TOPOLOGII SCOTT SI TOPOLOGII LAWSON

TOPOLOGII SCOTT sI TOPOLOGII LAWSON

Introducerea...........sdfgd

II.1. Definitia topologiei Scott si topologiei Lawson.

Definitie II.1 Fie o submultime a unei multimi partial ordonate . este Scott deschisa daca si numai daca este multime sup 14414d34o erioara si pentru orice multime dirijata cu .

Prin urmare este Scott deschisa daca satisface urmatoarele doua conditii

1.

2. oricare ar fi , multime dirijata si , rezulta .

Notam familia multimilor Scott deschise.

Definitie II.2 Topologia formata din toate multimile Scott deschise din se numeste topologie Scott.

Teorema II.1 este o topologie în .

Demonstratie

a) Evident , pentru ca evident si daca este multime dirijata cu , atunci .

b) Fie , si . Atunci deoarece, pentru un rezulta ca pentru un , deci exista , deci si astfel încât . Rezulta .

Daca rezulta ca exista astfel încât , dar atunci pentru un . Rezulta si deci , adica .

Fie , multime dirijata si . Atunci pentru un si astfel de unde rezulta evident ca . Rezulta astfel ca

c) Fie rezulta . Atunci .

Daca atunci exista cu .

Daca atunci rezulta adica , dar rezulta deci , rezulta .

evident, daca exista , .

, multime dirijata rezulta si rezulta si atunci si rezulta ca exista astfel încât si rezulta si rezulta rezulta . ■

Exemplu II.1 Fie si

Caz I Daca atunci

rezulta rezulta

Daca rezulta , pentru ca rezulta ca exista astfel încât rezulta , deci rezulta .

Fie rezulta este evident , deci

Caz II. Daca si fie .

Daca rezulta . Presupunem când si si oricare ar fi , . Atunci dar nu exista cu . Rezulta nu este Scott deschisa.

Daca rezulta . Fie atunci si rezulta .

Presupunem rezulta ca exista si .

Rezulta este Scott deschisa.

Deoarece multimile de forma sunt fie de forma fie de forma

. Cele de forma , inclusiv nu sunt Scott deschise, deoarece nu îndeplinesc conditia care se refera la supremul unei multimi dirijate din aceste multimii.

Rezulta ca singurele Scott deschise sunt , , . Aceste multimi definesc topologia inferioara.

Definitie II.3 Topologia generata prin luarea de subbaze ale multimii se numste topologie Lawson, notata prin .

Propozitie II.1 Fie POCD continuu.

Multimea este o baza pe topologia Scott .

Multimea este o baza pe .

cu topologia Lawson este Hausdorff.

Demonstrtie: Fie , cu .

Fie si . Atunci sunt Lawson deschise si . ■

Daca este un spatiu topologic obisnuit si este o functie atunci daca pe se considera topologia Scott continuitatea unei astfel de functii nu înseamna decât continuitatea semi-inferioara.

O multime care este un POCD echipat cu topologia Scott devine astfel un spatiu topologic obisnuit.

II.2. Topologii pe spatii de functii continue.

Pentru spatiile topologice si , notam prin

multimea functiilor continue de la la .

Transpusa a unei functii continue este definita prin

unde este data de

Mai concis, scriem definitia transpusei ca .

Topologia pe o multime se numeste

slaba daca continuitatea functiei implica continuitatea functiei ,

tare daca continuitatea functiei implica continuitatea functiei ,

exponentiala daca este atât slaba cât si tare.

Prin urmare o topologie pe este exponentiala daca si numai daca transforma operatia de transpozitie într-o bijectie bine definita de la multimea la multimea .

Teorema II.2.1 O topologie pe este tare daca si numai daca face ca aplicatia de evaluare

sa fie o functie continua.

Demonstratie: Transpusa este continua pentru orice topologie pe , deoarece pentru orice , deci .

Am aratat ca evaluarea este continua daca topologia pe este tare.

Reciproc, presupunem ca evaluarea este continua pentru o topologie data pe si fie o functie cu transpusa continua.

Atunci este deasemenea continua pentru ca este o compunere de functii continue , unde este functia identitate . ■

Teorema II.2.2 1. Orice topologie slaba este mai slaba decât orice topologie tare.

2. Orice topologie mai slaba decât o topologie slaba este deasemenea slaba.

3. Orice topologie mai tare decât o topologie tare este deasemenea tare.

În particular, este o topologie exponentiala, daca este cea mai slaba topologie tare, sau, echivalent, cea mai tare topologie slaba.

Demonstratie Decât nu este evidenta. Fie cu o topologie slaba si o topologie tare, atunci, obtinem spatiile respectiv .

Din Teorema II.2.1, aplicatia de evaluare este continua, si, din definitia topologiei slabe rezulta transpusa este continua. Dar am vazut ca . Atunci pentru fiecare . ■

Un spatiu se numeste exponential daca multimea admite o topologie exponentiala pentru fiecare spatiu .

În acest caz, multimea cu topologia exponentiala o notam de obicei prin

si se spune ca este o exponentiala.

II.3. Topologii pe laticea multimilor deschise.

Exista un singur spatiu cu proprietatea ca este exponential daca si numai daca are o topogie exponentiala.

Mai mult, în acest caz, topologia exponentiala a lui este unic determinata de topologia exponentiala a lui si de topologia lui .

Spatiul Sierpinski este spatiul cu doua puncte 1 si 0 astfel încât multimea este deschisa, dar multimea nu este deschisa.

Functia este o bijectie de la la .

O topologie pe este exponentiala daca este inclusa de o topologie exponentiala pe .

Explicit, o topologie pe este

tare : Graficul

al relatiei de aparteneta este deschis.

saba : Pentru fiecare

,

functia

definita de

este continua.

Fie o topologie pe .

Topologia indusa de este topologia pe care este generata de multimile deschise de subbaza, adica, generata de subbaza pentru multimile deschise, formata din multimile

unde parcurge si parcurge .

Teorema II.3.1 Fie un spatiu topologic si o topologie pe .

Topologia este slaba daca si numai daca induce o topologie slaba pe pentru fiecare spatiu .

Topologia este tare daca si numai daca induce o topologie tare pe pentru fiecare spatiu .

Topologia este exponentiala daca si numai daca induce o topologie exponentiala pe pentru fiecare spatiu .

Demonstratie Trebuie sa aratam ca este continua pentru înzestrat cu topologia indusa de , este suficient sa aratam ca este deschisa pentru si .

Fie . Cum este slaba, este continua pentru cu . Rezulta ca este suficient sa aratam ca .

Aceasta este echivalent cu a spune ca daca si numai daca . Dar avem ca daca si numai daca .

Rezulta ca

Aratam ca aplicatia de evaluare este continua.

Fie o vecinatate deschisa a lui . Atunci de unde rezulta . Cum este deschisa în pentru înzestrat cu topologia indusa de , atunci exista si astfel încât , rezulta . Dar daca atunci .

Rezulta , adica , deci este continua.

Este o consecinta imediata a lui (1) si

Observatie Un spatiu este exponential daca si numai daca este o topologie exponentiala.

În acest caz, topologia exponentiala pe este topologia indusa de topologia exponentiala pe .