Actiunea fluidelor in repaus pe peretii solizi

Actiunea fluidelor în repaus pe peretii solizi

Actiunea fluidelor în repaus pe peretii solizi cu care sunt în contact se calculeaza însumând fortele elementare de presiune:

(4.1.)

unde: este normala la elementul de suprafata al peretelui, orientata spre fluid.

Daca suprafata peretelui este curba, oarecare, fortele elementare sunt oarecare în spatiu si efectul lor este un torsor format din rezultante

(4.2.)

ti momentul în raport cu originea sistemului de axe ales:

(4.3.)

Aceste integrale se pot calcula cunoscând ecuatia de repaus absolut sau relativ a presiunii si implicit repartitia presiunii p în fluid precum si ecuatia suprafetei A. În cele ce urmeaza se trateaza numai cazul repausului absolut.

4.1. Teorema actiunii fluidelor în repaus pe peretii plani

Pentru un perete plan, normala corespunzatoare fiecarui element de suprafata este constanta ca marime si directie si deci fortele elementare de presiune sunt paralele si de acelasi sens, iar expresia (4.2.) devine:

(4.4.)

Deci rezultanta este o 15515p1516p forta normala la peretele plan considerat si este orientata dinspre fluid spre perete. Momentul rezultant al fortelor elementare dF, dat de relatia (4.3.) se scrie sub forma:

(4.5.)

Momentul rezultantei (4.4.), în report cu originea este:

(4.6.)

unde C este punctul de aplicatie al rezultantei, numit centru de presiune. Se aplica teorema lui Varignon sistemului de forte elementare de presiune paralele, potrivit careia suma momentelor fortelor elementare, , este egala cu momentul rezultantei, , si rezulta expresia vectorului de pozitie al centrului de presiune:

a)    În cazul actiunii fluidelor usoare pe un plan s-a demonstrat ca în acest caz presiunea este constanta în toata masa fluidului.

Deci

(4.8.)

(4.9.)

unde este vectorul de pozitie al centrului de greutate.

Prin urmare actiunea unui fluid usor în repaus pe un perete plan este echivalenta cu o forta cu modulul cel putin egal cu produsul dintre presiunea fluidului si aria suprafetei peretelui, directia normala la suprafata, sensul de la fluid catre perete iar punctul de aplicatie în centrul de greutate al peretelui.

b)    În cazul actiunii fluidelor grele (lichide) în repaus pe peretii plani presiunea într-un punct oarecare din masa lichidului se calculeaza cu formula cunoscuta :

(4.10.)

întrucât pe o suprafata a peretelui actioneaza lichidul iar pe cealalta fata aerul atmosferic trebuie luata în consideratie presiunea relativa . Ca atare:

(4.11.)

(4.12.)

afata de suprafata libera a lichidului. Se alege sistemul de axe yOz în planul suprafetei A cu axa Oy în planul suprafetei libere iar axa Oz, în lungul liniei de cea mai mare panta a peretelui înclinat.

Fig. 4.1.

Pentru a putea ajunge la reprezentarea din figura 4.1. trebuie sa rotim planul yOz cu 90 în jurul axei Oz aducând astfel suprafata A în aceasta forma si marime în planul figurii. Fie un element de suprafata dA situat la adâncimea y fata de suprafata libera a apei. Corespunzator suprafetei dA suprapresiunea va fi .

(4.13.)

(4.14.)

Dar reprezinta momentul static al suprafetei A în raport cu axa y.

(4.15.)

unde este coordonata centrului de greutate al suprafetei A în raport cu axa y. Deci :

(4.16.)

Forta de presiune ce actioneaza asupra peretelui plan este egala în modul cu greutatea cilindrului de apa ce are ca baza suprafata A iar ca înaltime distanta de la centrul de greutate al acestei suprafete la planul plutirii atmosferice.

Pentru determinarea centrului de presiune G aplicam formula (4.12.):

g la aceeasi înaltime în fiecare vas si daca sectiunea A de la fundul lor este aceeasi nedepinzând de cantitatea de lichid din vas si de forma sectiunii fundului vaselor.

Ea este însa functie de înaltimea a lichidului din vas. Se observa ca, de asemenea, pe peretii laterali ai vaselor fortele hidrostatice sunt diferite.

Fig. 4.4.

d grosimea peretilor conductei (vezi figura 4.7.).

deoarece în cazul conductelor sub presiune. Efortul în sectiunea 1-1:

(4.43.)

de unde:

(4.44.)

4.7. Împingerea apei pe o suprafata oarecare

Fie o suprafata oarecare în spatiu si Oxy planul suprafetei libere a apei reprezentata în figura 4.8.

Fig. 4.8.

În centrul elementului dA situat la adâncimea z sub nivelul apei va actiona presiunea

(4.45.)

Daca se noteaza cu unghiurile pe care le face normala la elementul dA respectiv cu axele x, z, y, forta hidrostatica elementara:

(4.46.)

va avea componentele:

(4.45.)

unde sunt proiectiile elementului dA pe planele normale, respectiv la directiile x, y si z.

Ţinând seama ca presiunea atmosferica actioneaza pe ambele fete ale elementului integrarea ne conduce la proiectiile fortei rezultante de împingere a apei pe suprafata considerata:

(4.46.)

Rezultanta este: (4.47.)

si are orientarea data de unghiurile:

; ; (4.48.)

În ce priveste punctele de aplicatie ale componentelor , si ele se calculeaza ca si în cazul suprafetelor plane sau cilindrice.

De aici rezulta ca problema împingerii apei pe o suprafata oarecare se reduce la împingerea pe trei suprafete plane, care sunt proiectiile suprafetei considerate pe cele trei plane considerate.

iar pe suprafata :

(4.50.)

unde notatiile au aceleasi semnificatii cunoscute anterior.

De aici rezulta ca fortele de împingere dupa directia Ox care actioneaza pe suprafata totala a corpului este nula:

(4.51.)

În mod identic se poate arata ca dupa orice directie orizontala împingerea lichidului asupra corpului este nula. Proiectând corpul pe planul yOz împingerea apei pe suprafata este:

(4.52.)

unde este volumul real de lichid cuprins între suprafata a corpului si proiectia ei .

Pe suprafata :

(4.53.)

unde este volumul de apa (real sau fictiv) cuprins între suprafata si proiectia ei ; se observa ca acest volum este egal cu volumul real de apa plus volumul corpului V care este un volum de apa fictiv. Împingerea apei dupa directia verticala z:

(4.54.)

si ea este orientata de jos în sus.

Rezulta deci ca împingerea ascensionala rezultanta pe care un lichid o exercita asupra suprafetei unui corp scufundat partial sau total în el este egala în valoare absoluta cu greutatea volumului de lichid dezlocuit.

Aceasta constituie ceea ce se numeste obisnuit principiul lui Arhimede.

Folosind cunostintele anterioare se poate arata ca forta ascensionala a lui Arhimede trece prin centrul de greutate al volumului de lichid dezlocuit, care coincide cu însusi centrul de greutate al corpului numai la corpuri omogene.

Trebuie subliniat ca principiul lui Arhimede ramâne valabil în cazul în care corpul este partial scufundat în lichid (cazul plutitorilor).

Fig. 4.10.

Astfel un corp partial scufundat în lichid (plutitor), marginit de o suprafata A. O portiune din suprafata A se gaseste sub planul plutirii si se numeste carena sau suprafata imersa, iar cealalta portiune se gaseste deasupra planului plutirii, si se numeste suprafata emersa.

Portiunea din volumul închis de suprafata A situata sub planul plutirii libere va avea un volum notat cu si numit volum de carena.

(4.55.)

Dezvoltând cele doua integrale din relatia (4.55.) va rezulta:

(4.56.)

Întrucât constant prima integrala este nula iar a doua se poate transforma în integrala de volum utilizând formula integrala a gradientului (Gauss-Ostrogradski) dupa ce vom închide suprafata A. astfel:

(4.57.)

Se observa ca am scazut valoarea care nu altereaza rezultatul final deoarece punctele suprafetei au z=0 si deci este nula.