La trigonométrie dans le triangle rectangle est bien utile pour calculer des angles et des longueurs mais hélas, elle se limite aux angles aigus. De plus, les angles que nous avons manipulés jusqu'à maintenant − appelés angles géométriques − ne sont pas orientés ce qui pose un problème pour tous les phénomènes de rotation.

Comment décrire par exemple, le mouvement d'une planète qui tourne sur son orbite ?

Ce genre de questions a conduit les mathématiciens et physiciens à redéfinir et élargir la notion d'angle puis de sinus e 959h74j t de cosinus. C'est ce que nous allons aborder avec ce chapitre !

I) Sinus et cosinus dans le cercle trigonometrique

1) Une nouvelle unité d'angle : le radian

Le cercle ci-contre a pour rayon 1 : On l'appelle cercle trigonométrique.

Complétons le tableau ci-dessous :

Nous voyons donc que la longueur de l'arc permet de "mesurer" l'angle a

Définition : La mesure d'un angle a en radian est donc la longueur de l'arc qu'il intercepte dans le cercle trigonométrique.

Pourquoi utiliser les radians plutôt que les degrés ?

Car ils permettent de simplifier la plupart des formules et des calculs ou les angles interviennent !

Par exemple, dans le secteur angulaire de rayon R ci-dessous, on a :

= R a

Aire = R a

2) Angles orientés

Dans la figure ci-contre, combien y a-t-il de points M tels que

Pour placer M sans ambiguïté comme ci-contre, nous pouvons orienter cet angle et l'écrire : ( (Ici nous avons tourné dans le sens indirect pour aller de I vers M)

3) Les différentes mesures d'un même angle

Imaginons que l'on enroule une droite graduée comme une ficelle autour du

cercle trigonométrique. Chaque graduation x de la droite va donc correspondre

à un point M du cercle et donc aussi à un angle orienté (

D'après ce qui précède, on peut écrire :  ( ) = x radians.

Remarque :

Pourquoi ne pas faire plusieurs tours autour du cercle ?

Correspondant à chaque point du cercle, il y aura alors autant de valeurs de x que de tours!

Bilan :

Tout angle orienté a une infinité de mesures équivalentes : x, x + 2p, x − 2p, x + 4p, x + 2kp

La mesure principale d'un angle est l'unique mesure de cet angle appartenant à ]−p p

4) Sinus et cosinus d'un angle quelconque

Exprimer les coordonnées du point M ci-contre en fonction de x :

x_M

y_M

a) Nouvelle définition du sinus et du cosinus :

Dans le cercle trigonométrique C muni du repère orthonormé (O,

x étant un réel quelconque, on appelle cos x et sin x les coordonnées du point M de C associé à x

b) Propriétés :

Pour tout x de R

< cos x < et −1 < sin x <

cos² x + sin² x = 1

II) Les fonctions sinus et cosinus

1) La fonction sinus : x sin x avec x R

Pour tout x de R, sin (− x) =

En déduire la parité de la fonction sinus

puis, sans calculatrice, compléter ci-dessous sa représentation graphique sur [−p

Pour tout x de R, x et x + 2p sont deux mesures du même angle donc sin (x + 2p

On dit alors que la fonction sinus est périodique de période 2p

Sans calculatrice, en déduire ci-dessous sa représentation graphique sur [p p

2) La fonction cosinus : x cos x avec x R

Pour tout x de R, cos (− x) =

En déduire la parité de la fonction cosinus

puis, sans calculatrice, compléter ci-dessous sa représentation graphique sur [−p

Pour tout x de R, x et x + 2p sont deux mesures du même angle donc cos (x + 2p

On dit alors que la fonction cosinus est périodique de période 2p

Sans calculatrice, en déduire ci-dessous sa représentation graphique sur [p p