa de 14 ori mai mult decat 1 pachet de biscuiti.
a. Cate pachete de biscuiti s-ar putea cumpara de 360 lei ?
14 pachete + 16 pachete = 30 pachete
b. Cat costa un pachet de biscuiti
360 lei : = 12 lei
c. Cat costa un kg de ceai
12 lei x 14 = 168 lei
R Un kilogram de ceai costa 168 de lei si un pachet de biscuiti costa 12 lei.
S-au cumparat 3 pixuri si 7 creioane cu 23 de lei. Pentru 3 pixuri s-a platit cu 1 leu mai mult
decat pentru 4 creioane. Sa se afle pretul unui pix si al unui creion.
Rezolvare
3 pixuri....4 creioane si inca 1 leu
23 lei =
7 creioane
Din enuntul problemei se vede ca in loc de 3 pixuri se pot cumpara 4 creioane si ramane 1 leu.
a. Cate creioane s-ar putea cumpara ?
4 creioane + 7 creioane = 11 creioane
b. Cat ar costa 11 creioane ?
23 lei - 1 leu = 22 lei
c. Cat costa 1 creion ?
22 lei : 11 = 2 lei
d. Cat costa 7 creioane ?
2 lei x 7 = 14 lei
e. Cat costa 3 pixuri ?
23 lei - 14 lei = 9 lei
f. Cat costa 1 pix ?
9 lei : 3 = 3 lei
R: Un pix costa 3 lei, iar un creion costa 2 lei.
Un ogar urmareste o vulpe care are 12 sarituri inaintea lui. Cate sarituri va face ogarul pana ce va
ajunge vulpea daca el face 7 sarituri in timp ce vulpea face 8, si ca in 5 sarituri ogarul parcurge aceeasi distanta pe care o parcurge vulpea in 6 sarituri ?
Rezolvare
Ogarul Vulpea
7 sarituri in timpul a 8 sarituri
5 sarituri fac cat 6 sarituri
Aducem in acelasi termen de comparatie
Ogarul Vulpea
35 sarituri in timpul a 40 sarituri
35 sarituri fac cat 42 sarituri
Deci, la fiecare 35 de sarituri ale ogarului, el face in plus o distanta egala cu distanta parcursa de
vulpe in doua sarituri.
a. De cate ori trebuie sa faca ogarul cate 35 de sarituri pentru a recupera cele 12 sarituri pe
care le are vulpea in plus
12 sarituri 2 sarituri 6 ori
b. Cate sarituri va face ogarul pana sa ajunga vulpea ?
35 sarituri x 6 sarituri
R Dupa 210 sarituri ale ogarului acesta va ajunge vulpea.
Intr-un pachet sunt bomboane. Daca se impart copiilor cate 5 bomboane de fiecare, atunci 2
raman fara bomboane; daca se impart cate 4 bomboane fiecaruia, atunci in pachet raman 17 bomboane. Cate bomboane sunt in pachet ?
Rezolvare
5 bomboane.... 2 copii fara bomboane
4 bomboane.... raman 17 bomboane
Se stabileste in prealabil ca daca dam cate 5 bomboane la fiecare copil, ar mai trebui 10 bomboane (2
copii raman fara bomboane), asadar:
5 bomboane....lipsesc 10 bomboane
4 bomboane....raman 17 bomboane
Rezulta ca daca s-ar da cate 5 bomboane fiecarui copil, e nevoie de 27 de bomboane in plus decat daca s-ar fi dat cate 4 bomboane
a. Cati copii au fost ?
10 copii + 17 copii = 27 copii
b. Cati copii au primit cate 5 bomboane
27 copii - 2 copii = 25 copii
c. Cate bomboane sunt in pachet ?
5 bomboane x 25 = 125 bomboane
R Au fost 125 de bomboane.
5. De pe un teren s-a obtinut o cantitate oarecare de pepeni. Cand s-a incercat sa se introduca cate 35 de pepeni intr-o lada, un numar de 105 de pepeni nu au mai incaput in lazi. Daca in fiecare lada ar fi incaput 70 de pepeni, atunci ar fi ramas goale 40 de lazi. Cati pepeni s-au obtinut de pe acest teren si cate lazi au fost necesare pentru impachetarea lor
Rezolvare
35 pepeni....erau in plus 105 pepeni
70 pepeni....erau in plus 40 lazi lipseau 2.800 pepeni
La o diferenta de 35 de pepeni intr-o lada (70-35) avem o diferenta de 2.905 pepeni (105 + 2.800)
a. Cate lazi au fost ?
2.905 pepeni 35 pepeni lazi
b. Cate lazi erau necesare daca se puneau cate 70 de pepeni ?
83 lazi - 40 lazi = 43 lazi
c. Cati pepeni s-au obtinut de pe acest teren
70 pepeni x 4 = 3.010 pepeni
R: Au fost 3.010 pepeni si 83 de lazi.
Pentru sadirea unor tufisuri au fost alese cateva razoare. Gradinarul a facut socoteala ca daca
in fiecare razor va sadi cate 3 tufisuri, atunci pentru a sadi toate tufisurile nu ii vor ajunge 3 razoare, iar daca va sadi cate 5 tufisuri pe un razor, vor ramane 4 razoare libere. Cate tufisuri a vrut sa sadeasca gradinarul si pe cate razoare ?
Rezolvare
3 tufisuri.nu ajung 6 razoare.ramin 18 tufisuri
5 tufisuri.raman 4 razoare.lipsesc20 tufisuri
Daca se pun cate 2 tufisuri (5-3) in plus pe fiecare razor, atunci pentru a planta toate razoarele ne
trebuie in plus 38 de tufisuri (18+20)
a. Cate razoare a vrut sa foloseasca gradinarul ?
38 tufisuri : 2 tufisuri = 19 (razoare)
b. Cate razoare a plantat punind cate 5 tufisuri pe razor ?
19 razoare - 4 razoare = 15 razoare
c. Cate tufisuri a vrut sa sadeasca gradinarul ?
5 tufisuri x 15 = 75 tufisuri
R: Gradinarul a vrut sa sadeasca 75 de tufisuri pe 19 razoare.
O femeie vrea sa cumpere niste stamba. A gasit stamba mai scumpa si stamba mai ieftina. Daca
femeia si-ar cumpara stamba la pretul de 31 de lei metrul, atunci nu i-ar ajunge banii pentru 2 metri de stamba, iar daca si-ar cumpara stamba la pretul de 27 de lei metrul i-ar mai ramane bani pentru inca 2 metri. Sa se afle cati bani avea femeia cu sine, cati metri si cu ce pret presupunea ca va cumpara stamba stiind ca, dupa ce ar fi facut cumparaturi la pretul presupus, i-ar mai fi ramas inca 25 de lei.
Rezolvare
31 lei.n-ar ajunge pentru 2 metri
27 lei.cumpara inca 2 metri
31 lei.i-ar lipsi 62 lei
27 lei.i-ar ramane 54 lei
Daca pentru 1 metru ar fi platit cu 4 lei mai putin (31-27) pentru toti metri ar fi fost o diferenta de 116
lei (62+54)
a. Cati metri a vrut sa cumpere ?
116 lei : 4 lei = 29 metri
b. Cati metri putea sa cumpere daca platea 31 de lei pe metru ?
29 m - 2 m = 27 m
c. Cati lei a avut ?
31 lei x 27 = 837 lei
d. Cati lei a vrut sa dea pe 29 metri de stamba ?
837 lei - 25 lei = 812 lei
e. Cat socotea ca va costa 1 metru de stamba ?
812 lei : = 28 lei
R: A vrut sa cumpere 29 de metri cu 28 de lei metrul.
O gospodina a cumparat 6 kilograme de carne, 40 de oua si 3 borcane de smantana, platind pentru
intreaga cumparatura 371 lei. O alta gospodina a cumparat cu acelasi pret 3 kilograme de carne, 20 de oua si 3 borcane smantana, platind 202 lei. Cat costa 1 kilogram de carne, 10 oua si un borcan de smantana, daca 1 kilogram de carne este mai scump decat 10 oua cu 23 de lei ?
Rezolvare
6 kg.40 oua.3 borcane.371 lei
3 kg.20 oua.3 borcane.202 lei
Presupunem ca a doua gospodina a cumparat de doua ori mai mult:
6 kg.40 oua.3 borcane.371 lei
6 kg.40 oua.6 borcane.404 lei
Se observa ca 3 borcane de smantana (6-3) costa 33 de lei (404-371)
a. Cat costa un borcan de smantana ?
33 lei : = 11 lei
Scadem costul smantanii din costul total si obtinem:
6 kg.40 oua.338 lei
3 kg.20 oua.169 lei
b. Cati lei mai trebuie sa puna a doua gospodina ca in loc de 20 de oua sa primeasca 2 kilograme de carne ?
23 lei x 2 = 24 lei
c. Cat costa 5 kilograme de carne ?
169 lei + 46 lei = 215 lei
d. Cat costa 1 kilogram de carne ?
215 lei : 5 = 43 lei
e. Cat costa 10 oua ?
43 lei - 23 lei = 20 lei
R: 1 kg de carne costa 43 de lei, 10 oua costa 20 de lei, 1 borcan de smantana costa 11 lei.
Doi pietoni au mers pe acelasi drum in aceeasi directie. Ei au plecat in acelasi timp din doua
puncte care se gaseau la o distanta de 160 de metri si au ajuns in acelasi timp la locul de destinatie. Sa se determine lungimea drumului strabatut de fiecare dintre pietoni stiind ca primul pieton face 39 de pasi, in timp ce cel de al doilea face 30 de pasi si ca pe distanta de 40 de metri primul pieton face 60 de pasi, iar cel de al doilea 50.
Rezolvare
160 metri.39 de pasi (I)....30 de pasi (II)....in timp
60 de pasi (I).....50 de pasi (II)....parcurg 40 de metri
Aducem la acelasi termen de comparatie
C.m.m.m.c. (39, 60) =
780 pasi (I)....600 pasi (II)....in timp
780 pasi (I)....650 pasi (II)....parcurgand 520 de metri
Rezulta ca pentru a parcurge 520 de metri, primul pieton trebuie sa faca 780 de pasi si cel de al doilea
face 650 de pasi, dar in timp ce primul face 780 de pasi, cel de-al doilea face doar 600 in loc de 650 de pasi, deci 650-600 50 pasi (II), mai putin, adica cu 40 de metri.
a. Cand il va ajunge primul pieton pe cel de al doilea (cand va recupera distanta de 160 metri)?
780 pasi x 4
Dar 780 pasi (I) = 520 metri
b. Ce distanta a parcurs primul pieton
520 m x 4 2.080 metri
c. Ce distanta a parcurs al doilea pieton
2.080 m - 160 m 1.920 m
R Primul pieton a parcurs 2.080 metri, iar al doilea 1.920.
d. Cati metri are pasul fiecaruia
e. Ce distanta parcurge fiecare in acelasi timp ?
2 4
I
= m x 39 = 26 m; II
= m x 30 =
3 5
Observam ca la fiecare 26 de metri pe care-i face primul pieton, el recupereaza cate 2 metri (26-24) din distanta de 160 de metri care il desparte initial de al doilea.
f. De cate ori trebuie sa recupereze primul pieton cate 2 metri ?
160 m : 2m = 80 (ori)
g. Ce distanta a parcurs primul pieton pana la intalnirea cu cel de al doilea ?
26 m x 80 = 2.080 m
h. Ce distanta a parcurs al doilea pieton ?
2.080 m - 160 m = 1.920 m
R: Primul pieton a parcurs 2.080 metri, iar al doilea 1.920 metri.
PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE
Pentru 4 metri de panza si 15 metri de stamba s-au platit 530 de lei, iar pentru 3 metri de panza
si 10 metri de stamba s-au platit 360 de lei. Cat costa un metru de panza si cat costa un metru de stamba ?
La un magazin s-au vandut 320 de kilograme de mere si 160 de kilograme de pere, incasandu-se
3.520 lei. Daca 350 kilograme de mere si 180 kilograme de pere costa 3.880 de lei, sa se afle pretul unui kilogram de mere si pretul unuia de pere.
Pentru golirea unui bazin plin cu apa se pot utiliza 3 robinete. Daca primul robinet este deschis 2
ore, al doilea 3 ore si al treilea 6 ore se evacueaza 210 hl, iar daca primul si al doilea sunt deschise cate doua ore si al treilea 3 ore, se scurg 145 hl de apa. Sa se afle debitul in hl/ora al fiecarui robinet.
La un bazin duc trei tevi. Daca se deschide prima pentru 6 ore, a doua pentru 4 ore si a treia
pentru 3 ore, atunci toate tevile vor varsa in bazin 390 dal de apa; daca deschidem insa prima teava pentru 5 ore, a doua pentru 3 ore iar a treia pentru 3 ore, in bazin se vor varsa 305 dal de apa; daca in sfarsit deschidem prima teava pentru 3 ore, a doua pentru 2 ore si a treia pentru 3 ore, atunci in bazin vor fi 255 dal de apa. Cati dal de apa curg in timpul unei ore pe fiecare teava ?
Un supermarket a incasat intaia data 170 de lei pentru 10 kg de mere, 8 kg de pere si 6 kg de
gutui; a doua oara, vanzand marfa cu acelasi pret, el a incasat 137 de lei pentru 9 kg de mere, 8 kg de pere si 3 kg de gutui, iar a treia oara el a primit 116 lei pentru 9 kg de mere, 5 kg de pere si 3 kg de gutui. La ce pret a vandut kilogramul din fiecare fel de fructe ?
Intr-un supermarket s-au vandut in cursul unei zile 7 kg de bomboane si 9 kg de biscuiti pentru
suma de 340 de lei. Cu cat s-a vandut kilogramul de bomboane si cel de biscuiti, daca 1 kg de bomboane si 1 kg de biscuiti costa impreuna 44 de lei ?
30 de castraveti si 2 capatani de varza costa 70 de lei. Daca s-ar scumpi castravetii de trei ori, iar
varza de doua ori, pentru aceeasi cantitate ar fi trebuit sa se plateasca 194 de lei. Cat costa 10 castraveti si o capatana de varza ?
17 saci cu faina si 26 de saci cu cartofi cantaresc 2.764 kg. 35 de saci cu cartofi si 17 saci cu faina
cantaresc 3.250 kg. Cat cantareste un sac cu cartofi ? Dar un sac cu faina ?
O data s-au platit pentru 98 de kg de mere si 89 de kg de prune 1.407 lei. Alta data
pentru 14 kg de mere si 55 de kg de prune s-au platit 511 lei. Cat s-a platit pentru 1 kg de prune si 1 kg de mere ?
O barca cu panze a mers pe un rau 46 de ore impotriva curentului si 22 de ore in sensul curentului,
parcurgand in total 684 de kilometri. Viteza impotriva curentului este de doua ori mai mica decat in sensul curentului. Care este viteza apei raului ?
S-au cumparat 30 metri de stofa neagra si 20 de metri de stofa verde si s-au platit in total 22.750
lei. 1 metru de stofa neagra este de 3 ori mai scump decat 1 m de stofa verde. Cat costa 1 metru din fiecare fel de stofa ?
17 saci cu faina si 12 saci cu cartofi cantaresc 1.210 kg, iar 21 de saci cu faina si 12 saci cu cartofi
cantaresc 1.410 kg. Cate kg are un sac cu faina ? Dar un sac cu cartofi ?
Intr-o microferma 6 vaci si 15 oi consuma zilnic 180 kg de fan. Intr-o alta microferma 3 vaci si 15
oi consuma cu 30 kg de fan mai putin. Cate kilograme de fan consuma o vaca si cate kilograme consuma o oaie ? Se presupune ca fiecare animal consuma zilnic o aceeasi cantitate de fan.
Pentru 6 bluze si doua pulovere s-au platit 690 de lei. Cat costa o bluza si un pulovar daca 7
pulovere si 6 bluze de acelasi fel valoreaza cu 600 de lei mai mult ?
O scoala cumpara pentru laboratorul de chimie 12 dulapuri mici, iar alta scoala cumpara 7
dulapuri la fel si plateste cu 500 de lei mai putin. Ce suma plateste prima scoala pentru cele 12 dulapuri cumparate ?
Un tren a transportat 27 de vagoane cu faina, iar un alt tren 20 de vagoane. In primul tren au fost
cu 1.155 q mai multa faina decat in al doilea tren. Ce cantitate de faina a transportat fiecare tren, stiind ca vagoanele au aceeasi capacitate ?
La un camin de copii s-au cumparat 54 de metri de panza pentru cearsafuri. Cat costa 1 metru de
panza daca 63 metri costa cu 252 de lei mai mult decat 54 metri de panza ?
Probleme de aflare a numerelor cunoscand suma si diferenta lor
Doi frati au impreuna 15 ani. Unul este mai mare decat celalalt cu 3 ani. Cati ani are fiecare frate?
Rezolvare
I 3 ani
15 ani =
II
a. Cati ani ar avea primul frate in dublura ?
15 ani + 3 ani = 18 ani
b. Cati ani are primul frate ?
18 ani : 2 = 9 ani
c. Cati ani are cel de al doilea frate ?
9 ani - 3 ani = 6 ani
d. Cati ani ar avea al doilea frate in dublura ?
15 ani - 3 ani = 12 ani
e. Cati ani are al doilea frate ?
12 ani : 2 = 6 ani
f. Cati ani are primul frate ?
6 ani + 3 ani = 9 ani sau 15 ani - 6 ani = 9 ani
R: Cei doi frati au 9, respectiv 6 ani
Sotul si sotia castiga impreuna 4.640 de lei lunar. Primul contribuie la cheltuielile comune cu
1.600 lei, iar sotia cu 1.040 lei, ramanand cu sume egale. Ce retributie are fiecare dintre soti ?
Rezolvare
1.600 lei
Sotul
4.640 lei =
Sotia
a. Care este diferenta dintre retributii ?
1.600 lei - 1.040 lei = 560 lei
560 lei
Sotul
4.640 lei =
Sotia
b. Care ar fi salariul sotului in dublura ?
lei + 560 lei = 5.200 lei
c. Ce retributie are sotul ?
5.200 lei : 2 = 2.600 lei
d. Ce retributie are sotia ?
lei - 560 lei = 2.040 lei sau 4.640 lei - 2-600 lei = 2.040 lei
e. Care ar fi salariul sotiei in dublura ?
4.640 lei - 560 lei = 4.080 lei
f. Ce retributie are sotia ?
4.080 lei : 2 = 2.40 lei
g. Ce retributie are sotul ?
2.040 lei + 560 lei = 2.600 lei sau 4.640 lei - 2.040 lei = 2.600 lei
R: Cei doi soti au retributiile de 2.600 lei si, respectiv, de 2.040 lei
O luntre merge in sensul cursului apei cu o viteza de 14 km/h, iar impotriva cursului apei cu o
viteza de 12 km/h. Care este viteza luntrei in apa statatoare si care este viteza cursului apei ?
Rezolvare
Viteza de inaintare in sensul cursului apei = viteza luntrei in apa statatoare + viteza apei
Vl Va
V = 14 km/h
Viteza de inaintare impotriva cursului apei = viteza de inaintare - viteza apei
Va
Vi 
D = 12 km/h
a. Care este vitezas luntrei in apa statatoare ?
13 km/h
S
+ D 14 km/h + 12 km/h 26 km/h
2 2 2
b. Care este viteza cursului de apa ?
S - D 14 km/h - 12 km/h 2 km/h
2 2 2
R: Viteza luntrei in apa statatoare este de 13 km/h, iar a apei de 1 km/h.
Doua persoane aveau 240 de lei. Cand una a dat celeilalte 30 de lei, atunci ele au avut aceeasi
suma. Cati lei a avut fiecare ?
Rezolvare
30 30
I
240 lei = 30
II
sau
I
240 lei =
II
60
a. Cati lei avea prima persoana in dublura ?
240 lei + 60 lei = 300 lei
b. Cati lei a avut prima persoana ?
300 lei : = 150 lei
c. Cati lei a avut a doua prsoana ?
150 lei - 60 lei = 90 lei sau 240 lei - 150 lei = 90 lei
d. Cati lei ar avea a doua persoana in dublura ?
240 lei - 60 lei = 180 lei
e. Cati lei a avut a doua persoana ?
180 lei : 2 = 90 lei
f. Cati lei a avut prima persoana ?
90 lei + 60 lei = 150 lai sau 240 lei - 90 lei = 150 lei
R: Cele doua persoane au avut 150, si, respectiv 90 de lei
Intr-o livada sunt 156 de meri, peri si pruni; numarul merilor este cu 18 mai mare decat al perilor,
iar al prunilor este cu 3 mai mic decat al merilor. Cati pomi sunt de fiecare fel ?
Rezolvare
18
meri
156 pomi = peri
3
pruni
Radu, Dinu si Mihai au depus la C.E.C. o suma de bani. Banii depusi de Radu si Dinu fac
impreuna 100 de lei, banii depusi de Dinu si Mihai fac impreuna 76 de lei, iar cei depusi de Radu si Mihai fac impreuna 110 lei. Ce suma a depus fiecare ?
Rezolvare
R
D = 100 lei
D
M = 76 lei
R
M = 110 lei
a. Care este suma celor 6 segmente ?
100 lei + 76 lei + 110 lei = 286 lei
b. Care este suma celor 3 segmente ?
R D M
286 lei : = 143 lei
c. Ce suma a depus Mihai ?
143 lei - 100 lei = 43 lei
d. Ce suma a depus Radu ?
110 lei - 43 lei = 67 lei
e. Ce suma a depus Dinu ?
100 lei - 67 lei = 33 lei
R: Mihai = 43 lei; Radu = 67 lei; Dinu = 33 lei
PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE
O sina lunga de 7,75 metri a fost taiata in doua parti din care una este mai scurta decat cealalta cu
3,75 metri. Sa se gaseasca lungimea fiecarei parti.
Trei elevi au impreuna 200 mii de lei. Primul are cu 35 de lei mai mult decat al doilea, iar al
treilea are cu 45 de lei mai mult decat al doilea. Sa se afle ce suma are fiecare.
Suma a patru numere naturale consecutive este 102. Sa se afle cele 4 numere.
Intr-un depozit se gasesc 76 de tone de mere. Dupa ce se livreaza o anumita cantitate pentru
consum, mai raman in depozit cu 42 de tone mai mult decat s-a livrat. Sa se afle cate tone s-au livrat si cate tone au ramas in depozit.
Trei piese de otel cantaresc impreuna 134 kilograme. Prima piesa are cu 26 de kilograme mai mult
decat a doua, iar a treia cu 18 kilograme mai mult decat a doua. Cat cantareste fiecare piesa ?
Suma a doua numere este 1.200, iar diferenta 300. Care sunt numerele ?
Suma a trei numere este de 1.300. Primul numar este 200, iar al doilea este cu 300 mai mic decat
al treilea. Care sunt numerele pe care nu le cunoastem ?
Suma a trei numere este de 1.500. Primul este cu 300 mai mare decat al doilea. Care sunt
numerele daca al treilea este 300 ?
Trei copii au cheltuit impreuna 102 lei. Primul a cheltuit cu 12 lei mai putin decat al doilea, iar al
doilea cu 24 de lei mai mult decat al treilea. Cati lei a cheltuit fiecare copil ?
O bucata de stofa de 12 metri lungime a fost taiata in doua bucati. Una din ele este cu 4 metri mai
lunga decat cealalta. Stiind ca una dintre bucati costa cu 1.000 de lei mai putin decat cealalta, sa se calculeze cat costa fiecare bucata.
Suma de 8.000 de lei se imparte la patru persoane. Primele doua primesc cate 500 de lei, iar
ultimele doua 3.500 lei. Cati lei primeste fiecare persoana ?
Cat este acum ceasul daca partea care mai ramane din ziua (24 de ore) este cu 4 ore si 30 de
minute mai mica decat partea care s-a scurs ?
Cand am avut 5 ani, fratele meu avea 9 ani. Acum avem impreuna 40 de ani. Cati ani am acum ?
In doua cutii sunt 6.260 de penite. Daca din prima cutie punem in cea de a doua 400 de penite,
atunci in prima cutie mai raman cu 220 de penite mai mult decat in cea de a doua. Cate penite au fost la inceput in fiecare cutie ?
O librarie a vandut in primele doua zile 110 manuale de matematica pentru o suma totala de 1.430
de lei, in prima zi vanzandu-se cu 12 manuale mai putin decat in a doua zi. Ce suma s-a incasat pentru manualele de matematica in prima si in cea de a doua zi ?
Doua gospodine au cumparat impreuna o lada de mere in greutate de 30 de kilograme, platind o
suma egala. Una dintre gospodine a luat insa cu 4 kilograme de mere mai mult deoarece a platit celei de a doua gospodine 28 de lei. Cate kilograme de mere a primit fiecare gospodina si cat costa un kilogram de mere ?
Sa se imparta 132 de lei la trei copii in asa fel incat al doilea copil sa aiba cu 21 de lei mai mult
decat primul si cu 33 de lei mai putin decat al treilea.
Suma a trei numere este egala cu 92. Diferenta dintre primul si al doilea numar este egala cu 5, iar
diferenta dintre al doilea si al treilea numar este egala cu 18. Sa se afle aceste numere.
In cele patru clase ale unei scoli primare invata 118 elevi. In clasa I si a II-a sunt in total 70 de
elevi, in clasa a II-a si a III-a sunt 59 de elevi, iar in clasa I si a III-a 65 de elevi. Cati elevi invata in clasa a IV-a ?
Tatal, mama si fiul au impreuna 90 de ani. Tatal este mai in varsta decat mama cu 5 ani, iar mama
e mai in varsta decat fiul cu 23 de ani. Cati ani are fiecare ?
Suma a patru numere este egala cu 136. Cel de al doilea numar este mai mare decat primul cu 8,
cel de al treilea este mai mare decat cel de al doilea cu 4, iar cel de al patrulea este mai mare decat cel de al treilea cu 24. Sa se afle aceste numere.
Probleme de aflare a doua numere cunoscand suma sau diferenta lor si raportul lor
Sa se afle doua numere stiind ca suma lor este 60 si ca unul este de 3 ori mai mare decat celalalt.
a b
S = a + b = 60
sau
a. Din cate parti egale este formata suma ?
3 parti + 1 parte = 4 parti
b. Care este numarul mic ?
60 : 4 =
c. Care este numarul mare ?
15 x 3 = 45 sau 60 -15 =
R: Cele doua numere sunt 45 respectiv 15
O carte si un registru costa impreuna 23 de lei. Daca micsoram cu 2 lei pretul registrului si
marim cu 4 lei costul cartii, atunci cartea devine de 4 ori mai scumpa decat registrul. Cat costa fiecare ?
Rezolvare
Aplicam modificarile cerute de problema:
23 lei - 2 lei = 21 lei
21 lei + 4 lei = 25 lei
cartea
25 lei =
registrul
a. Din cate parti egale este formata suma ?
4 parti + 1 parte = 5 parti
b. Cat costa registrul acum ?
25 lei : = 5 lei
c. Cat costa cartea acum ?
5 lei x 4 = 20 lei
d. Cat a costat registrul la inceput ?
5 lei x 2 lei = 7 lei
e. Cat a costat cartea la inceput ?
20 lei - 4 lei = 16 lei
R: Registrul a costat 7 lei, iar cartea 16 lei.
Intr-un cos sunt cu 14 mere mai mult decat in un al doilea cos. Daca 26 de mere sunt trecute din
primul cos in al doilea, in acesta vor fi de 3 ori mai multe decat in primul.
Rezolvare
14 mere
I
II
Aplicam modificarile cerute de problema
12 14
I 
26
38
II
a. Cate mere sunt in doua parti egale ?
12 mere + 26 mere = 38 mere
b. Cate mere sunt acum in primul cos ?
38 mere : = 19 mere
c. Cate mere au fost la inceput in primul cos ?
19 mere + 26 mere = 45 mere
d. Cate mere erau la inceput in al doilea cos ?
45 mere - 14 mere = 31 mere
R: La inceput in cele doua cosuri erau 45 si, respectiv, 31 de mere.
Intr-un depozit se afla de 3 ori mai multa faina decat in alt depozit. Daca din primul depozit se
scot 850 kg, iar din al doilea 50 de kg, atunci in ambele depozite ramane aceeasi cantitate de faina. Cata faina este in fiecare depozit ?
Rezolvare
I
II
Aplicam modificarile cerute de problema
850 kg
I
II
50 kg
Dupa care obtinem
800 kg
I
II
a. Cate kilograme de faina sunt in doua parti egale
850 kg - 50 kg 800 kg
b. Cata faina este in al doilea depozit
800 kg : 2 = 400 kg
c. Cata faina este in primul depozit ?
400 kg x 3 1.200 kg
R Initial au fost in primul depozit 1.200 de kilograme de faina, iar in al doilea 400 kilograme de faina.
5. Media aritmetica a doua numere este 46. Un numar este de 3 ori mai mare decat celalalt. Sa se afle cele doua numere.
Rezolvare
46 este semisuma celor doua numere
a. Care este suma celor doua numere
46 x 2
b. Din cate parti egale este formata suma
3 parti + 1 parte 4 parti
c. Care este al doilea numar
d. Care este primul numar
23 x 3
R Cele doua numere sunt 23 si 69
6. Un elev dupa
ce a citit dintr-o carte, a
vazut ca partea care a mai ramas contine cu 95 de
pagini mai mult decat partea citita. Cate pagini are toata cartea
Rezolvare
a. Cate parti au ramas necitite
b. Cate parti reprezinta cele 95 de pagini ?
- =
95 pagini
9
c. Cate pagini reprezinta o carte
95 pagini = 19 pagini
d. Cate pagini are toata cartea ?
19 pagini x 9 171 pagini
R Cartea avea 171 de pagini
Doi muncitori au primit pentru o lucrare 2.200 de lei. Stiind ca primului i se cuvin 3/8 din suma
primita de al doilea, aflati cati lei a primit fiecare.
Rezolvare
I
2.200 lei
II
a. Cate parti egale reprezinta suma
3 parti + 8 parti = 11 parti
b. Cati lei reprezinta o parte ?
2.200 lei 200 lei
c. Cati lei a primit primul muncitor
200 lei x 3 600 lei
d. Cati lei a primit al doilea muncitor
200 lei x 8 1.600 lei sau 2.200 lei - 600 lei 1.600 lei
R Primul muncitor a primit 600 de lei, iar al doilea 1.600 de lei
8. Doua ferme agricole au in total
270 de vaci in prima sunt
de 1 ori mai multe vaci decat in
cealalta. Cate vaci sunt in fiecare ferma ?
Rezolvare
I
270 vaci =
II
Rezolvare
I
675 cm
II
10. Un metru de matase costa cu 96 de lei mai mult decat un metru de stamba si este de 7 ori mai scump. Cat costa un metru e stamba si cat costa un metru de matase
Rezolvare
Stamba
Matasea
96 lei
11. Ionel are 35 de lei, iar Dinu are 8 lei. Ei primesc de la parinti in fiecare zi cate 1 leu. Peste cate
zile va avea Ionel de doua ori mai multi bani decat Dinu
Rezolvare
a. Care este diferenta sumelor de bani pe care le au
35 lei - 8 lei 27 lei
Aceasta diferenta ramane constanta, nu se modifica, iar raportul sumelor de bani trebuie sa fie 2.
35 lei
27 lei 8 lei
a. Cati lei trebuie sa aiba Dinu ?
27 lei x 1 27 lei
b. Cati lei trebuie sa aiba Ionel
27 lei x 2 54 lei
c. Peste cate zile va avea Ionel de doua ori mai multi bani decat Dinu
27 lei - 8 lei = 19 lei sau 54 lei - 35 lei = 19 lei
R: Pentru aceasta e nevoie sa treaca 19 zile
PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE
Sa se imparta numarul 455 in doua parti, astfel ca cele doua parti sa se afle in raportul 3/4.
Suma a trei numere este 260. Raportul dintre primul si cel de al doilea numar este de 3/2, iar
diferenta dintre primul si al doilea este de 40.
Cati baieti si cate fete se afla intr-o clasa de 35 de elevi, daca numarul fetelor este de 4 ori mai
mare decat cel al baietilor
Varsta tatalui este de 4 ori mai mare decat cea a fiului. Stiind ca cei doi au impreuna 40 de ani, sa
se afle varsta fiecaruia.
Sa se afle doua numere stiind ca cel de al doilea numar este de 7 ori mai mare decat primul, iar
suma dintre dublul primului numar si triplul celui de al doilea este 696.
Doi muncitori au primit pentru o lucrare efectuata 840 de lei. Unul dintre ei a lucrat 3/4 din cat a
lucrat celalalt. Ce suma se cuvine fiecaruia dintre ei
Intr-un depozit erau 2.475 kg de zahar si orez. Cantitatea de orez era de 9 ori mai mare decat
cantitatea de zahar. Cate kilograme de zahar si cate de orez erau in depozit
9. Intr-o scoala, numarul elevilor corigenti
este din numarul celor promovati.
Diferenta dintre
numarul elevilor promovati si al celor corigenti este de 266. Care este numarul elevilor corigenti si care este cel al promovatilor
O gospodina a facut dulceata de prune si de gutui. Cantitatea de dulceata de prune este cu 9.000
de grame mai mare decat cea de gutui, iar cantitatea de dulceata de gutui este de 9 ori mai mica decat cealalta. Cate grame de dulceata a facut gospodina din fiecare fel ?
11. Maria are
cu 18 cirese mai putin decat Ileana numarul cireselor pe care le are Maria reprezinta
din numarul cireselor Ilenei. Cate cirese are Maria si cate are Ileana
O gospodina pregateste dulceata din 45 de kilograme de prune si struguri. Ce cantitate de prune si
ce cantitate de struguri a folosit gospodina atunci cand cantitatea de prune este de 4 ori mai mare decat cantitatea de struguri ?
Diferenta dintre doua numere naturale este de 90. Sa se afle numerele stiind ca unul este de 3 ori
mai mare decat celalalt.
Suma a trei numere este de 986. Sa se afle numerele stiind ca al doilea este cu 2 mai mare decat
primul si de doua ori mai mic decat al treilea.
Varsta unei fete este cu 19 ani mai mica decat varsta mamei sale. Peste 10 ani varsta mamei sale
va fi de doua ori mai mare decat varsta fiicei. Ce varsta are fiecare in prezent
In doua cutii se afla puse la un loc 820 de creioane. Daca din prima cutie s-ar lua 41 de creioane si
s-ar pune in a doua cutie, atunci in prima ar fi de 3 ori mai multe creioane decat in a doua. Cate creioane sunt in fiecare cutie
Mioara are la CEC o suma de bani de 3 ori mai mare decat suma pe care o are depusa la CEC
Ioana. Daca Ileana ar depune inca 64 de lei, atunci ele ar avea depuse sume egale. Ce suma are la CEC fiecare dintre fete
Un tata are 39 de ani, iar fiul sau 7. Peste cati ani varsta tatalui va fi de 3 ori mai mare decat varsta
fiului
Un tata are 51 de ani iar fiul sau 18. Cu cati ani in urma a fost tatal de 12 ori mai in varsta decat
fiul
Trei chioscuri aveau un numar egal de cornuri. Cand fiecare chiosc a vandut cate 600 de cornuri,
atunci in toate cele 3 chioscuri au ramas atatea cornuri cate ar fi fost la inceput in fiecare. Cate cornuri a avut fiecare chiosc
Ghetele au fost de trei ori mai scumpe decat galosii, dar cand pretul ghetelor s-a ieftinit cu 86 de
lei, ele au devenit doar de doua ori mai scumpe decat galosii. Cati lei au costat ghetele inainte de ieftinirea pietei ?
Suma a doua numere este egala cu 15.251. Unul dintre numere se termina cu doi de 0. Daca
stergem acesti doi de 0 se obtine celalalt numar. Sa se gaseasca aceste numere.
Dintre doi muncitori care au primit prime, unul a obtinut cu 720 de lei mai mult decat celalalt. Cat
primeste fiecare dintre ei, daca prima unuia este de trei ori mai mare decat prima celuilalt
Suma a doua numere este egala cu 450, iar catul lor este egal cu 8. Sa se afle aceste numere.
Diferenta a doua numere este egala cu 1.500, iar catul este egal cu 4. Sa se gaseasca aceste
numere.
Exista 2.191 de specii de animale mamifere. Cate specii de animale de prada exista daca numarul
lor este de 6 ori mai mic decat al celor domestice
METODA GRAFICA
Probleme care se rezolva prin metoda figurativa
Daca se aseaza cate un elev in banca raman 14 elevi in picioare. Daca asezam cate 2 elevi intr-o
banca, raman 3 banci libere. Cati elevi si cate banci sunt ?
Rezolvare
1 elev1 banca14 elevi2 elevi1 banca3 banci? elevi.? Banci
14
elevi
3
banci
Avem 14 banci cu cate 2 elevi completate de cei 14 elevi care erau in picioare si inca 3 banci cu 2
elevi completate astfel prin ridicarea din 3 banci care trebuie sa ramana libere si, in fine, raman 3 banci libere. Asadar:
a. Cate banci sunt ?
14 banci + 3 banci + 3 banci = 20 banci
b. Cati elevi sunt ?
1 elev x 20 + 14 elevi = 20 elevi + 14 elevi = 34 elevi
R 34 de elevi si 20 de banci
2. Daca elevii se aseaza cate 2 intr-o banca, raman 9 in picioare; daca se aseaza cate 3 intr-o banca, raman 7 banci goale si una ocupata cu un singur elev. Cate banci si cati elevi sunt ?
Rezolvare
2 elevio banca9 elevi3 elevi1 banca7 banci1 banca cu 1 elev? banci? elevi
9 elevi
7 banci
a. Cate banci erau ?
9 banci + 14 banci + 7 banci + 1 banca + 1 banca = 32 banci
b. Cati elevi erau
2 elevi x 32 + 9 elevi 64 elevi + 9 elevi 73 elevi
R 32 de banci si 73 de elevi
3. Intr-un vas de fructe sunt de 3 ori mai multe prune decat mere. La masa sunt 4 persoane. Fiecare
dintre ele isi ia pe farfurie cate un mar si cate o pruna. Raman in vas de 4 ori mai multe prune decat mere. Cate prune si cate mere erau la inceput in vas
Rezolvare
Situatia de la inceput arata astfel
P P P P P P P
MP MP MP MP MP MP MP
P P P P P P P
Cele 4 persoane iau cate un mar si o pruna. Au ramas
P P P P P P P
MP MP MP
P P P P P P P
P
Se observa usor ca cele 4 prune "izolate" vor completa 8 grupe de forma PMP, adica raman 8 mere,
deoarece in fiecare grupa se afla cate un mar. Deci: P
a. Cate mere au fost in vas la inceput ?
8 mere + 4 mere = 12 mere
b. Cate prune au fost in vas de la inceput
12 prune x 3 36 prune
R In vas au fost 12 mere si 36 de prune
Intr-o curte alearga gaini si purcei. In total sunt 40 de animale si 100 de picioare. Cate gaini si cati
purcei sunt
Rezolvare
Stim ca fiecare vietate, animal, are un singur cap
40 animale
Stim ca fiecare animal are cel putin 2 picioare
40 animale
a. Cate picioare am folosi daca toate vietatile ar fi gaini ?
2 picioare x 40 80 picioare
b. Cate picioare ar ramane
100 picioare - 80 picioare 20 picioare
Punem inca cate 2 picioare la fiecare animal care are deja cate 2 picioare pana ce terminam cele 20
de picioare ramase
purcei gaini
c. Cati purcei erau
20 picioare 2 picioare (purcei)
d. Cate gaini erau ?
40 capete - 10 capete 30 capete gaini
R: In curte erau 10 purcei si 30 de gaini
Proba 4 picioare x 10 + 2 picioare x 30 40 picioare + 60 picioare , 100 picioare
Un tractor pleaca pe sosea de la kilometrul 0 mergand cu aceeasi viteza. Dupa 2 ore de mers nu
ajunsese inca la canton, mai avea pana acolo 14 kilometri. Dupa 5 ore de mers trecuse de respectivul canton cu 25 de kilometri. La ce kilometru era situat cantonul
Rezolvare
dupa 2 ore
0 A C B
A
14 km 25 km
a. In cate ore parcurge tractorul distanta AB ?
5 ore - 2 ore = 3 ore
b. Ce distanta parcurge tractorul in acest timp
14 km + 25 km 39 km
c. Care este viteza tractorului
39 km : 3 ore = 13 km/ora
d. Ce distanta parcurge tractorul in 2 ore
13 km/h x 2 h = 26 km
e. La ce kilometru era situat cantonul
26 km + 14 km = 40 km
R Cantonul se afla la distanta de 40 de kilometri.
Doua bucati de panza aveau aceeasi lungime. Dupa ce s-au vandut 18 metri din prima bucata si 25
de metri din cealalta, in prima a ramas de doua ori mai multa panza decat in a doua. Cati metri de panza au fost in fiecare bucata ?
Rezolvare
Lungimea bucatilor de panza la inceput
Lungimea bucatilor de panza dupa vanzare
18 m
25 m
a. Care este lungimea panzei ramase in a doua bucata
25 m - 18 m 7 m
b. Cati metri de panza au fost in fiecare bucata
7 m + 25 m 32 m
R In fiecare bucata de panza au fost cate 32 de metri.
Doi frati au impreuna 48 de nuci. 2/3 din numarul nucilor pe care le are unul din frati sunt egale
cu 2/5 din numarul nucilor pe care le are celalalt frate. Cate nuci are fiecare dintre cei doi frati
Rezolvare
3
parti
48 nuci
5 parti
a. Din cate parti egale este format numarul nucilor
3 parti + 5 parti 8 parti
b. Cate nuci reprezinta o parte
48 nuci 6 nuci
c. Cate nuci are primul frate
6 nuci x 3 18 nuci
d. Cate nuci are al doilea frate
6 nuci x 5 30 nuci
R Cei doi frati au 18, respectiv 30 de nuci.
In 3 lazi era aceeasi cantitate de mere. Cand s-au scos din fiecare lada cate 8 kg de mere, in toate
lazile au ramas atatea mere, cate erau la inceput in fiecare lada. Care a fost cantitatea totala de mere
Rezolvare
8 kg
8 kg
8 kg
a. Cate kg sunt intr-o singura parte
8 kg : 4 kg
b. Cate kg erau in fiecare lada
4 kg x 3 = 12 kg
c. Ce cantitate de mere a fost in total in cele 3 lazi
12 kg x 3 36 kg
R In toate lazile au fost initial 36 kg de mere.
9. Sa se determine greutatea unui peste a carui coada cantareste 4 kg, capul cantareste cat coada si jumatate din corp, iar corpul cantareste cat capul si coada impreuna.
Rezolvare
4kg 1/2 corp
corpul
4 kg 4 kg 1/2 corp
corpul
a. Cat cantareste o jumatate de corp
4 kg + 4 kg 8 kg
b. Cat cantareste corpul
8 kg + 8 kg 16 kg
c. Cat cantareste capul
4 kg + 8 kg = 12 kg
d. Cat cantareste pestele in intregime ?
12 kg + 16 kg + 4 kg 32 kg
R Pestele avea 32 kg
In doua bidoane se gasesc cantitati neegale de lapte, in total 40 de litri. Daca turnam din
primul bidon in al doilea o cantitate egala cu cea ramasa in primul bidon dupa prima turnare obtinem cantitati egale de lapte in cele doua bidoane. Cati litri de lapte erau la inceput in fiecare bidon
Rezolvare
Cantitatile de lapte din fiecare bidon la inceput
40 l
I II
Dupa prima turnare
40 l
I
II
Dupa a doua turnare
40 l
I 10 l
II 30 l
II 20 l
a. Cati litri de lapte avem in fiecare bidon
40 l : 2 20 l
b. Cati litri de lapte au ramas in fiecare bidon dupa prima turnare
I 20 l 10 l
II 10 l + 20 l 30 l
c. Cati litri de lapte erau la inceput in fiecare bidon ?
II 30 l : 2 = 15 l
I 40 l - 15 l 25 l
R In cele doua bidoane erau la inceput 25 de litri, respectiv 15 litri de lapte.
PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE
Intr-un vas sunt de 5 ori mai multe prune decat mere. Daca se mai adauga in vas 2 mere si se scot
14 prune, raman in vas de 3 ori mai multe prune decat mere. Cate mere si cate prune au fost in vas ?
Daca pe fiecare banca dintr-o sala se aseaza 12 persoane, pe una dintre banci raman 4 locuri
libere, iar daca pe fiecare banca se aseaza cate 10 persoane, 196 de persoane raman fara loc. Cate banci si cate persoane sunt in sala ?
Intr-o sala de cinematograf s-au asezat banci de acelasi fel. Pentru a gasi loc pentru toti
spectatorii, pe fiecare banca trebuie sa se aseze cate 6 persoane. Daca s-ar mai aduce inca 15 banci si s-ar aseza pe fiecare dintre ele cate 5 persoane, 15 locuri ar ramane libere. Cate persoane sunt in sala ?
O anumita cantitate de rosii trebuiesc ambalate in ladite. Luand ladite de cate 8 kg, raman
neambalate 180 kg. Luand tot atatea ladite, insa de 12 kg fiecare, raman goale 35 de ladite. Cate ladite erau si ce cantitate de rosii trebuia ambalata ?
La sfarsitul unui spectacol sportiv 174 de spectatori au plecat acasa pe jos, iar ceilalti au plecat cu
tramvaiul ocupand 18 vagoane. In fiecare vagon au urcat cu 5 persoane mai mult decat numarul de locuri prevazute pe scaune. Daca spectatorii plecati cu tramvaiul nu ocupau decat locurile prevazute pe scaune, atunci ar mai fi fost nevoie de inca 3 vagoane, in ultimul vagon ramanand 6 locuri libere. Care a fost numarul total al spectatorilor ?
Daca intr-o clasa in fiecare banca se aseaza cate 2 elevi, 3 banci raman libere. Stiind ca in clasa
sunt 32 de elevi, sa se afle cate banci sunt in clasa.
Daca intr-o sala in fiecare banca stau cate 3 tineri, 2 raman in picioare. Stiind ca in sala sunt cate
15 banci, sa se afle cati tineri sunt in sala.
Daca intr-o clasa se aseaza cate 2 elevi intr-o banca, 3 elevi raman in picioare. Daca se aseaza cate
3 elevi intr-o banca 4 banci raman libere. Cati elevi si cate banci sunt in clasa ?
Intr-o curte sunt gaini si iepuri, in total 43 de capete si 124 de picioare. Cate gaini si cati iepuri
sunt in curte ?
Metoda reducerii la unitate
Cea mai des folosita in rezolvarea problemelor care contin marimi direct proportionale este metoda
reducerii la unitate. Aceasta metoda consta in compararea marimilor date in problema, cu aceeasi marime, luata ca unitate.
Pentru 8 kg de mere s-a platit suma de 48 de lei. Cat se va plati pentru 20 kg de mere de aceeasi
calitate ?
Rezolvare
I. 8 kg..48 lei
20 kg..? lei
8 kg..48 lei
1 kg..48 lei :
20 kg..(48 lei : ) x 20 = 120 lei
II 8 kg..48 lei
20 kg..? lei
a. Cat s-a platit pentru 1 kg de mere ?
48 lei : 8 = 6 lei
b. Cat se va plati pentru 20 kg de mere de aceeasi calitate ?
6 lei x 20 = 120 lei
R: 20 kg de mere vor costa 120 de lei daca sunt de aceeasi calitate.
Un teren poate fi arat cu 6 tractoare in 4 zile. In cate zile vor ara terenul 2 tractoare de aceeasi
capacitate ?
Rezolvare
I 6 tractoare..4 zile
2 tractoare..? zile
6 tractoare..4 zile
1 tractor..4 zile x 6
2 tractoare.(4 zile x 6) : = 12 zile
II 6 tractoare..4 zile
2 tractoare..? zile
a. In cate zile va ara terenul un tractor ?
4 zile x 6 = 24 zile
b. In cate zile vor ara terenul 2 tractoare de aceeasi capacitate ?
24 zile : 2 = 12 zile
R: 2 tractoare de aceeasi capacitate vor ara terenul in 12 zile.
Un numar de 960 de carti trebuiau sa fie legate in cel mai scurt timp. Un atelier de legatorie se
obliga sa faca acest lucru in 16 zile, altul in 24 de zile, iar al treilea a cerut pentru efectuarea lucrului 48 de zile. Lucrul a fost impartit intre cele 3 ateliere de legatorie. Cate carti a legat fiecare atelier si in ce termen a fost indeplinit lucrul ?
Rezolvare
atelierul
I.16 zile
960 carti atelierul II24 zile
atelierul III..48 zile
a. Cate carti leaga fiecare atelier intr-o zi ?
I 960 carti : 16 = 60 carti
II 960 carti : 24 = 40 carti
III 960 carti : 48 = 20 carti
b. Cate carti se vor lega in total intr-o zi ?
60 carti + 40 carti + 20 carti = 120 carti
c. In cate zile vor fi legate toate cartile ?
960 carti : 120 carti = 8 zile
d. Cate carti a legat fiecare atelier ?
I 60 carti x 8 = 480 carti
II 40 carti x 8 = 320 carti
III 20 carti x 8 = 160 carti
R: Cartile au fost legate in 8 zile iar atelierele au legat cate 480, 320 si 160 de carti.
Intr-un cazan incap 60 hl de apa; la acest cazan sunt racordate 2 tevi. Prin prima teava se poate
umple cazanul in 10 minute, in timp ce prin cea de a doua teava cazanul plin se poate goli in 15 minute. Cata apa se va afla in cazan daca se deschid ambele robinete pentru 5 minute ?
Rezolvare
teava
I..umple in 10 minute
60 hl =
teava IIgoleste in 15 minute
a. Cati hl curg in cazan intr-un minut ?
60 hl : 10 = 6 hl
b. Cati hl se scurg din cazan intr-un minut ?
60 hl : 15 = 4 hl
c. Cati hl raman in cazan intr-un minut ?
6 hl - 4 hl = 2 hl
d. Cati hl raman in cazan in 5 minute ?
2 hl x 5 = 10 hl
R: Dupa 5 minute vor ramane in cazan 10 hl.
Intr-o incapere inundata erau 600 de galeti cu apa. Pentru golirea apei din incaperea respectiva
s-au montat 2 pompe. O pompa pompeaza in 2 ore 96 de galeti, cealalta pompeaza in timp de 3 ore 129 de galeti. Dupa cat timp se scoate din incapere cu cele doua pompe toata apa daca in fiecare ora revin in incapere 60 de galeti de apa ?
Rezolvare
pompa I: 2 ore - 96 galeti
600 galeti, plus in
fiecare ora cate 16 galeti pompa II: 3 ore - 129 galeti
a. Cate galeti scoate prima pompa intr-o ora ?
96 galeti : 2 = 48 galeti
b. Cate galeti scoate a doua pompa intr-o ora ?
129 galeti : 3 = 43 galeti
c. Cate galeti scot amindoua pompele intr-o ora ?
48 galeti + 43 galeti = 91 galeti
d. Cu cate galeti se micsoreaza cantitatea de apa in fiecare ora ?
91 galeti - 16 galeti = 75 galeti
e. Dupa cate ore se scoate din incapere toata apa ?
R: Toata apa va fi scoasa dupa 8 ore.
Un tren parcurge distanta dintre doua orase in 20 de ore cu o viteza medie de 35 km/h. Cat timp
va trebui ca trenul sa parcurga aceeasi distanta daca viteza lui se va mari cu 15 km/h ?
Rezolvare
a. Care va fi viteza trenului dupa marirea sa ?
35 km/h + 15 km/h = 50 km/h
Problema devine:
35 km/h........20 ore
50 km/h.......x ore
35 km/h........20 ore
1 km/h........20 ore x 35
50 km/h........(20 ore x 35) : 5 = 14 ore
R: Pentru a parcurge aceeasi distanta cu 50 km/h vor fi necesare 14 ore.
O incarcatura in greutate de 4 kg este atarnata de bratul unei parghii a carei lungime este de 35
cm. Cat cantareste greutatea, greutate care este atarnata de celalalt brat al parghiei cu lungimea de 14 cm echilibreaza aceasta incarcatura ?
Rezolvare
35 cm.4 kg
14 cm.? kg
35 cm.4 kg
1 cm.4 kg x 35
14 cm.(4 kg x 35 ) : 14 = 10 kg
R: La extremitatea bratului de 14 cm este necesara pentru echilibru o forta de 10 kg.
Pentru curatarea unei fantani trebuie scoasa apa din ea. Pentru realizarea acestui lucru s-au instalat
doua pompe. O pompa poate sa traga apa care este in fantana in 10 ore, iar cea de a doua in 12 ore. ore. In cate ore vor scoate toata apa din fantana cele doua pompe daca vor functiona in acelasi timp tinand seama si
Rezolvare
Pompa I..10 ore
Pompa II.12 ore
a. Cata apa scoate intr-o ora prima pompa ?
b. Cata apa scoate intr-o ora a doua pompa ?
c. Cata apa scot ambele pompe intr-o ora ?
+ = = din toata apa
c. Cu cat se micsoreaza cantitatea de apa intr-o ora ?
1
- = = =
e. In cate ore va fi scoasa toata apa din fantana ?
3
: = = 6 ore.
3
R: Toata apa se va scoate in 6 ore.
Intr-un bazin de inot cu o capacitate de 900 hl apa intra prin doua tevi si se scurge printr-o a treia.
In acelasi timp prin teava a doua curge de doua ori mai putina apa decat prin prima teava; prin teava a treia se scurge jumatate din ceea ce vine in bazin prin primele doua tevi. Cata apa vine intr-o ora din prima si din cea de a doua teava si cata apa se scurge prin a treia teava daca, functionand toate odata bazinul poate fi umplut in 6 ore ?
Rezolvare
II mai putin decat I de 2 ori
900 hl se umplu in 6 ore
III goleste jumatate din I si II impreuna
Luam o unitate de comparatie, de exemplu, sa luam debitul pe ora al celei de a doua tevi ca unitate.
I2 parti
I si II3 parti
II..1 parte
2
a. Cate parti vom avea intr-o ora daca dam drumul la cele 3 robinete ?
2
b. Cate parti rama in bazin dupa 6 ore ?
2
x 6 = (parti)
c. Cat curge prin prima teava intr-o ora ?
900 hl : = 100 hl
d. Cat curge prin a doua teava intr-o ora ?
100 hl x 2 = hl
e. Cat curge intr-o ora prin a treia teava ?
2
R: Debitul celor trei tevi este de: 100 hl, 200 hl si 150 hl.
Trei dactilografe si-au luat angajamentul sa transcrie un manuscris in 8 ore. Prima si a doua
dactilografa au promis ca vor termina lucrarea respectiva in 20 de ore, fiecare dintre ele conducandu-se dupa numarul mediu de pagini pe care le transcriu in mod obisnuit intr-o ora. In cate ore ar fi efectuat lucrarea cea de-a treia dactilografa daca ar fi lucrat singura ?
Rezolvare
I, II si III.8 ore
I, si II.20 ore
III? ore
a. Ce parte din lucrare efectueaza toate cele trei dactilografe intr-o ora ?
8
din lucrare.
b. Ce parte din lucrare executa intr-o ora primele doua dactilografe ?
din lucrare.
5 - 2
c. Ce parte din lucrare va efectua intr-o ora cea de-a treia dactilografa ?3
8
- = =
d. In cate ore va fi efectuata intreaga lucrare de catre cea de a treia dactilografa ?
: = = 13 ore.
3
R:
Intreaga lucrare ar fi fost
efectuata de a treia dactilografa in 13 ore.
O brigada de taietori de lemne isi ia angajamentul de a taia copacii de pe o parcela de padure in
termen de 6 zile, o alta brigada in 7 zile, iar a treia brigada intr-un termen de doua ori mai lung decat cea de a doua. Pentru a taia copacii de pe respectiva parcela lucrarea a fost incredintata primelor doua brigazi, insa dupa doua zile de lucru s-a apelat si la serviciile celei de a treia brigazi. Dupa cat timp au terminat lucrul toate cele 5 brigazi ?
Rezolvare
I. 6 zile
II.7 zile
III de doua ori mai lung decat II
2 zile I si II
Restul I, II si III
a. Cat au lucrat brigazile intr-o zi ?
6
7
1
II = din lucrare
1
III
= din lucrare
7 + 6
7
I
si II = + = = din lucrare.
b. Cat au lucrat primele doua brigazi in doua zile ?
x 2 = din lucrare
21 - 13
c. Cat a mai ramas de lucrat dupa 2 zile ?21
= = din lucrare
d. Cat lucreaza cele 3 brigazi intr-o zi ?
+ = = = din lucrare
e. In cate zile lucreaza ceea ce a ramas dupa primele 2 zile ?
21
21
: = 1 (zi)
f. Cate zile s-au lucrat in total ?
2 zile + 1 zi = 3 zile
R: Lucrul a fost efectuat in 3 zile
PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE
O cantitate de 250 kg de cartofi a fost ambalata in 10 lazi. 375 de kg de cartofi in cate lazi se
vor ambala ?
Un numar de 26 de lucratori sapa un sant in 17 zile. In cate zile vor sapa acelasi sant 34
de lucratori ?
Pentru 8 l de lapte s-au platit 32 de lei. Cati lei se vor plati pentru 4 l de lapte ?
Un numar de 8 camioane pot transporta o cantitate de cereale in 10 zile. In cate zile pot transporta
aceeasi cantitate de cereale 5 camioane ?
5. Un numar de 10 muncitori executa un pod in 20 zile. In cate zile executa 20 de muncitori aceeasi lucrare daca se pastreaza acelasi ritm de lucru ?
In 4 saci sunt 200 kg de ceapa. Cate kg de ceapa sunt in 8 saci cu aceeasi capacitate ?
O bucata de stofa cu lungimea de 7 m a costat 1.610 lei. Cat vor costa 3 m din aceeasi stofa de
aceeasi calitate ?
Pentru o cantina se cumpara 120 de paini. Cati lei costa intreaga cantitate de paine daca pentru 10
paini se platesc 45 de lei ?
Intr-un magazin de mobila se aflau 45 de scaune de acelasi fel necesare pentru mobilarea
bucatariilor. S-au vandut 27 de scaune incasandu-se 3.240 lei. Cati lei se vor incasa pe scaunele ramase ?
Doua lazi cu struguri cantaresc 26 kg. Cantitatea de struguri din prima lada valoreaza 70 de lei,
iar cea din a doua lada 60 de lei. Aflati cantitatea de struguri din fiecare lada.
Un vapor parcurge distanta de 480 km in 8 ore. Cati km parcurge vaporul in 6 ore cu aceeasi
viteza ?
Un numar de 12 tractoare ara un ogor in 5 zile. In cate zile vor ara acelasi ogor 15 tractoare
(fiecare tractor avand acelasi regim de lucru) ?
Pentru o cantitate de lapte aflata in 3 cisterne se plateste suma de 2.511 lei. Cati lei costa
cantitatea de lapte din fiecare cisterna daca in prima se afla 245 litri, in cea de a doua 342 litri si in ultima 250 de litri ?
Patru centre de croitorie au achizitionat stofa in valoare de 722.400 lei. Cu cati lei a contribuit
fiecare centru daca primele doua au achizitionat cate 250 m de stofa fiecare, al treilea 320 m de stofa, iar al patrulea 384 m ?
O pompa scoate 960 de caldari de apa in 5 ore. Cate caldari de apa scoate pompa in 8 ore ?
METODA IPOTEZELOR
Metoda falsei ipoteze
Problemele din aceasta categorie sunt foarte numeroase. Afirmam chiar ca orice problema ale carei date sunt marimi proportionale poate fi rezolvata prin metoda falsei ipoteze. In ce constau ele ?
De regula se pleaca de la intrebarea problemei, in sensul ca asupra marimii pe care o cautam facem o presupunere complet arbitrara. Ce se intampla in aceasta situatie ? Se reface problema pe baza presupunerii facute. Deoarece marimile sunt proportionale, rezultatele obtinute pe baza presupunerii se "translateaza" in plus sau in minus, dupa cum si presupunerea facuta este mai mica sau mai mare decat rezultatul real.
Refacand asadar problema se ajunge la un rezultat care nu concorda cu rezultatul real din cadrul problemei, el este fie mai mare, fie mai mic decat acesta. In acest moment se compara rezultatul, pe baza presupunerii cu cel real din punct de vedere al catului si se observa de cate ori s-a gresit cand s-a facut presupunerea. Se obtine astfel un numar cu ajutorul caruia "se corecteaza" presupunerea facuta, in sensul ca se micsoreaza sau se mareste de un anumit numar de ori.
PROBLEME DE PRESUPUNERE
Un biciclist urca cu 6 km/h o panta si o coboara cu 20 km/h. Stiind ca drumul urcat si coborat a
durat 3 h 15 minute, sa se afle lungimea drumului.
Rezolvare
Presupunem ca lungimea drumului ar fi de 60 km
a. Aflam timpul la urcare
60 km : 6 km/h = 10 h
b. Aflam timpul la coborare
60 km : 20 km/h = 3 h
c. Aflam timpul total
10 h + 3 h = 13 h
Observam ca timpul obtinut este mai mare decat cel real.
d.
Aflam raportul dintre marimea presupusa si cea reala (coeficientul de corectie)
13 h : = 13 h : h = 4
e. Aflam lungimea reala a drumului
60 km : 4 = 15 km
R: Lungimea drumului este de 15 kilometri.
Pe un vapor s-au vandut 124 de bilete pentru clasele I-a si a II-a; biletul de clasa I costa 56 lei, iar
cel de clasa a II-a 36 de lei, incasandu-se in total suma de 4.944 lei. Cate bilete de fiecare clasa s-au vandut ?
Rezolvare
Presupunem ca toate cele 124 de bilete ar fi de clasa I
a. Aflam cat costa acestea
56 lei x 124 = 6.944 lei
b. Aflam cu cati lei am obtinut mai mult decat pe baza presupunerii facute
6.944 lei - 4.944 lei = 2.000 lei
c. Aflam cu cati lei am socotit mai scump un bilet de clasa a II-a
56 lei - 36 lei = 20 lei
d. Aflam cate bilete de clasa a II-a s-au vandut
2.000 lei : 20 lei = (bilete)
e. Aflam cate au fost biletele de clasa I
124 bilete - 100 bilete = 24 bilete
R: S-au vandut 24 de bilete de clasa I si 100 de bilete de clasa a II-a
La un concurs de matematica se acorda 5 puncte pentru o problema bine rezolvata si se scad cate
3 puncte pentru o problema gresita. Un elev a trimis 10 probleme rezolvate si a primit 26 de puncte. Cate probleme a rezolvat si cate a gresit ?
Rezolvare
Presupunem ca toate cele 10 probleme au fost corect rezolvate.
a. Aflam cate puncte ar fi obtinut pe baza presupunerii
5 puncte x 10 = 50 puncte
b. Aflam cu cate puncte a obtinut mai mult decat in realitate
50 puncte - 26 puncte = 24 puncte
c. Aflam diferenta de punctaj dintre o problema bine si alta gresit rezolvata
5 puncte + 3 puncte = 8 puncte
d. Aflam cate probleme a rezolvat gresit
24 puncte : 8 puncte = 3 (probleme)
e. Aflam cate probleme a rezolvat bine
10 probleme - 3 probleme = 7 probleme
R: Elevul a rezolvat bine 7 probleme, iar 3 le-a rezolvat gresit.
Un tren este format din vagoane cu 2, 3 si 4 osii. Numarul vagoanelor cu 4 osii fata de cel al
vagoanelor cu 2 osii este in raportul 3:1. Numarul total al vagoanelor este de 31, iar numarul total al osiilor este 105. Sa se determine numarul vagoanelor de fiecare gen in parte.
Rezolvare
Presupunem ca toate cele 31 de vagoane ar avea cate 3 osii.
a. Aflam cate osii au vagoanele pe baza presupunerii
3 osii x 31 = 93 osii
b. Aflam cu cate osii am obtinut mai putin decat in realitate
105 osii - 93 osii = 12 osii
Observam ca la fiecare vagon cu 2 osii corespund 3 vagoane cu 4 osii (raport 3: ), deci ele formeaza un grup de 4 vagoane. Comparaam acest grup cu un grup de 4 vagoane cu 3 osii.
2 osii x 1 + 4 osii x 3 = 14 osii
3 osii x 4 = 12 osii
c. Cate asemenea grupuri (1 vagon cu 2 osii si vagoane cu 4 osii fiecare) am socotit cu 2 osii mai putin ?
12 osii : 2 osii = (grupe)
Un asemenea grup contine doar un vagon cu 2 osii si vagoane cu cate 4 osii
d. Cate vagoane cu 2 osii sunt ?
1 vagon x 6 = 6 vagoane
e. Cate vagoane cu cate 4 osii sunt ?
3 vagoane x 6 = 18 vagoane
f. Cate vagoane cu cate 3 osii sunt ?
31 vagoane - (6 vagoane + 18 vagoane) = 7 vagoane
R: 6 vagoane cu cate 2 osii, 7 vagoane cu cate 3 osii si 18 vagoane cu cate 4 osii
Intr-o curte a unei gospodarii se afla gaini si oi. Cate animale sunt din fiecare fel, stiind ca toate au
19 capete si 46 de picioare ?
Rezolvare
2 picioare
19 capete.. 46 picioare
4 picioare
Presupunem ca ar fi numai gaini
a. Cate picioare ar fi pe baza presupunerii ?
2 picioare x 19 = 38 picioare
b. Cu cat s-a gresit presupunerea ?
46 picioare - 38 picioare = 8 picioare
c. Cate picioare are in plus o oaie fata de o gaina ?
4 picioare - 2 picioare = 2 picioare
d. Cate oi sunt ?
8 picioare : 2 picioare = (oi)
e. Cate gaini sunt ?
19 capete - 4 capete = 15 capete (gaini)
R: Sunt 4 oi si 15 gaini
O fabrica de confectii a trimis la un magazin paltoane pentru copii si costume, in total 139 de
bucati cu 61.100 lei. Un palton costa 400 de lei, iar un costum 500. Cate paltoane si cate costume au fost trimise ?
Rezolvare
1 palton = 400 lei
139 bucati cu 61.100 lei
1 costum = 500 lei
Presupunem ca s-au trimis numai costume
a. Ce valoare trebuie sa aiba marfa trimisa pe baza presupunerii ?
500 lei x 139 = 69.500 lei
b. Cu cat s-a gresit presupunerea ?
69.500 lei - 61.100 lei = 8.400 lei
c. Cu cat este mai scump un costum decat un palton ?
500 lei - 400 lei = 100 lei
d. Cate paltoane au fost trimise ?
8.400 lei : 100 lei = 84 (paltoane)
e. Cate costume au fost trimise ?
139 bucati - 84 bucati = 55 bucati (costume)
R: S-au trimis 84 de paltoane si 55 de costume
Ce cantitate de biscuiti cu pretul de 16 lei/kilogramul si 13 lei/kilogramul trebuie sa se ia ca sa
alcatuiasca 21 de kilograme de amestec cu 15 lei/kilogramul ?
Rezolvare
16 lei/kg
21 kg a 15 lei/kg
13 lei/kg
Aflam pretul total al marfii
15 lei x 21 = 315 lei
16 lei/kg
21 kg cu 315 lei
13 lei/kg
Presupunem ca se iau numai biscuiti cu 16 lei/kg
a. Cat ar costa 21 de kilograme de amestec pe baza presupunerii ?
16 lei x 21 = 336 lei
b. Cu cat am gresit presupunerea ?
336 lei - 315 lei = 21 lei
c. Cat reprezinta diferenta pretuilor unitare ?
16 lei - 13 lei = 3 lei
d. Cate kilograme cu pretul de 13 lei/kg trebuie sa se ia ?
21 lei : 3 lei = (kg)
e. Cate kilograme cu pretul de 16 lei/kg trebuie sa se ia ?
21 kg - 7 kg = 14 kg
R: Trebuie sa se ia 14 kilograme de biscuiti cu
pretul de 16 lei/kilogram si 7 kilograme cu pretul de 13 lei/kg
PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE
1. La o serbare scolara s-au vandut 415 bilete cu pretul de 4 lei si, respectiv 4 lei biletul, incasandu-se in total 2.160 lei. Cate bilete de fiecare categorie au fost vandute ?
Intr-un bloc sunt in total 42 de apartamente de 2 camere si de 4 camere. Stiind ca blocul are 130
de camere, sa se afle cate apartamente sunt cu 2 si cate cu 4 camere.
Sa se afle 3 numere stiind ca 2/3 din primul este cat 5/8 din al doilea, iar 5/12 din al doilea este cat
7/18 din al treilea. Suma numerelor este 33,7.
Pe o lungime de 124 metri s-au instalat 18 conducte de apa de doua dimensiuni: 6 si 8 metri. Cate
conducte de apa s-au instalat din fiecare dimensiune ?
Intr-o curte erau gaini si oi, 20 de capete si 68 de picioare. Cate gaini si cate oi erau ?
Intr-un vagon s-au incarcat 15t 240 kg de faina de calitatea I si a II-a, in total 200 de saci. Un sac
cu faina de calitatea I cantarea 80 kg, iar un sac cu faina de calitatea a II-a 72 kg. Cati saci de faina din fiecare calitate erau ?
Pentru 97 pahare si cesti s-au platit 533 de lei. Pentru un pahar s-a platit 4 lei, iar pentru o ceasca
9. Cate pahare si cate cesti s-au cumparat ?
Pe un vapor s-au vandu 124 de bilete pentru clasele I si a II-a. Biletul de clasa I costa 96 de lei, iar
cel de clasa a II-a costa 76 de lei, incasandu-se in total suma de 9.904 lei. Cate bilete de fiecare clasa s-au vandut ?
Un tren este compus din vagoane cu doua si cu trei osii. Numarul total al vagoanelor este de 48,
iar numarul osiilor este 115. Sa se afle numarul vagoanelor cu doua osii si al celor cu trei osii.
300 de grinzi, unele de brad, altele de stejar cantaresc 10.524 kg. O grinda de brad cantareste 28
kg, iar una de stejar 46 kg. Cate grinzi de stejar erau ? Dar de brad ?
Metoda analogiei
Metoda falselor proportii
Pornind tot de la o propunere, se pot rezolva o serie de probleme prin metoda analogiei. Metoda
ipotezelor si metoda analogiei sunt cunoscute ca metoda falselor proportii.
Pentru a rezolva o problema prin metoda analogiei se face presupunerea ca una dintre marimile
neunoscute are o valoare arbitrara data de noi. Pe baza acestei valori si a relatiilor din problema se afla valorile celorlalte marimi din problema. Valorile gasite in acest fel difera de datele problemei. Tinand seama de faptul ca marimile sunt proportionale, putem schimba valoarea arbitrara aleasa in asa fel incat marimile calculate sa corespunda datelor problemei.
PROBLEME DE PRESUPUNERE
O cantina a cumparat 87 de kilograme de mere si 68 kilograme de struguri. Pentru toata marfa
cumparata a platit 1.784 lei. Cat costa 1 kilogram de mere si unul de struguri daca 1 kg de struguri este de doua ori mai scump decat 1 kg de mere ?
Rezolvare
87 kg mere
= 1.784 lei
68 kg struguri
1 kg de struguri este mai scump de 2 ori decat 1 kg de mere. Presupunem ca 1 kg de mere costa 1 leu,
asadar s-au platit:
1 leu x 87 + 2 lei x 68 = 87 lei + 136 lei = 223 lei
In problema insa se spune ca s-au platit 1.784 lei, adica mai mult de
lei : 223 lei = 8 ori
a. Cat a costat 1 kg de mere ?
1 leu x 8 = 8 lei
b. Cat a costat 1 kg de struguri ?
8 lei x 2 = 16 lei
R: 1 kg de mere costa 8 lei, iar 1 kg de struguri costa 16 lei
S-a vandut morun cu 28 lei/kg si chefal cu 16 lei/kg si s-au incasat in total 8.960 lei. Stiind ca s-a
vandut de 4 ori mai mult morun decat chefal, sa se afle cate kilograme de morun si cate de chefal s-au vandut.
Rezolvare
28 lei/kg de morun
= 8.960 lei
16 lei/kg chefal
Morun de 4 ori mai mult decat chefal
Presupunem ca s-a vandut 1 kg de chefal, deci s-au incasat:
16 lei x 1 + 28 lei x 4 = 16 lei + 112 lei = 128 lei
In problema se spune insa ca s-au incasat 8.960 de lei, adica mai mult de
8.960 lei : 128 lei = 70 ori
a. Cate kg de chefal s-au vandut ?
1 kg x 70 = 70 kg
b. Cate kg de morun s-au vandut ?
4 kg x 70 = 280 kg
R: S-au vandut 280 de kilograme de morun si 70 de chefal.
Intr-o casa locuiesc 4 familii care platesc pentru apa 192 lei. Cat trebuie sa plateasca fiecare
familie daca au convenit sa plateasca proportional cu numarul membrilor familiei, stiind ca in prima familie sunt 3 persoane, in cea de a doua 5, in a treia 6 si in a patra 2.
Rezolvare
I 3.II 5.III 6.IV 2.192 lei
Presupunem ca s-a platit 1 leu de fiecare persoana, asadar s-au platit:
1 leu x 3 + 1 leu x 5 + 1 leu x 6 + 1 leu x 2 = 16 lei
In problema se spune insa ca s-au platit 192 lei, adica mai mult de
192 lei : 16 lei = 12 ori
a. Cat trebuie sa plateasca prima familie ?
(1 leu x 3) x 12 = 36 lei
b. Cat trebuie sa plateasca a doua familie ?
(1 leu x 5) x 12 = 60 lei
c. Cat trebuie sa plateasca a treia familie ?
(1 leu x 6) x 12 = 72 lei
d. Cat trebuie sa plateasca a patra familie ?
(1 leu x 12) x 12 = 24 lei
R: Prima familie a platit 36 lei
A doua familie a platit 60 lei
A treia familie a platit 72 lei
A patra familie a platit 24 lei
Mama are 40 de ani, fiica are 16 ani. Cu cati ani in urma mama era de 3 ori mai in varsta decat
fiica ?
Rezolvare
Daca mama are 40 de ani, iar fiica ei 16, inseamna ca mama este cu 24 de ani mai in varsta decat fiica
ei, iar cand mama era de trei ori mai in varsta decat fiica, diferenta dintre varstele lor era tot de 24 de ani. Presupunem ca atunci (in trecut) fiica a avut 1 an, deci mama a avut 3 ani, iar diferenta varstei dintre ele a fost de 2 ani. Insa fiindca diferenta varstelor nu este de 2, ci de 24 de ani, ea va fi mai mare de
24 ani : 2 ani = 12 ori
a. Care a fost varsta fiicei in trecut ?
1 an x 12 = 12 ani
b. Care a fost varsta mamei in trecut ?
3 ani x 12 = 36 ani
c. Cu cati ani in urma mama era de trei ori mai in varsta decat fiica ?
40 ani - 36 ani = 4 ani
R: Acum 4 ani varsta mamei era de 3 ori mai mare decat varsta fiicei
METODA MERSULUI INVERS
Metoda retrograda
Sunt unele probleme alcatuite in asa fel, incat relatiile dintre marimi depind unele de celelalte intr-o
ordine succesiva. Pentru a rezolva cu usurinta o problema de acest gen, se analizeaza ultima relatie fata de penultima, se alcatuieste cate o problema simpla si se fac calculele. Rezultatul obtinut de fiecare data se foloseste in alcatuirea altor probleme simple. Ordinea alcatuirii lor este inversa ordinii in care sunt date relatiile din problema. Din rezolvarea ultimei probleme simple se ajunge la rezultatul cerut.
PROBLEME DIN REST IN REST
Avem doua gramezi cu nuci. Punem din prima gramada in a doua atat cat continea. Apoi punem
din cea de a doua gramada in prima atat cat continea prima. In sfarsit, punem din nou din gramada I in a doua atat cat contine a doua. La sfarsit se gasesc in fiecare gramada cate 24 de nuci. Cate nuci au fost la inceput in fiecare gramada ?
Rezolvare
Gramada I Gramada II
Dupa operatia a III-a 24 24
Dupa operatia a II-a 24 + 12 = 36 24 : 2 = 12
Dupa operatia I 36 : 2 = 18 12 + 18 = 30
La inceput 18 + 15 = 33 30 : 2 = 15
R: La inceput prima gramada continea 33 de nuci, iar a doua 15
Indoitul unui numar marit cu 3 a fost inmultit cu 4. Produsul obtinut, micsorat cu 5, a fost impartit
cu 9 si s-a obtinut 15. Care a fost numarul initial ?
Rezolvare
15 x 9 = 135
135 + 5 = 140
140 : 4 = 35
35 - 3 = 32
32 : 2 = 16
R: Numarul initial a fost 16
M-am gandit la un numar. Il impart la 7, catului obtinut ii adaug 4, suma obtinuta o inmultesc cu
8, iar din produsul obtinut scad 12, obtinand 60. La ce numar m-am gandit ?
Rezolvare
(X : 7 + 4) x 8 - 12 = 60
(X : 7 + 4) x 8 = 60 + 12 = 72
X : 7 +4 = 72 : 8 = 9
X : 7 = 9 -4 = 5
X = 5 x 7 = 35
X = 35
R: Numarul la care m-am gandit a fost 35
Un calator are de facut un drum. In prima zi merge 3/10 din lungimea lui, in a doua face 2/7 din
rest, in a treia 3/5 din noul rest si a patra zi ultimii 20 de kilometri. Care este lungimea drumului ?
Rezolvare
1.
3
10
I
2
7
II
3
5
III
20 km
IV
a.
Cat reprezinta din drumul
parcurs ? ( din drumul parcurs)
20 km : 2 = 10 km
b. Care este lungimea drumului ?
10 km x 10 = 100 km
2. a. A cata parte din restul II sunt cei 20 de kilometri ?
=
b. Aflam al doilea rest
20
km : = 20 km x = 50 km
c. Aflam a cata parte din restul I reprezinta restul II
- =
d. Aflam restul I
7
10
- =
f. Aflam lungimea drumului
7
70
km : = 70 km x = 100 km
R: Drumul parcurs are lungimea de 100 de kilometri
|
in
prima zi din numarul lazilor
pe care le avea si inca trei lazi; a
doua zi a vandut din lazile
ramase si inca doua lazi; a treia zi a
vandut din lazile ramase si
inca o lada, iar in a patra zi a vandut
restul de 7 lazi. Cate lazi cu suc a vandut acel chiosc ?
Rezolvare
II
zi: din restul 1.... plus 2
lazi
IV zi:............7 lazi
a. Cate lazi reprezinta ultimul rest ?
7 lazi + 1 lada = 8 lazi
b. Ce fractie din restul 2 reprezinta 8 lazi ?
=
c. Cate lazi reprezinta restul 2 ?
8 lazi : = 32 lazi
d. Cate lazi au ramas pentru a III-a zi ?
32 lazi + 2 lazi = 34 lazi
=
f. Cate lazi reprezinta restul I ?
34
lazi : = 102 lazi
din numarul total de lazi. Deci:
105 lazi : = 210 lazi
R: S-au vandut 210 lazi cu suc
6. Dintr-o oarecare suma de bani Ionel
cheltuieste pentru o
carte, din rest pentru o cutie
Rezolvare
din restul IIo
caciulita
I-au ramas 44 de lei
a. Ce fractie din restul II reprezinta 44 lei ?
=
44 lei : 2 = 22 lei
c. Cat este restul II ?
22 lei + 44 lei = 66 lei
d. Ce fractie din restul I reprezinta 66 lei ?
=
e. Cat reprezinta din 66 lei ?
66 lei : 6 = 11 lei
f. Cat este restul I ?
11 lei + 66 lei = 77 lei
g. Ce fractie din N reprezinta 77 lei ?
=
h.
Cat reprezinta din 77 lei
?
77 lei : 7 = 11 lei
i. Cat este N ? ( cati lei a avut ?)
11 lei + 77 lei = 88 lei
R: Ionel a avut 88 de lei
O femeie vinde niste oua la trei cumparatori. Primul ia jumatate din numarul oualor care se gasesc
in cos si inca jumatate de ou. Al doilea ia jumatate din numarul oualor care se gasesc in cos si inca o jumatate de ou. Al treilea ia de asemenea jumatate din numarul oualor care se gasesc in cos si inca o jumatate de ou si astfel cosul ramane gol. Cate oua a avut femeia la inceput ?
2
2
I din Nsi ou
2
II din restul I..si ou
2
2
III din restul II.si ou
Cosul ramane gol
2
2
ou + ou = 1 ou
2
2
1 ou + ou = 2 oua
c. Cate oua gaseste in cos al doilea cumparator ?
2 oua + 1 ou = 3 oua
d. Cate oua ia primul cumparator ?
2
2 oua + ou = 4 oua
e. Cate oua a gasit in cos primul cumparator ?
4 oua + 3 oua = 7 oua
R: Femeia a avut la inceput 7 oua
1
5
4
cheltuieste din bani si inca 10 lei, in al
doilea magazin cheltuieste cu 30 de lei mai putin decat
2
care i-au ramas dupa ce a cumparat a doua oara si inca 30 de lei. La sfarsit ii raman 10 lei. Cati lei a avut la
inceput ?
Rezolvare
5
I din Nsi inca 10 lei
II din restul
1mai putin cu 30 lei
4
2
III din restul 2.si inca 30 de
lei
La sfarsit ii raman 10 lei
N M K L
10 lei
I
II
E G F
30 lei
III
30 lei
A D
B C 10 lei
BD = 30 lei + 10 lei = 40 lei
2
AD = 40 lei x 2 = 80 lei
EF = 80 lei
EG = 30 lei
GF = 80 lei - 30 lei = 50 lei
HF = 50 lei x 4 = 200 lei
KL = 200 lei
MK = 10 lei
ML = 200 lei + 10 lei = 210 lei
ML este format din parti egale, deci o parte este de 7 ori (210 lei : 3);
rezulta ca NL = 70 lei x 5 = 350 lei
R: Persoana a avut la inceput 350 de lei
PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE
Un elev are o oarecare suma de bani. Dupa ce se dubleaza aceasta suma, el cheltuieste 150
lei. Dubleaza apoi suma ramasa si mai cheltuieste 200 de lei. Dupa ce dubleaza noul rest si cheltuieste inca 250 de lei, constata ca i-au ramas 50 lei. Care este suma initiala pe are a avut-o elevul ?
La un centru de vanzare a painii, inaintea orei de inchidere erau patru cumparatori care au
cumparat toata cantitatea de paine. Sa se afle cate paini au fost daca fiecare cumparator a cumparat jumatate din cantitatea de paine care se gasea in momentul in care i-a venit randul si inca o jumatate de paine.
3. Dintr-o sticla cu esenta de otet se consuma a treia parte si apoi se umple cu apa. Dupa aceea se consuma a treia parte din amestec si se pune iar apa pana ce se umple sticla din nou. Dupa patru asemenea operatii in sticla se mai aflau 15 cl de esenta (restul apa). Cata esenta de otet continea sticla la inceput ? Cata esenta de otet amestecata cu apa s-a consumat in total ?
4. Care sunt numerele care corespund fiecarei litere daca:
I. a este de doua ori ori mai mare decat b;
II b este mai mare decat c cu 25;
III. c este mai mare decat d cu 40;
IV. d este mai mare decat e de 3 ori ?;
V. 1.000 este mai mare decat e de 4 ori ?
5. Se dau 4 numere care satisfac urmatoarele conditii:
a. primul numar este de 5 ori mai mic decat al doilea;
b. al doilea este de 15 ori mai mare decat al treilea:
c. al treilea este de patru ori mai mic decat al patrulea;
d. al patrulea este de 16 ori mai mic decat 1.280.
Sa se afle cele patru numere
kilometru din jumatatea drumului. In a
doua ora el face din drumul
ramas si inca 1 kilometru si ii mai
7
raman de facut 3 kilometri.
Cati kilometri a avut drumul ?
|
