ANALIZA STĂRII DE TENSIUNE

III

Analiza stĂrii de tensiune

Mediul continuu este un model al unui corp material care se caracterizeaza printr-o distributie continua a masei īn volumul ocupat de corp. Īn studiul Rezistentei Materialelor, elementul de volum dv trebuie sa fie suficient de mic pentru ca sa poata fi tratat din punct de vedere matematic ca o marime infinit mica, dar suficient de mare pentru a cuprinde īn interiorul lui un numar de molecule, astfel īncāt efectul mediei statistice a comportarii moleculelor sa fie independenta de starea individuala a moleculelor. Fortele interne infinitetezimale dintr-un mediu continuu sunt concepute, de asemenea, ca valori medii statistice ale fortelor de interactiune dintre moleculele situate de o parte si de alta a unei sectiuni. Evident, aceleasi restrictii se impun si pentru aria dA, adica aceasta trebuie sa fie suficient de mica pentru a putea fi tratata din punct de vedere matematic ca marime infinit mica si suficient de mare pentru ca forta dF ce actioneaza asupra ei sa nu depinda de starea individuala a moleculelor cuprinse īn dA.

III.1 Tensiuni normale. Tensiuni tangentiale.
Dualitatea tensiunilor tangentiale

Ca urmare a cresterii sarcinilor exterioare, eforturile din interiorul corpului, fiecare din ele raspāndite pe sectiunea de calcul, nu mai au capacitatea sa se opuna, astfel ca materialul corpului īncepe sa se rupa īn zona cea mai solicitata din sectiune. Īn consecinta, este interesant de vazut modul de repartizare a eforturilor R_F, R_M pe sectiune.

Se considera pe fata pozitiva de arie A a unei sectiuni fictive īn jurul unui punct M o arie elementara dA, fig. (III.1), pe care este repartizat efortul elementar dR_F rezultat ca urmare a discretizarii eforturilor R_F si R_M. Se defineste tensiunea medie ca raportul:

(III.1)

Fig. III.1 Te 353p158d nsiunea medie p_{x med}

Deoarece mediul este considerat continuu, la limita obtinem tensiunea p_x īn punctul M; prin x se indica orientarea suprafetei pe care se calculeaza tensiunea:

[MPa] (III.2)

spatiala, punānd conditiile m = 0, s_z t_zx

;

plana, punānd conditiile s_z t_zx

.

, (III.87)

. (III.88)

. (III.89)

Tensiunile principale se deduc anulānd derivata expresiilor tensiunilor. Īn cazul tensiunilor normale:

(III.90)

Se observa ca si pentru starea liniara pe directia tensiunilor normale principale, tensiunile tangentiale sunt nule. Sintetizānd cele prezentate, se poate scrie p_n = p_nx = s_x s s. Īn solicitarea axiala tensiunea normala se simbolizeaza simplu s fara indice.

Īnlocuind valorile lui a deduse īn expresia lui s_a (III.74), rezulta s si s

Se verifica invariantul tensiunilor normale:

Determinarea tensiunii tangentiale extreme se face prin anularea derivatei functiei tensiunii t_a

(III.91)

Īnlocuind valorile lui a pentru directiile principale 6 si 6' īn expresia lui t_a (III.88), rezulta t si t . Tensiunile normale pe aceste directii se determina prin folosirea relatiei (III.86):

Se verifica dualitatea tensiunilor tangentiale: .

Pentru redarea imaginii starii liniare de tensiune (planul zx) din jurul unui punct, se procedeaza astfel:

se reprezinta cubul elementar din jurul punctului M prin fata din planul zx;

se studiaza cazul pentru suprafetele orientate cu unghiurile si ;

la o scara mai mica se reprezinta elementul studiat pentru .

Fig. III.25 Starea liniara de tensiune