CALCULUL CAMPULUI ELECTROSTATIC IN MEDII LINIARE, NEOMOGENE, FOLOSIND METODA ELEMENTELOR FINITE.

Calculul campului electrostatic in medii liniare, neomogene, folosind metoda elementelor finite.

3.1. Prezentarea metodei elementelor finite

Regimul electrostatic al campului electromagnetic in medii liniare, neomogene si fara polarizatie permanenta, pentru un domeniu W marginit de frontiera W, este descris, prin intermediul functiei scalare a potentialului electric V, de o ecuatie cu derivate partiale de tip Poisson

valabila in tot domeniul W, si de conditiile la limita, comportarea potentialului pe frontiera W si pe suprafetele de discontinuitate din interiorul domeniului. Pe frontiera se pot prescrie valorile potentialului, (conditii de tip Dirichlet), sau componenta normala a inductiei electrice, (conditii de tip Neumann), sau valorile potentialului pe o parte W_D a lui W, si componenta normalaa inductiei electrice pe cealalta parte W_N. Pe suprafetele de discontinuitate se precizeaza relatia intre componentele normale ale inductiei electrice de pe cele doua fete ale suprafetei si eventuala densitate de suprafata a sarcinii electrice adevarate

Sursele functiei potential, adicadensitatile volumice de sarcina adevarata r_v cat si densitatile de suprafata sau de linie asociate suprafetelor si respectiv curbelor de discontinuitate trebuie sa fie precizate.

Modelul diferential de mai sus se rezolva numeric de obicei prin metoda diferentelor finite, sau cum s-a prezentat anterior prin metoda sarcinilor echivalente. Se cunoaste din calculul variational posibilitatea transformarii problemelor de ecuatii cu derivate partiale in probleme de minimizare a unor functionale. In cazul campului electrostatic functionala de minimizat are semnificatia diferentei dintre energia campului electrostatic si cea de interactiune intre camp si sarcina adevarata

Se observa ca in functionala apare un termen asociat conditiei de frontiera de tip Neumann sau suprafetelor de discontinuitate, daca exista, iar valorile impuse ale potentialului intervin in calculul energiei de interactiune. Distributiile liniare de sarcina sau sarcinile punctiforme apar in functionala prin trecerea la limitain integrala termenului de interactiune, obtinandu-se termeni de forma

Problema s-a transformat acum in aceea a determinarii functiei de potential V care sa satisfaca conditiile de valori impuse, conditia Dirichlet, si sa asigure valoarea minima pentru functionala. Problema se reduce astfel la o problema de programare matematica pe spatiul determinat de functiile ce verifica conditii de continuitate si derivabilitate, care sunt mai putin severe decat in cazul problemei diferentiale initiale (s-a redus cu o unitate ordinul de derivare) si care functii verifica conditiile de valori impuse pe frontiera.

O metodade rezolvare aproximativaa problemei de minimizare a functionalei este cea a lui Rayleigh - Ritz, metodapentru care exista criterii riguroase de convergenta. Se formeaza un subspatiu al spatiului admisibil in minimizarea functionalei, subspatiu finit 656h79g dimensional generat de o baza de functii, j_i , i = 1,, n, unde n este dimensiunea subspatiului. Se cauta in acest subspatiu functia care asigura cea mai mica valoare pentru restrictia functionalei la acest subspatiu. Aceasta functie, sa o notam V, va fi o combinatie liniara a functiilor de baza j_i

Valorile V_i reprezintacomponentele functiei V in raport cu baza subspatiului. Restrictia functionalei la subspatiul generat de functiile j_i, pe care o vom nota f, este acum o simpla functie de n variabile, chiar o forma patratica in cele n componente ale lui V, forma patratica pozitiv definita datorita naturii eliptice a problemei de la care s-a plecat

Tinand cont de liniaritatea operatorului de derivare spatiala se obtine

Problema se reduce la determinarea minimului fara restrictii al acestei functii de mai multe variabile. Pentru determinarea valorilor V_i se pune conditia necesara de minim, anularea derivatelor functiei f in raport cu componentele V_i ale lui V si se obtine un sistem de ecuatii algebrice, in cazul nostru chiar un sistem liniar

Sistemul liniar obtinut prezinta o buna conditionare numerica, intrucat forma patratica era pozitiv definita. Pentru rezolvarea lui se pot folosi atat metode directe, cat si metode iterative. Singura dificultate consta in calculul integralelor de volum si de suprafata, dificultate legata de expresia functiilor ce formeaza baza subspatiului, de forma domeniului W si a frontierei acestuia W. Functiile de baza cu expresii complicate fac dificila gasirea primitivelor in calculul integralelor, trebuind sa se apeleze la cvadratura numerica, care deobicei necesita o anume forma a domeniului pe care se face integrarea. De aceea se apeleaza la transformari geometrice pentru aducerea domeniului la forme regulate. Toate aceste dificultati de aplicare a metodei au condus la aparitia metodei elementelor finite, ca o metoda particulara in cadrul metodelor de tip Rayleigh - Ritz.

Relatiile (3. 8) se pot obtine si prin cautarea asa numitei solutii slabe, adica a unei functii, fie ea V, in subspatiul generat de functiile j_i, deci tot o combinatie liniara a acestor functii, care sa conduca la o functie abatere a verificarii relatiei diferentiale (3.1) ortogonala pe toate componentele bazei. Ortogonalitatea este definita in raport cu produsul scalar construit in subspatiul de aproximare prin intermediul integralei pe domeniul W a produsului oricarei perechi de functii din acest subspatiu

Folosind formula lui Green asociata integralelor de volunm si de suprafata se ajunge la acelasi sistem de ecuatii ca si cel obtinut prin derivarea functionalei energiei.

Proprietatea de convergenta a solutiei slabe la solutia problemei (3. 1) este determinata de operatorul diferential de tip eliptic prezent in problema initiala.

Construind un tip special de functii de baza, al caror suport sa nu mai fie intregul domeniu W, ci doar o mica portiune a acestuia, a caror expresie analitica sa fie de tip polinomial, pentru a simplifica calculul integralelor, si asociind coeficientii V_i cu potentialul electric in puncte ale domeniului, puncte numite noduri, se ajunge la varianta nodala a metodei elementelor finite. Functiile de aproximare sunt de obicei doar continue pe multimea pe care sunt definite, functii de tip Lagrange, putandu-se apela si la functii derivabile pe tot suportul, functii de tip Hermite, cu pretul sporirii gradului polinoamelor folosite.

Domeniul W se considera o reuniune de subdomenii disjuncte W_k, cu k = 1,,n_te, unde n_te este numarul total de elemente finite folosite pentru descrierea problemei. De obicei nodurile sunt puncte apartinand frontierei intre elemente (desi se folosesc si noduri definite in interiorul elementelor), iar functiile de aproximare j_i sunt asociate nodurilor. Suportul functiei j_i este domeniul W_ji construit prin reunirea elementelor finite ce contin nodul de indice n_i asociat functiei. Se noteaza cu E_ji multimea indicilor elementelor ce contin nodul n_i (care formeaza domeniul W_ji) si cu E_jij multimea indicilor elementelor ce contin atat nodul de indice n_i, cat si nodul de indice n_j (intersectia multimilor E_ji si E_jj). Se mai noteazacu N_Wk multimea indicilor nodurilor aflate in domeniul W_k sau pe frontiera sa si cu M_i coordonatele nodului de indice n_i (tripleta x_i, y_i, z_i), iar cu n_tn - numarul total de noduri. Acest numar are aceeasi valoare ca si numarul n, dimensiunea spatiului de aproximare.

Se presupune ca pe frontierele intre elemente componenta normala a inductiei electrice satisface relatia de continuitate

unde p sunt indicii functiilor de aproximare care contin in suportul lor regiunea cu densitate de sarcina adevarata. Se obtine astfel forma ecuatiilor (3.9), in care integralele pe intregul domeniu W sunt inlocuite cu sume de integrale pe elemente, si anume pe toate elementele care contin nodul asociat functiei j_i (cu indici in multimea E_ji

in final se obtine

Cu aceasta putem rescrie relatia (3.12)

Ecuatiile sistemului liniar se scriu sistematic introducand urmatoarele notatii

In termenul B_i integrala de volum asociata densitatii volumice de sarcina adevarata, poate fi trecuta la limita intr-o integrala de suprafata in cazul distributiilor de suprafata a sarcinii adevarate, sau chiar intr-o integrala curbilinie la distributiile lineice. De obicei aceste distributii sunt chiar pe fetele elementelor sau se urmareste alegerea elementelor astfel incat sarcinile sa se gaseasca pe fetele sau pe muchiile lor. In cazul sarcinilor punctuale, pentru care in fond distributia de sarcina volumica este de tip Dirac, integrala de volum din (3.15) se reduce la o distribuire la nodurile elementului in interiorul caruia se afla punctul cu sarcina electrica adevarata a valorii acesteia. Regula de distributie este dictata de valorile functiilor de aproximare in pozitia corespunzatoare punctului cu sarcina concentrata. Cum suma functiilor de aproximare este egala cu 1 in orice punct din domeniul W, conditie ce este asociata cerintei de reprezentare a unui camp de potential uniform, rezulta ca suma fractiilor asociate nodurilor frontierei domeniului W va fi egala cu valoarea sarcinii punctuale.   

Sistemul liniar va fi

pentru toate nodurile i de potential necunoscut si nodurile k de potential impus.

Sistemul liniar se rezolva de obicei cu o metoda directa, o factorizare Choleski (sau LDU) utila pentru solutii repetate asociate la diversi termeni liberi. Datorita suportului restrans al functiilor j_i sistemul are putini termeni in fiecare ecuatie, deci se folosesc in mod intens schemele de lucru cu matrici rare.

3.2. Tipuri de elemente finite folosite

Prezentarea anterioara a facut abstractie de forma particulara a elementelor finite. Exista doua mari directii de construire a elementelor finite pentru analiza de tip nodal: elemente finite construite direct in spatiul W si elemente finite numite izoparametrice, construite intr-un domeniu de referinta si apoi realizarea unei transformari a acestui domeniu in spatiul W

Elementele finite din prima categorie sunt elementele construite cu polinoame chiar in spatiul geometric W, coeficientii acestor polinoame fiind determinati pe baza proprietatilor impuse acestor polinoame la (3.10). Se observa ca pentru un tip simplu de tetraedru cu noduri doar in varfuri, exista patru conditii pentru fiecare polinom asociat nodului. Functiile de aproximare vor fi polinoame de gradul unu in x, y si z. Cum pentru asemenea polinoame sunt necesari patru coeficienti, conditiile (3.10) sunt suficiente. Sistemele pentru determinarea coeficientilor polinoamelor asociate nodurilor unui element au aceeasi matrice si difera prin termenii liberi, mai precis prin pozitia unicei valori nenule, unu. Se va inversa matricea rezultata din coordonatele celor patru noduri si se vor determina coeficientii polinoamelor prin patru operatii de inmultire cu inversa. Stabilitatea numerica a acestui procedeu simplu este determinata de pozitiile nodurilor tetraedrului: cu cat acestea sunt mai apropiate de o pozitie coplanara cu atat matricea va fi mai prost conditionata. Cu aceste polinoame usor determinate dificultatile sunt legate de efectuarea integralelor de volum, si anume de impunerea limitelor la transformarea integralelor de volum in integrale triple. Folosirea unui element de tip tetraedral dar si cu noduri pe muchii, putand avea deci fete neplane, devine complicata. Astfel ca frontiera lui W se reprezinta in aceasta metoda de constructie a polinoamelor de aproximare ca o reuniune de mici suprafete plane.

3.2.1. Elemente izoparametrice

Elementele izoparametrice sunt construite in spatiul de referinta si apoi se face o transformare bijectiva intre domeniul de referinta si regiunile geometrice in care a fost divizat domeniul W. Trebuie doar sa coincida tipul corpului geometric din spatiul de referinta si cel din spatiul real. Elementele izoparametrice se pot construi cu usurinta pornind de la cele de dimensiune inferioara. In cele ce urmeaza se va arata inductiv cum se construiesc asemenea elemente.

Elementele unidimensionale se deduc constructiv, plecand de la segmentul cu doua noduri la capete si cu cele doua polinoame de interpolare de gradul intai (fig. 3.1). Functiile de aproximare pentru acest element sunt

Se observa ca trecerea se face simplu de la domeniul de referinta la spatiul real, ca orice integrala pe spatiul real se transforma cu usurinta intr-o integrala pe spatiul de referinta. Integralele care nu necesita derivate in raport cu coordonatele spatiului real,cum sunt cele din termenii B, se calculeaza imediat cu schimbarea de variabila (3.19), ca integrale in spatiul de referinta de la -1 la 1. Integralele din termenii A necesitand derivatele functiilor de aproximare in raport cu variabilele spatiului real se vor face tinand cont de formulule de derivare a functiilor compuse si de expresia derivatei unei functii inverse scrisa cu ajutorul derivatei functiei directe

Ultima derivata din (3.20) se obtine prin inversarea directa a relatiei de legatura dintre spatiul de referinta si spatiul real, in acest caz simplu; pentru elemente cu puncte intermediare pe segment, la care relatia de legatura intre spatiul de referinta si spatiul real este mai complicata, se aplica teorema functiilor implicite, care ofera tocmai valoarea acestei derivate

Un element cu mai multe noduri se construieste cu usurinta in spatiul de referinta, alegand pozitia x a unui nod nou intre cele doua noduri de la capat si impunand conditii de tip (3.10) pentru aceasta functie in raport cu nodurile 1, 2 si 3

Din prima si din ultima conditie rezulta

iar din a doua conditie se obtine

si deci

Alegerea uzuala este x = 0, dar nu sunt excluse si alte alegeri, de obicei legate de dispunerea punctului intermediar in spatiul real, pentru a avea o metrica cat mai uniforma a trecerii portiunilor din segmentul de referinta in segmentul real.

Celelalte doua functii j x) si j x) se vor modifica astfel ca suma tuturor functiilor sa aiba in orice punct al segmentului valoarea 1. Astfel, notand cu j x) si j x) functiile de aproximare de la elementul cu doua noduri, avem

si din suma 1 pentru orice x avem o conditie pentru a si b

iar in x functiile j si j iau ambele valoarea 0

deci

si atunci

Se observa construirea lor pe baza functiilor de la segmentul cu doua noduri. Functiile contin pe langa termenii liniari in cele doua variabile si    un termen de ordin superior. Acest tip de element construieste un spatiu de functii complet pentru polinoamele de gradul intai, si cum intensitatea campului electric este derivata potentialului, se poate reda exact un camp electric uniform. Folosind transformarea de coordonate prezentata la elementul unidimensional putem pune in corespondenta patratul de referinta cu un patrulater oarecare. Daca patrulaterul cu care se face corespondenta este convex, transformarea va fi bijectiva, determinantul functional va avea un semn constant legat de de coincidenta sau nu a sensului de rotatie pozitiv din planul real cu sensul de rotatie rezultat la parcurgerea nodurilor declarate ale patrulaterului din planul real. Daca cele doua sensuri de rotatie coincid, determinantul va avea mereu semnul plus si respectiv minus la necoincidenta. O schimbare de semn a determinantului la parcurgerea patratului din planul de referinta indica un patrulater concav in planul real. In acest caz trebuie redefinit patrulaterul din planul real. Cu cat unghiurile patrulaterului din planul real sunt mai apropiate de un unghi drept, cu atat valoarea determinantului functional va fi mai uniforma pentru toate punctele patratului de referinta si nu vor apare probleme legate de stabilitate numerica. De asemenea nu trebuie sa existe o disproportie intre dimensiunile patrulaterului din planul real; experimental s-a observat ca un raport intre latime si lungime mai mare ca trei poate produce probleme numerice. Curbele de coordonate din planul de referinta trec in drepte asa cum se vede in figura 3.5. Relatiile de transformare intre coordonatele din spatiul de referinta si spatiul real sunt

Pentru calculul derivatelor functiei potential in raport cu coordonatele din spatiul real, derivate care apar in termenii A din sistemul de ecuatii (3.17), este nevoie sa se inverseze matricea de transformare si sa se foloseasca formula de derivare a unei functii compuse

Derivatele partiale in raport cu coordonatele spatiului real se calculeaza din derivatele partiale in raport cu coordonatele din spatiul de referinta cu ajutorul matricei de transformare

Adaugarea de noduri suplimentare se poate face in maniera descrisa la elementul unidimensional. Se poate adauga, de exemplu, un nod intermediar pe latura dintre nodurile 1 si 2 la mijlocul acesteia, latura denumita 1 in notatiile din figura 3.4, notatii consacrate in realizarile practice de programe de element finit cu elemente izoparametrice. Functia de interpolare a acestui nod, care trebuie sa se anuleze in toate cele patru varfuri, va fi

si va modifica functiile nodurilor 1 si 2 conform mecanismului discutat la elementul unidimensional

Celelalte doua functii, pentru nodurile 3 si 4, raman nemodificate. Posibilitatea construirii elementelor cu mai multe noduri pe muchie asigura redarea unor frontiere curbe si folosirea unor functii de aproximare de ordin superior in regiunile in care functia potential are o variatie mai rapida. De asemenea, pentru a realiza compatibilitatea intre tipuri de elemente cu numar de noduri diferit pe muchie, pot fi construite elemente cu numar variabil de noduri de la 4 la 8. In aceeasi maniera se pot construi si triunghiuri izoparametrice cu 3 sau 6 noduri, folosind un sistem de coordonate natural in planul de referinta, bazat pe ariile celor trei triunghiuri determinate de laturi si un punct interior triunghiului. Elementul izoparametric triunghi este util pentru redarea comoda a frontierelor.

Elementele tridimensionale in spatiul de referinta pot fi de tip cub cu opt sau mai multe noduri, prisma cu sase sau mai multe noduri si tetraedru cu patru sau mai multe noduri. Elementul de tip hexaedru cu opt noduri este descris de urmatoarele functii de aproximare

Se observa modul constructiv in care se obtine acest element, plecand de la elementul unidimensional. Transformarea geometrica ce foloseste functiile de aproximare se construieste in acelasi mod ca si in cazul elementului bidimensional, si apar aceleasi probleme legate de matricea transformarii si de determinantul functional, de sensul de numerotare a nodurilor pentru elementul hexaedral din spatiul real. In spatiul real hexaedrul trebuie sa fie convex si cat mai apropiat de un paralelipiped pentru a avea o buna stabilitate numerica

matricea transformarii geometrice (jacobian)

precum si inversa ei, necesara pentru calculul derivatelor functiei potential in raport cu coordonatele din spatiul real

si derivatele functiei potential in raport cu coordonatele din spatiul real folosind formula de derivare prin parti

3.3. Elementele finite de tip plan pentru calculul potentialului electric

Izolatia transformatoarelor se caracterizeaza, in general, prin structuri tridimensionale, dar abordarea problemei calculului exact al solicitarilor electrice in asemenea structuri este deosebit de dificila. Cu o buna aproximatie, solicitarile electrice ale izolatiei pot fi determinate cu ajutorul unor structuri mai simple, ce descriu suficient de exact configuratia geometrica si de material locala sau intr-o anumita vecinatate. Structurile locale pot fi studiate in aproximatia campului plan-paralel, iar cele corespunzatoare unei vecinatati mai mari - in aproximatia campului cu simetrie axiala (cilindrica). Acestor aproximatii le vor corespunde elemente finite bidimensionale, de tip plan-paralel sau plan-radial. In cele ce urmeaza se va aborda elementul finit de tip plan-paralel, care va fi numit simplu element (finit) plan.

Sistemul de coordonate in care se descrie geometria si functionala (3. 3) este cel cartezian. Particularitatea modelarii plan-paralele provine din independenta in raport cu cooordonata axiala z atat a geometriei cat si a conditiilor la limita. Astfel, desi este descrisa intr-un sistem de coordonate cartezian Oxyz, pozitia unui punct este determinata doar de x si y

Tinand cont de independenta modelului de coordonata z, operatorul spatial de derivare devine

Sistemul de coordonate din spatiul de referinta este de tip plan, caracterizat de coordonatele x si h, astfel ca derivatele coordonatelor din spatiul real in raport cu coordonatele spatiului de referinta au forma

In modelarea plan-paralela elementul de volum este o prisma dreapta, de inaltime unitate (h = 1). Daca notam cu ds aria sectiunii in planul Oxy printr-o asemenea prisma elementara, capatam expresia volumului ei

Atunci integralele asociate coeficientilor matricii sistemului liniar (3.16) devin

Integralele de mai sus, care la origine erau integrale de volum, au devenit integrale de suprafata, calculate pe sectiunea plana. Folosind transformarea intre spatiul de referinta si cel real, deci intre planul (x h) si planul (x, y), aria elementului infinitezimal de suprafata devine

Expresia din interiorul modulului este determinantul matricii transformarii intre spatiul de referinta si cel real

sau, explicit,

Pentru calculul derivatelor spatiale in raport cu coordonatele din spatiul real folosim formula de derivare a unei functii compuse si avem nevoie de inversa matricii de transformare

De aici rezulta expresiile derivatelor coordonatelor din spatiul de referinta in raport cu coordonatele spatiului real

In urma schimbarii de variabile in x si h, integralele din (3.37) devin calculabile ca integrale duble in raport cu variabilele spatiului de referinta

Calculul integralei de mai sus pentru elementele izoparametrice cu muchii drepte s-ar putea efectua in forma analitica, determinand primitiva, avand la dispozitie forma analitica a elementelor matricii de transformare din (3.40). Pentru o tratare unitara a tuturor elementelor izoparametrice se prefera insa folosirea cvadraturii numerice (cu formule de cuadratura de tip Gauss). Calculul integralelor duble se reduce la o suma dubla

Termenii liberi din realatia (3.15) provin o parte din integrala sarcinii distribuita volumic si o parte din integrala sarcinii cu distributie superficiala. Pentru termenii de volum discutia anterioara se aplica fara nici o modificare, aceeasi succesiune de modificari ale integralei de volum

Pentru termenii asociati densitatii superficiale de sarcina r_S trebuie avut in vedere faptul ca pentru campul plan-paralel suprafata laterala a elementelor este suprafata laterala a unor prisme drepte, iar in sectiunea plana ea corespunde laturii patrulaterului. Integrala de suprafata va trece intr-o integrala de linie. Deplasarea pe latura in spatiul real corespunde deplasarii pe latura corespunzatoare din spatiul de referinta, pe care variaza numai una dintre variabilele x sau h. Daca presupunem ca latura este chiar latura 1, deci in spatiul de referinta coordonata x ia valoarea 1 iar coordonata h ia valori in [-1,1], atunci putem descrie pozitia unui punct curent pe latura l₁ precum si un segment infinitezimal orientat de-a lungul aceleiasi laturi

iar pentru lungimea segmentului infinitezimal

Elementul de arie de pe suprafata laterala corespunzand acestui segment infinitezimal este (cu h = 1)

iar dupa transformari in aceeasi succesiune ca si la integrala de volum, obtinem

Calculul integralei de suprafata pe latura elementului s-a redus la o integrala pe latura corespunzatoare din spatiul de referinta, care in cele din urma prin cuadratura trece intr-o suma de produse intre densitatea de sarcina, elementul de lungime de-a lungul laturii si ponderile de cuadratura

In modelarea plan-paralela mai pot apare densitati lineice de sarcina, repartizate pe fire axiale, perpendiculare pe planul Oxy. In sectiunea plana acestor fire le corespund puncte, care pot sau nu sa coincida cu nodurile retelei de discretizare. Corespunzator acestor distributii lineice, mai apare un termen in membrul drept. Acest termen se obtine din (3.44), introducand o distri- butie de sarcina de tip Dirac, r d(x₀,y₀), unde indicele 0 precizeaza punctul din spatiul real, r este valoarea densitatii lineice de sarcina, iar x₀ si y₀ reprezinta coordonatele punctului in acelasi spatiu real. Transformarile succesive ale acestui termen sunt urmatoarele

unde x si h reprezinta coordonatele in spatiul de referinta ale punctului (x₀, y₀) din spatiul real. Pentru determinarea acestor coordonate trebuie inversata transformarea (3.34). Daca pentru elementele cu dependenta liniara aceasta inversare se poate face chiar analitic, pentru cele de ordin superior aceste coordonate se determina prin calcul iterativ. Se utilizeaza de obicei un algoritm de tip Newton-Raphson, care pentru un element plan izoparametric oarecare si pentru functiile diferenta intre coordonatele aproximantului la pasul k si coordonatele punctului (x₀,y₀) se scrie astfel

Valorile de pornire ale procesului iterativ se iau x h = 0, care corespund unei pozitii in centrul elementului.

3.4. Elementele finite de tip plan-radial (axial simetric) pentru calculul potentialului electric

Structurile    uzuale in studiul campului electric in izolatia transformatoarelor se caracterizeaza printr-o simetrie cilindrica care se descrie in cadrul modelarii prin element finit de analiza axial simetrica. Modelarea axial simetrica beneficiaza de posibilitatea descrierii geometriei ca functie de numai doua coordonate, ca in analiza plana, dar luand in considerare repartitia spatiala a campului. Sistemul de coordonate in care se descrie geometria si functionala (3. 3) este cel cilindric. Particularitatea modelarii axial simetrice provine din independenta in raport cu cooordonata unghiulara j atat a geometriei cat si a conditiilor la limita. Astfel, cu toate ca pozitia unui punct este descrisa intr-un sistem de coordonate cilindric, este determinata doar de coordonatele r si h

Tinand cont de independenta modelului de unghiul j, operatorul spatial de derivare in coordonate cilindrice devine

Sistemul de coordonate din spatiul de referinta este de tip plan, caracterizat de coordonatele x si h, astfel ca derivatele coordonatelor din spatiul real in raport cu coordonatele spatiului de referinta au forma

Elementul de volum in modelarea axial simetrica este un tor, deci daca notam cu    ds aria sectiunii radiale prin acest tor infinitezimal capatam expresia volumului sau

Atunci integralele asociate coeficientilor matricii sistemului liniar (3.16) devin

Integralele de mai sus, care la origine erau integrale de volum, au devenit integrale de suprafata calculate pe sectiunea radiala. Folosind transformarea intre spatiul de referinta si cel real, deci intre planul (x h) si planul (r, h), aria elementului infinitezimal de suprafata devine

Expresia din interiorul modulului este determinantul matricii transformarii intre spatiul de referinta si cel real

Pentru calculul derivatelor spatiale in raport cu coordonatele din spatiul real se foloseste formula de derivare a unei functii compuse si este nevoie de inversa matricii de transformare

De aici rezulta expresiile derivatelor coordonatelor din spatiul de referinta in raport cu coordonatele spatiului real

In urma schimbarii de variabile in x si h, integralele din (3.37) devin calculabile ca integrale duble in raport cu variabilele spatiului de referinta

Calculul integralei de mai sus pentru elementele izoparametrice cu muchii drepte s-ar putea efectua in forma analitica, determinand primitiva, avand la dispozitie forma analitica a elementelor matricii de transformare din (3.53), dar pentru o tratare unitara a tuturor elementelor izoparametrice se prefera folosirea formulelor de cuadratura de tip Gauss. Calculul integralelor duble se reduce la o suma dubla

Termenii liberi din relatia (3.15) provin o parte din integrala sarcinii distribuita volumic si o parte din integrala sarcinii cu distributie superficiala. Pentru termenii de volum discutia anterioara se aplica fara nici o modificare, aceeasi succesiune de modificari ale integralei de volum

Pentru termenii asociati densitatii superficiale de sarcina trebuie avut in vedere faptul ca suprafata laterala a elementelor axial simetrice este suprafata laterala a unui trunchi de con, iar in sectiunea radiala ea corespunde laturii patrulaterului. Integrala de suprafata va trece intr-o integrala de linie. Deplasarea pe latura in spatiul real corespunde deplasarii pe latura corespunzatoare din spatiul de referinta, si deci variatiei uneia singure din variabilele x sau h. Daca presupunem ca latura este chiar latura 1, deci in spatiul de referinta coordonata x ia valoarea 1 iar coordonata h ia valori in [-1,1], atunci putem descrie pozitia unui punct curent pe latura l1 precum si un segment infinitezimal orientat de-a lungul aceleiasi laturi

si pentru lungimea segmentului infinitezimal

Elementul de arie de pe suprafata laterala corespunzand acestui segment infinitezimal este

iar dupa transformari in aceeasi succesiune ca si la integrala de volum, se obtine

Calculul integralei de suprafata pe latura elementului s-a redus la o integrala pe latura corspunzatoare din spatiul de referinta, care in cele din urma prin cuadratura trece intr-o suma de produse intre densitatea de sarcina, elementul de lungime de-a lungul laturii si ponderile de cuadratura

In modelarea axial simetrica mai pot apare si densitati lineice de sarcina, repartizate pe cercuri situate in plane perpendiculare pe axa verticala si cu centrul pe aceasta axa. In sectiunea radiala acestor cercuri le corespund puncte, care pot sau nu sa coincida cu nodurile retelei de discretizare. Corespunzator acestor distributii lineice, mai apare un termen in membrul drept. Acest termen se obtine din (3.58), introducand o distributie de sarcina de tip Dirac, r d (r₀,h₀), unde indicele 0 precizeaza punctul din spatiul real, r este valoarea densitatii lineice de sarcina, iar r₀ si h₀ reprezinta coordonatele punctului in acelasi spatiu real. Transformarile succesive ale acestui termen sunt urmatoarele

unde x si h reprezinta coordonatele in spatiul de referinta ale punctului (r₀,h₀) din spatiul real. Pentru determinarea acestor coordonate trebuie inversata transformarea (3.48). Daca pentru elementele cu dependenta liniara aceasta inversare se poate face chiar analitic, pentru cele de ordin superior aceste coordonate se determina prin calcul iterativ. Se utilizeaza de obicei un algoritm de tip Newton-Raphson, care pentru un element axial simetric izoparametric oarecare si pentru functiile diferenta intre coordonatele aproximantului la pasul k si coordonatele punctului (r₀,h₀) se scrie astfel

Valorile de pornire ale procesului iterativ se iau x h = 0, care corespund unei pozitii in centrul elementului.