Se numeste restul de rang 
al seriei 
seria:
si se noteaza cu 
Multimea de convergenta a seriei 
este si o multime de
convergenta a seriei . Avem insa urmatoarea teorema reciproca, analoga unei
teoreme de la seriile numerice.
Teorema: Conditia necesara si
suficienta pentru ca seria sa fie uniform
convergenta pe multimea 
, este ca restul sau , pentru orice 
sa fie uniform
convergenta pe multimea .
Demonstratie: 717g620h
Fie 
sumele partiale ale
seriilor de functii si 
Din egalitatea:
rezulta ca sirul de
functii 
este uniform
convergent pe multimea daca sirul 
este uniform
convergent pe multimea .
Observatii
1. Teorema enuntata mai sus este adevarata si pentru convergenta simpla.
2. Daca notam cu 
suma seriei si cu restul sau de rang urmeaza sa avem:
, de unde rezulta ca sirul 
este uniform
convergent (sau simplu convergent) catre functia pe multimea daca si numai daca
restul este uniform (sau
simplu) convergent catre zero pe multimea .
CURSUL 5
Exemplu:
Seria: 
... cu sirul
functiilor: 
definite pe 
seria este alternanta.
pentru 
, decseria este uniform convergenta pe multimea de definitie.
4. UN CRITERIU DE CONVERGENTA UNIFORMA
Teorema:
Fie 
+. o serie de functii definite pe o multime si 
o serie de numere
pozitive, convergente. Daca pentru orice si orice 
avem:
, atunci seria este uniform
convergenta pe multimea .
Demonstratie: 717g620h Seria 
de numere pozitive
fiind convergenta, pentru orice numar 
exista un numar 
astfel incat
pentru 
avem: 
, insa
pentru orice 
; prin urmare, seria de functii este uniform convergenta pe
multimea .
Exemplu:
Sa consideram sirul de functii 
cu 
; 
; seria: 
este
uniform convergenta pentru
orice 
, deoarece oricare ar fi exista 
cu 
deci 
si seria 
este seria lui Rieman
cu 
, care este convergenta
5. SERII DE FUNCTII UNIFORM CONVERGENTE
In legatura cu seriile de functii uniform convergente vom da doua teoreme fundamentale privind continuitatea si derivabilitatea functiei limita si care sunt analoage teoremelor demonstrate la siruri uniform convergente.
Teorema 1.
Fie ,.. un sir de functii definite pe o multime si o functie definita pe
multimea . Daca:
1. seria de functii +.. este uniform convergenta catre functia pe multimea si daca
2. toate functiile sunt continue pe , atunci functia suma este continua pe .
Demonstratie: 717g620h
Deoarece toate functiile sunt continue pe sumele partiale: sunt functii continue
pe . Sirul sumelor partiale fiind uniform
convergent pe multimea catre , conform teoremei 1 de la siruri uniform convergente, limita
este continua pe .
Teorema 2.
Fie ,.. un sir de functii definite si derivabile pe multimea . Daca:
1. seria de functii +.. este uniform convergenta catre functia pe multimea si daca
2. seria de functii 
+.. este uniform convergenta catre functia 
pe multimea , atunci functia este derivabila pe multimea
si derivata ei este .
Demonstratie: 717g620h
Sirul sumelor partiale ale seriei 
, este uniform convergent pe multimea catre functia .
Sirul sumelor partiale ale seriei 
este uniform convergent pe multimea catre functia . Conform teoremei 2 de la siruri de functii uniform
convergente, functia este derivabila pe
multimea si derivata ei este .
Exemplu:
Seria 
cu functiile 
este uniform
convergenta pe 
, functia suma este derivabila pe 
si derivata ei este egala cu suma seriei derivatelor. In
adevar, seria data este uniform convergenta pe deoarece:
cind pentru orice 
.
Seria formata cu derivatele termenilor:
este uniform
convergenta pe deoarece:
, cind pentru orice . Daca notam cu 
suma seriei date,
atunci este continua si
derivabila pe si 
.
|
