3.1 Definitia variabilei aleatoare
Majoritatea experimentelor de interes practic au ca rezultate valori numerice. Aceasta înseamna ca rezultatul unei probe al unui experiment, poate fi caracterizat de un numar sau de un cuplu de numere. Se poate, astfel considera ca fiecarei probe al unui experiment i se poate asocia un numar sau de un cuplu de numere. Se poate atunci introduce notiunea de variabila aleatoare (întâmplatoare) ca o functie reala definita pe multimea evenimentelor elementare asociate experimentului considerat. Cuvântul aleator, subliniaza faptul ca se lucreaza cu elemente generate de fenomene întâmplatoare, care nu sunt guvernate de legi strict deterministe. Elementul dificil în analiza acestor fenomene consta în faptul ca desi acestea au o anumita regularitate, este imposibil de precizat cu certitudine rezultatul unei probe întâmplatoare.
Fie multimea evenimentelor elementare
asociata unui anumit experiment, rezultatele posibile fiind notate cu
. Este posibil ca
acesta sa nu fie un rezultat numeric în sine, dar i se poate atribui o
anumita valoare numerica. De exemplu, la distribuirea unor
carti de joc, se poate atribui o anumita valoare numerica
fiecarei carti samd.
DEFINIŢIE Orice functie f definita pe si care ia valori
în multimea numerelor reale R, se numeste variabila aleatoare.
Prin urmare, fiecarui rezultat ,
, îi corespunde numarul real
,
.
OBSERVAŢIE Numarul rezultatelor
, distincte este
mai mic cel mult egal cu n.
EXEMPLU Se considera experimentul
aruncarii unui zar. Fie
, evenimentele
care constau în aparitia fetei cu un numar i de puncte. Se poate defini o variabila aleatoare, ca fiind
data de
Se considera
acum ca variabila aleatoare f înregistreaza s valori distincte , în
conditiile în care sunt înregistrate n
evenimente elementare
Fie
, evenimentele elementare pentru care
,
. Notând
, atunci:
.
EXEMPLU Se considera o variabila
aleatoare g, data de recolta de
grâu pe un hectar. În aceasta situatie variabila aleatoare poate avea
orice valoare dintr-un interval si prin urmare
apare urmatoarea clasificare, generata de natura valorilor
înregistrate.
DEFINIŢIE O variabila aleatoare se numeste discreta (discontinua) daca poate lua numai valori izolate. Numarul valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit.
O variabila aleatoare se numeste continua daca poate lua valori care umplu un interval finit sau infinit. Evident, numarul valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue este întotdeauna infinit.
3.2 Repartitia unei variabilei aleatoare discrete
Pentru a defini o variabila aleatoare discreta este suficient sa se enumere toate valorile posibile pe care aceasta le poate lua. Însa, pentru a o cunoaste complet trebuie enumerate si probabilitatile corespunzatoare fiecarei valori înregistrate.
Se numeste repartitie a unei variabile aleatoare discrete enumerarea valorilor posibile ale variabilei aleatoare si a probabilitatilor corespunzatoare acestora. De obicei repartitia unei variabile aleatoare discrete se scrie sub forma unui tablou în care prima linie contine toate valorile posibile, iar a doua linie, probabilitatile corespunzatoare :
, sau
Ţinând seama
ca într-un experiment variabila aleatoare ia una si numai una din
valorile sale posibile, rezulta ca evenimentele care constau în aceea
ca variabila ia valorile
sau
,., sau
formeaza -
dupa cum se stie - un sistem complet de evenimente. Prin urmare, suma
probabilitatilor acestor evenimente este egala cu
unitatea :
.
3.3 Operatii cu variabile aleatoare discrete
DEFINIŢIE Puterea de ordinul k a variabilei aleatoare f este variabila aleatoare cu
repartitia :
.
DEFINIŢIE Daca este un
numar real, produsul dintre
si
este variabila
aleatoare
, cu repartitia :
.
Fie si
doua
variabile aleatoare, având respectiv repartitiile:
si
.
Se considera evenimentul care
consta în aceea ca ia valoarea
,
si
ia valoarea
,
. Acest eveniment notat
si care este
intersectia evenimentelor
si
, constând în aceea ca
ia valoarea
, respectiv
ia valoarea
, are o probabilitate bine determinata:
Cum evenimentele
, în numar
de
, formeaza
un sistem complet de evenimente, atunci :
DEFINIŢIE Variabila aleatoare are
repartitia:
DEFINIŢIE Variabila aleatoare are repartitia:
,
Exista vreo
legatura între probabilitatile si
? Raspunsul
la aceasta întrebare este afirmativ, însa legatura dintre aceste
probabilitati nu este întotdeauna simpla. Un caz în care
aceasta legatura este foarte simpla este acela în care
si
sunt independente.
DEFINIŢIE Variabilele si
se numesc independente probabilistic daca
pentru orice
si
,
, evenimentele
si
sunt independente. Prin urmare:
,
adica
.
În mod analog se pot defini sumele si produsele a mai mult de doua variabile aleatoare, ca si notiunea de independenta a unui numar oarecare de variabile aleatoare.
3.4 Momentele unei variabile aleatoare discrete
Se considera
doua variabile aleatoare si
si se presupune ca
poate lua
valorile
, iar
poate lua valorile
Pentru
fiecare pereche
, fie
probabilitatea
ca
sa ia valoarea
si
sa ia valoarea
, adica:
DEFINIŢIE Probabilitatile
constituie
repartitia comuna a variabilelor aleatoare
,
.
DEFINIŢIE Variabilele aleatoare si
sunt independente,
daca pentru orice
,
si orice
are loc:
.
Se considera
acum mai mult de doua variabile aleatoare. Fie ,
variabile aleatoare,
unde variabila aleatoare
ia valorile
,
.
DEFINIŢIE Probabilitatile :
constituie repartitia comuna a variabilelor
aleatoare
DEFINIŢIE Variabilele aleatoare sunt
independente, daca pentru orice
DEFINIŢIE Variabilele aleatoare [1]
sunt independente, daca orice numar finit de variabile aleatoare din
acest sir sunt independente.
Introducem acum o caracteristica numerica foarte importanta, asociata unei variabile aleatoare.
DEFINIŢIE Numarul
se numeste valoarea
medie a variabilei aleatoare
EXEMPLU În experimentul cu zarul :
DEFINIŢIE Fie un numar întreg,
. Numarul
se numeste moment
de ordinul al variabilei aleatoare
OBSERVAŢIE Momentul de ordinul este valoarea medie.
DEFINIŢIE Numarul
se numeste dispersia
variabilei aleatoare
Cu ajutorul acestor notiuni introduse, se pot demonstra o serie de proprietati.
PROPRIETATEA 1 Fie o variabila
aleatoare si
un numar întreg,
. Atunci
Demonstratie Fie variabila aleatoare cu repartitia
Atunci variabila
aleatoare va avea evident
repartitia :
cu alte cuvinte, valorile si
au aceeasi
probabilitate
,
si deci
(
)
Din proprietatea anterioara se deduce imediat:
PROPRIETATEA 2 Fie o variabila
aleatoare care poate lua o singura valoare
cu probabilitatea
(adica
). Atunci:
.
PROPRIETATEA 3 Fie o variabila
aleatoare si
un numar real.
Atunci:
.
Demonstratie. Fie variabila aleatoare cu valorile
, având probabilitatile
si fie
. Aceasta
noua variabila aleatoare ia valorile
cu aceleasi probabilitati
si deci:
(
)
PROPRIETATEA 4 Fie variabile aleatoare
. Atunci valoarea medie a sumei acestor variabile
aleatoare este egala cu suma valorilor medii, adica:
.
Demonstratie. Fie mai întâi numai doua variabile
aleatoare si
. Se presupune
ca variabila aleatoare
ia valorile
cu probabilitatile
, iar variabila
aleatoare
ia valorile
cu probabilitatile
. De asemenea
fie :
,
,
.
Fie ; aceasta noua variabila aleatoare ia
valoarea
cu probabilitatea
,
,
. Prin urmare :
Suma , este suma
probabilitatilor tuturor evenimentelor de forma
, unde indicele
este acelasi pentru toti termenii
sumei, iar indicele
variaza de la un termen la altul,
parcurgând toate valorile de la
la
. Deoarece evenimentele
pentru indici
diferiti sunt incompatibile doua
câte doua, suma
este
probabilitatea producerii unui eveniment oarecare din cele
evenimente
,
. Dar, a spune ca s-a produs un eveniment oarecare din evenimentele
,
, este echivalent cu a spune ca s-a produs evenimentul
.
Într-adevar, daca s-a produs unul din evenimentele
,
, este evident ca s-a produs si evenimentul
; reciproc,
daca s-a produs evenimentul
, atunci întrucât
variabila aleatoare
ia neaparat una din valorile sale
posibile
, trebuie sa
se produca si un eveniment oarecare din evenimentele
,
. Asadar,
fiind probabilitatea producerii unui eveniment
oarecare din evenimentele
,
, este egala cu probabilitatea evenimentului
, adica
,
.
În mod analog se deduce:
,
.
Ţinând
seama de aceste expresii în relatia , se obtine :
Pentru mai mult de doua variabile aleatoare, se procedeaza prin inductie. Fie
si se presupune teorema adevarata pentru . Atunci :
Aplicând proprietatea pentru doua variabile aleatoare, se obtine :
PROPRIETATEA 5 Dispersia unei variabile aleatoare este data de relatia :
.
Demonstratie.
,
daca se tine seama de proprietatea precedenta. Mai departe, aplicând de doua ori proprietatea 1., se obtine :
.
PROPRIETATEA 6 Fie si
doua variabile aleatoare independente.
Atunci valoarea medie a produsului acestor variabile aleatoare este egala
cu produsul valorilor medii, adica :
Demonstratie. Se presupune ca variabila
aleatoare ia valorile
cu probabilitatile
, iar variabila
aleatoare
ia valorile
cu probabilitatile
. De asemenea :
,
,
si cum f si g sunt variabile independente:
Fie ; aceasta noua variabila aleatoare ia valoarea
cu probabilitatea
. Prin urmare:
PROPRIETATEA 7 Fie variabile aleatoare
independente doua
câte câte doua. Atunci dispersia sumei acestor variabile aleatoare este egala
cu suma dispersiilor, adica:
Demonstratie. Din proprietatea 6 se deduce
Daca se
tine seama de faptul ca variabilele aleatoare sunt independente,
atunci din proprietatea 6 rezulta ca cele doua sume duble de mai
sus se reduc si deci :
.
PROPRIETATEA 8 (Inegalitatea lui Cebîsev) Fie o variabila
aleatoare si
un numar pozitiv
oarecare. Atunci
,
sau
Demonstratie Fie o variabila
aleatoare care ia valorile
cu probabilitatile
. Dispersia variabilei aleatoare
este :
Fie este un numar
oarecare; daca din suma de mai sus se elimina toti termenii
pentru care
si ramân numai termenii pentru care
, suma poate
numai sa se micsoreze, adica
.
Aceasta suma se va micsora
si mai mult daca în fiecare termen al ei vom înlocui factorul prin valoarea
inferioara
:
Suma din partea
dreapta reprezinta suma probabilitatilor tuturor acelor
valori ale variabilei aleatoare
care se abat de la valoarea medie
de o parte si de alta cu mai mult de
; conform
proprietatii de aditivitate a doua evenimente incompatibile,
aceasta este probabilitatea ca variabila aleatoare
sa ia una din aceste valori. Cu alte
cuvinte, aceasta suma este
.
Adica :
ceea ce permite
aprecierea probabilitatii abaterilor mai mari decât un numar dat dinainte, cu conditia numai sa
fie cunoscuta dispersia
.
Cu ajutorul proprietatilor 7 si 8 se poate demonstram urmatorul rezultat foarte important, cunoscut sub numele de legea numerelor mari.
PROPRIETATEA 9 Fie un sir de
variabile aleatoare independente care au aceeasi repartitie si
deci, aceeasi valoare medie
si aceeasi
dispersie
. Atunci, pentru orice
si
arbitrari,
, exista un numar natural
astfel încât
îndata ce
, are loc :
Demonstratie. Din proprietatile 1 si 4, se deduce:
si deci, aplicând proprietatea 8, se obtine:
Dar:
,
de unde rezulta:
.
Fiind dati
, se poate determina un numar
natural
, care depinde de
si
, astfel încât îndata ce
, sa rezulte :
Prin urmare :
Cu alte cuvinte,
proprietatea 9 arata ca daca variabilele aleatoare sunt independente si daca au aceeasi medie
si aceeasi dispersie
, atunci pentru
un
suficient de mare, expresia
va diferi oricât de putin de
cu o probabilitate oricât de apropiata de
.
Studiul independentei a doua variabile aleatoare se poate realiza si prin intermediul coeficientului de corelatie.
DEFINIŢIE Se numeste corelatie a doua variabile aleatoare, media produsului abaterilor acestora:
.
Demonstratie
DEFINIŢIE Se numeste coeficient de corelatie:
.
TEOREMĂ Corelatia a doua variabile aleatoare independente este nula.
Demonstratie Daca variabilele X, Y
sunt independente, atunci si , respectiv
sunt independente.
1) ;
2) daca si
numai daca între variabilele X si Y exista o relatie de
legatura liniara.
Demonstratie 1) Fie ,
.
,
. Calculând media
variabilei aleatoare U, se
obtine :
.
Calculând discriminantul si impunând conditia ca acesta sa fie pozitiv, rezulta proprietatea data.
2) Fie ,
,
.
3.5 Repartitii discrete clasice
Repartitia binomiala
Parametrii acesteia sunt : ,
Repartitia Poisson
Parametrii acesteia sunt : ,
.
Repartitia Poisson poate fi scrisa si în forma:
,
.
Distributia hipergeometrica
.
Parametrii acesteia sunt : ,
Revenind la calculul parametrilor repartitiilor, se obtine :
Repartitia binomiala
Fie binomul :
.
Derivând dupa x, rezulta:
Înmultind cu x, rezulta:
Pentru
Daca derivam înca o data dupa x, rezulta:
si
înmultind cu x .
Pentru , de unde rezulta ca:
Repartitia Poisson
Considerând dezvoltarea în serie Taylor a functiei în jurul originii
rezulta:
,
.
Atunci
, adica
.
Pentru determinarea dispersiei este necesar sa se calculeze:
.
Prin urmare, repartitia
Poisson are .
Repartitia hipergeometrica
.
.
.
, unde
,
.
3.6 Mediana, cuantile, moda, asimetrie si exces
DEFINIŢIE Fie o variabila aleatoare care are densitatea
de repartitie
Se numeste moda a lui
si se noteaza cu
abscisa punctului de
maxim a lui
Daca are un singur
maxim, atunci
se numeste unimodala, iar daca are mai multe puncte de maxim se va
numi plurimodala.
EXEMPLU Se poate observa usor ca
daca
, atunci are
un singur maxim în
si deci
OBSERVAŢIE Între valoarea medie , mediana
si moda
exista asa numita relatie a lui
Pearson:
DEFINIŢIE Raportul
daca exista, se numeste asimetrie a repartitiei lui , sau a lui
DEFINIŢIE Expresia
daca exista se numeste exces.
OBSERVAŢIE Marimile sau indicatorii numerici definiti mai sus sunt utili în general în statistica pentru a studia diferite repartitii.
3.7 Functia de repartitie
DEFINIŢIE Pentru orice variabila aleatoare , de numeste functie de repartitie a lui
functia
.
OBSERVAŢIE Din definitie, se observa,
ca daca este o variabila
aleatoare discreta, atunci
este data de suma
tuturor probabilitatilor valorilor lui
situate la stânga lui
.
EXEMPLU Fie . Atunci, conform
definitiei :
Expresia
se numeste
salt al functiei
în punctul
si se
poate observa ca:
.
PROPOZIŢIE Daca este o variabila aleatoare discreta si
functia de
repartitie a acesteia, atunci pentru orice
doua numere date,
Are loc:
Demonstratie.
Fie ,
,
si
.
,
,
. Ca urmare a proprietatilor
probabilitatii , se poate scrie ca:
,
,
adica tocmai afirmatiile din propozitie.
PROPOZIŢIE Daca este functia de
repartitie a variabilei aleatoare
, atunci
,
(
este nedescrescatoare).
Demonstratie. Din propozitia 1.:
, adica
3.8 Functia generatoare de momente
DEFINIŢIE Daca exista, expresia
se numeste generatoare
de momente asociata variabilei aleatoare .
OBSERVAŢIE Precizarea ,,daca exista'' se
refera la convergenta sumei sau a integralei
când acestea o cer. Se presupune ca
si derivatele sale de ordin superior
exista. În plus, se constata ca:
OBSERVAŢIE Utilizarea functiei generatoare de momente este recomandata atunci când se pot calcula mai repede momentele decât pe cale directa.
EXEMPLU Fie ,
,
,
,
.
Atunci .
DEFINIŢIE Fiind date variabilele
aleatoare si
, se numeste variabil& 919b12j #259; aleatoare complexa
, unde
se numeste partea reala, iar
se numeste partea
imaginara. Valoarea medie a
lui
este, prin definitie
.
Fie o variabila aleatoare reala cu
functie de repartutie
este o variabila aleatoare complexa,
având
si deci, marginita. Valoarea
medie a acesteia exista si este o functie
,
, pe care o numim functie caracteristica a
variabilei aleatoare
.
DEFINIŢIE Numim
functie caracteristica a variabilei aleatoare expresia:
presupunând ca suma este convergenta.
PROPOZIŢIA 1
PROPOZIŢIA 2 Doua functii de
repartitie si
sunt identice daca si numai
daca functiile
lor caracteristice
si
coincid.
PROPOZIŢIA 3 Fie si
doua variabile aleatoare. Daca
, atunci
Demonstratie
.
PROPOZIŢIA 4 Daca si
sunt variabile aleatoare independente,
atunci
Demonstratie
PROPOZIŢIA 5 Daca momentul de ordinul (
) al unei variabile aleatoare
exista, atunci derivata
exista pentru
orice
si au loc
relatiile :
3.10 Probleme rezolvate
1. Variabila
aleatoare are
si
. Se cere o margine
inferioara pentru probabilitatea
Solutie.
Inegalitatea lui Cebîsev : ,
.
, deci
, de unde, conform inegalitatii lui Cebîsev:
.
2.
Pentru variabila aleatoare sunt cunoscute media
si momentul
initial de ordinul doi
. Stabiliti o margine inferioara pentru
probabilitatea
.
Solutie. Putem determina dispersia
variabilei
. Din
.
3. Sa se determine dispersia
variabilei aleatoare cu media
si daca inegalitatea lui
Cebâsev este
Solutie.
si
,
,
.
. Variabila aleatoare
discreta este data de
. Determinati
si aflati
.
Solutie. este variabila
aleatoare daca
astfel încât
,
.
Distributia variabilei este
.
.
5. Consideram ca si
sunt variabile
aleatoare independente, iar distributiile lor sunt:
Sa se scrie distributia variabilelor ,
,
,
. Pentru ce valori ale lui
?
Solutie.
Distributia variabilei
3.11 Probleme propuse
1. Fie X si Y doua variabile aleatoare discrete ale caror repartitii sunt date în tabelele incomplete de mai jos:
Y |
|
||||||
X | |||||||
|
|
|
|
| |||
|
| ||||||
|
|
|
|
| |||
|
|
|
|
Y |
|
||||||
X | |||||||
|
|
|
|
|
|||
|
| ||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a) Sa se completeze
tabelul în fiecare caz (daca este posibil) pentru ca sa
contina repartitia comuna () precum si repartitiile individuale (
) si (
) ale lui
si
;
b) scrieti variabilele
aleatoare si
corespunzatoare;
c) calculati .
2.
Fie variabilele aleatoare si
. Daca
sa se determine
repartitia comuna a variabilelor aleatoare
si
si apoi sa
se calculeze
.
3. Pentru variabilele aleatoare:
a) ; b)
;
a1)
calculati ,
,
,
,
,
;
a2) care din urmatoarele marimi pot fi calculate si care nu? De ce?
a3) calculati marimile de la punctul a2) pentru care raspunsul este afirmativ.
4. Fie
variabila aleatoare discreta
. Sa se calculeze functia generatoare
si apoi functia caracteristica si cu ajutorul acestora, pe
rând sa se determine
si
.
5. Calculati functia generatoare de momente si functia caracteristica pentru variabilele aleatoare
1) ; 2)
si apoi verificati daca momentele obtinute pe cale directa coincid cu cele obtinute cu ajutorul acestor functii.
6. Scrieti functia de repartitie si schitati graficul acesteia pentru variabilele aleartoare:
;
.
7. Fie variabilele aleatoare independente:
;
.
a) calculati ,
,
,
,
,
;
b) care din urmatoarele marimi pot fi calculate si care nu? De ce?
c) calculati marimile de la punctul b) pentru care raspunsul este afirmativ.
8. Fie
variabilele aleatoare si
. Daca
, sa se determine repartitia comuna a
variabilelor aleatoare
si
si apoi sa
se calculeze
. Sa se
faca discutie dupa
.
9. Daca ,
,
,
si
. Calculati
pentru:
.
10.
Sa se determine variabilele aleatoare si
, stiind ca
,
,
si
. Calculati apoi
,
si
presupunând ca X si
sunt independente.
11. Fie variabilele aleatoare
1) ; 2)
.
a) sa se determine variabilele aleatoare;
b) sa se scrie functia de repartitie;
c) Sa se reprezinte grafic
12. Fie
variabilele aleatoare si
. Daca
si
determinati
repartitia comuna a variabilelor aleatoare
si
si apoi
calculati
.
13.
Fie variabila aleatoare discreta
,
,
. Sa se
calculeze functia generatoare si apoi functia
caracteristica si cu ajutorul acestora, pe rând sa se determine
si
.
14. Sa se determine variabilele aleatoare:
si
stiind ca
si
. Sa se calculeze apoi
;
,
,
si
.
15.
Daca si
sunt doua
variabile aleatoare astfel ca
,
,
si
, sa se calculeze
pentru
stiind ca
.
|