CALCULUL IN SECTIUNI NORMALE LA STAREA LIMITA DE REZISTENTA - PROIECTAREA SECTIUNILOR DE FORMA UZUALA A ELEMENTELOR INCOVOIATE

Se considera cazul general al incovoierii drepte, planul incarcarilor coincide cu planul de simetrie al elementului, plan ce contine si axa de simetrie a sectiunii transversale. Calculul se conduce in sectiuni normale pe axa elementului, la actiunea momentului incovoietor de calcul din sectiune, conform metodei simplificate.

In categoria elementelor incovoiate sunt cuprinse si cele la care momentul incovoietor este insotit de o forta axiala de compresiune cu valoare redusa, satisfacand relatia (fig. 6.19).

Calculul la SLR se face in stadiul III de lucru, stadiu de rupere, cand ambele materiale si-au epuizat capacitatea de rezistenta. Este cunoscuta rezist. de calcul la compres. a bet. R_c si rezist. de calcul a armaturii R_a.

1 Elemente cu sectiune dreptunghiulara simplu armata

Ruperea elementului din beton armat, supus la incovoiere, incepe la limita stadiului II, prin intrarea in curgere a armaturii A_a din zona intinsa si se termina in stadiul III, prin zdrobirea betonului comprimat de sectiune A_b. O astfel de rupere reprezinta MOD-ul B de cedare, conform punctului 6.5.3.1 si este conditionata de respectarea relatiei (6.14) referitoare la inaltimea zonei comprimate x, reprezentata prin valoarea ei relativa x

x_b are valorile date in tabelul 6.1 si corespunde punctului de balans B din curba de interactiune M - N (fig. 6.19).

Valoarea maxima a inaltimii zonei comprimate rezulta:

x_b=x_bh₀                                         (6.39)

Relatiile de calcul se bazeaza pe ecuatiile de echilibru static, si anume:

ecuatia de proiectii, obtinuta din relatia (6.32):

(6.40)

ecuatia de momente, scrisa in raport cu punctul de aplicatie al rezultantei N_b:

                     (6.41a)

sau, conform relatiei (6.33), in raport cu rezultanta N_a:

                     (6.41b)

unde M reprezinta solicitarea de calcul exterioara, iar N_a z, respectiv N_b z, forme de scriere a capacitatii portante a sectiunii simplu armate.

Fig. 6.24 Sectiunea dreptunghiulara simplu armata

Eforturile interioare sunt N_a = A_aR_a si Nb = bxR_c, care inlocuite in relatia (6.40), conduc la forma:

bxR_c = A_aR_a             (6.42)

de unde se determina pozitia axei neutre:

(6.43)

, (6.44)

m este coeficientul de armare, raportat la sectiunea utila bh₀. Ecuatia (6.41b) se poate pune sub forma:

M = N_b z = bxR_c(h₀ - 0,5x (6.45a)

in timp ce ecuatia (6.41a) devine:

M = N_a z = A_aR_a(h₀ - 0,5x (6.45b)

In cele doua relatii z = h₀ - 0,5x reprezinta bratul de parghie al eforturilor interioare N_a si N_b (fig. 6.24).

Inlocuind in relatia (6.45a) pozitia axei neutre data de (6.43), rezulta:

(6.46)

m = x (1 – 0,5x (6.47)

Avand in vedere relatia (6.44), se poate obtine o alta forma de exprimare a coeficientului m:

(6.47a)

Inlocuind in relatia (6.45b) pozitia axei neutre data de (6.43), rezulta:

(6.48)

unde valoarea relativa a bratului de parghie z/h₀ este:

           (6.49)

(6.46a)

(6.48a)

Conditia generala de rupere (6.14) si expresia (6.44) permit determinarea procentului maxim de armare:

            (6.50)

Pe baza relatiei (6.46), capacitatea portanta maxima a sectiunii simplu armate este:

(6.51)

In tabelul 6.3 se dau valorile maxime ale inaltimii zonei comprimate, ale procentului de armare si a capacitatii portante, in functie de valorile lui x_b cuprinse in tabelul 6.1.

Tabelul 6.3

Limite pentru sectiunea dreptunghiulara simplu armata, in baza conditiei (6.14)

Notiunea de procent minim de armare, deriva din notiunea de beton armat si se deduce din conditia ca elem. de b. a., realizat cu procentul minim de armare, sa poata suporta un mom. incovoietor cel putin egal cu mom. incovoietor capabil al elementului de beton simplu cu aceleasi caracteristici geometrice ale sect. transv.

Tabelul de calcul din anexa 13, cuprinde valoarea relativa a pozitiei axei neutre x, valoarea relativa a bratului de parghie z si valoarea relativa a momentului incovoietor m, conform relatiei (6.55), in functie de calitatea otelului, clasa betonului si procentul de armare. Utilizarea acestui tabel asigura respectarea conditiei de rupere x x_b prin procentul maxim de armare, definit conform tabelului 6.3.

Proiectarea sectiunilor dreptunghiulare, simplu armate, a elementelor incovoiate

Sunt posibile doua etape:

I - determinarea dimensiunilor sectiunii de beton;

II - determinarea ariei de armatura.

In etapa I sunt implicate patru necunoscute b, h, A_a si x si sunt disponibile doua ecuatii de echilibru static (SN = 0 si SM= 0). In mod obisnuit, se alege latimea b a sectiunii si procentul de armare p pt ca:

latimea b influenteaza foarte putin capacitatea portanta (tabelul 14.2);

procentul de armare reprezinta valoarea relativa a ariei de armatura, cuprinzand in expresia lui (p = 100A_a/bh₀) corelatia dintre caracteristicile sectiunii; procentul de armare se alege intre p_min si p_max, recomandandu-se alegerea conform punctului 13.7.1.

Din relatia (6.46a), in care se egaleaza capacitatea portanta cu momentul incovoietor, rezulta:

     (6.52)

coeficientul m se det. din anexa 13, in functie de calit. materialelor (prin R_c si R_a) si procentul de armare ales.

Inaltimea necesara a sectiunii transversale este:

h = h₀ + a          (6.53)

unde a este distanta de la axa ce trece prin centrul de greutate al ariei armaturilor A_a pana la latura inferioara a sectiunii, ea continand si acoperirea cu beton a armaturilor, stabilita conform punctului 13.2.

Valoarea efectiva a lui h se stabileste la valoarea modulata cea mai apropiata de valoarea inaltimii necesare, avand in vedere recomandarile punctului 13.5.2 pentru grinzi si ale punctului 13.5.3 pentru placi:

pentru grinzi, multiplu de 50 mm, daca h 800 mm, respectiv de 100 mm, daca h>800 mm;

pentru placi, multiplu de 10 mm.

De asemenea, in cazul grinzilor, se recomanda satisfacerea raportului:

         (6.54)

In etapa II se determina aria de armatura A_a. Plecand de la inaltimea efectiva, obtinuta din etapa I sau impusa de necesitati arhitecturale, rezulta inaltimea utila efectiva:

h₀ = h – a

Se calculeaza valoarea relativa a momentului incovoietor pe baza relatiei (6.46):

         (6.55)

iar din anexa 13 se determina procentul corespunzator de armare p sau, optional, valorile lui x sau z, de unde rezulta aria de armatura sub una din urmatoarele forme[1]

(6.56a,b,c)

Daca dimensiunile sectiunii nu au fost determinate pe baza calcului din etapa I, se poate intampla ca:

m < 0,01, valoarea minima din anexa 13; in acest caz, A_a se stabileste pe baza procentelor minime de armare (tabelul 13.12);

m > m_max, sectiunea de beton este insuficienta pentru a prelua momentul incovoietor M; pentru marirea capacitatii portante se poate adopta dubla armare, daca nu este posibila modificarea dimensiunilor sectiunii de beton.

Verificarea sectiunii dreptunghiulare, simplu armate, a elementelor incovoiate

Cunoscand caracteristicile sectiunii b, h (h₀), A_a (p), calitatile materialelor R_c si R_a si solicitarea de calcul M, se pune problema determinarii capacitatii portante. Necunoscutele sunt M_cap si x, care se determina din ecuatiile de echilibru static (SN = 0 si SM = 0).

Calculul se poate conduce direct, prin rezolvarea sistemului de ecuatii, sau cu ajutorul anexei 13.

a. Calculul direct

Se determina pozitia axei neutre din relatia (6.42), x = A_aR_a/bR_c , care se compara cu x_b = x_bh₀. Daca x x_b, capacitatea portanta rezulta din relatia (6.45a) sau (6.45b); daca x>x_b, capacitatea portanta a sectiunii se limiteaza la valoarea data de relatia M_cap=bx_bR_c(h₀ -0,5x_b), care este echivalentul relatiei (6.51).

b. Calculul cu anexa 13

Se calculeaza valoarea procentului de armare:

In functie dei R_c, R_a si p, din anexa 13 se determina coeficientul m si din relatia (6.46) rezulta:

Daca p >p_max, capacitatea portanta este M_{cap max}, conform relatiei (6.51).

Sectiunea satisface starea limita de rezistenta daca este indeplinita conditia (6.46a) M M_cap.

Nesatisfacerea conditiei de mai sus poate implica:

necesitatea consolidarii elementului, in cazul verificarii unei constructii existente;

reproiectarea elementului, modificand dimensiunile sectiuni de beton si/sau aria de armatura, sau trecerea la dubla armare, cand constructia este inca in etapa de proiectare.

2 Elemente cu sectiune dreptunghiulara dublu armata

Armatura intinsa A_a ,iar armatura in zona comprimata a sect. transv., se utilizeaza in urmatoarele cazuri:

grinzi supuse la solicitari alternante de incovoiere;

in sectiunile de reazem ale grinzilor cadrelor antiseismice, chiar daca nu exista alternanta momentelor incovoietoare, deoarece, conform prevederilor specifice pentru riglele cadrelor antiseismice se dispun armaturi la partea superioara cat si la partea inferioara a sectiunii (pct. 13.7.1);

in sect. de reazem ale grinzilor continue, daca arm. din zona comprimata este ancorata suficient;

sectiunea este insuficienta si nu poate fi marita, din considerente constructive sau arhitecturale.

Se observa din figura 6.25a ca armatura din zona intinsa echilibreaza atat rezultanta compresiunilor din beton, cat si rezultanta din armatura . O parte din armatura intinsa, A_al, echilibreaza compresiunile din beton, in timp ce restul de armatura intinsa, A_a2, echilibreaza armatura comprimata, deci (fig. 6.25c).

Ca si in cazul armarii simple, ruperea incepe prin curgerea armaturii intinse A_a si se termina prin zdrobirea betonului comprimat. O astfel de rupere reprezinta MOD-ul B de cedare, conform punctului 6.5.3.1, si este conditionata de respectarea relatiei (6.14), adica:

Fig. 6.25 Sectiune dreptunghiulara dublu armata

In vederea asigurarii unei ductilitati corespunzatoare ale extremitatilor riglelor facand parte din cadre antiseismice (zone plastice potentiale), conditia de mai sus se inlocuieste cu una mai restrictiva si anume:

Valoarea efortului unitar in arm. depinde de pozitia acesteia in raport cu axa neutra (pct. 6.5.3.2):

daca , conditie care se poate pune si sub forma:

            (6.57)

daca se admite simplificarea ca rezultanta globala a compresiunilor din beton si armatura se afla la nivelul centrului de greutate al armaturii (Nb este coliniar cu

Ecuatiile de echilibru static

Pentru simplitate, starea de eforturi s-a descompus corespunzator cuplurilor M₁ si M₂ (fig. 6.25).

ecuatia de proiectii se obtine din relatia (6.32):

                (6.58)

ecuatia de momente depinde de pozitia axei neutre:

daca , pornind de la relatia (6.33), se obtine:

(6.59)

daca , pornind de la relatia (6.34), se obtine:

            (6.60)

reprezinta distanta dintre centrele de greutate ale armaturilor A_a si respectiv intre N_a si

In ipoteza satisfacerii conditiei (6.57), in relatiile (6.58) si (6.59) se introduc: si

Pozitia axei neutre x, respectiv valoarea relativa a acesteia , rezulta:

(6.61)

(6.62)

Ecuatia de momente (6.59) devine:

(6.63)

Inlocuind in relatia (6.63) pozitia axei neutre data de relatia (6.61), rezulta:

(6.64)

Se observa ca in relatia (6.64) primul termen M₁ reprezinta momentul preluat de sectiunea simplu armata, in timp ce al doilea termen M₂ reprezinta aportul armaturii comprimate (fig. 6.25).

In conformitate cu relatia generala de calcul la starea limita de rezistenta, relatia (6.64) devine:

                    (6.65)

Pentru a nu se produce o sporire exagerata a armaturii comprimate se recomanda respectarea conditiei:

(6.66)

In situatia nesatisfacerii conditiei (6.57), ceea ce inseamna , relatia (6.60) se pune sub forma:

                          (6.67)

Proiectarea sectiunii dreptunghiulare, dublu armate, a elementelor incovoiate

Calculul implica cunoasterea dimensiunilor sectiunii transversale b si h (ho) si a calitatii materialelor, putandu-se intalni doua cazuri, legate de cunoasterea sau necunoasterea armaturii din zona comprimata.

Cazul I se refera la situatia cand, pentru o sectiune data, a rezultat m > m_max, cu m obtinut din relatia (6.55). Solutia economica este data de utilizarea la maxim a capacitatii de rezistenta a zonei comprimate de beton, ceea ce se obtine pentru x x_b, situatie in care capacitatea portanta a sectiunii dreptunghiulare simplu armate este maxima conform relatiei (6.51). Aceasta conduce la o cantitate necesara minima de armatura comprimata, respectiv la relatia M = M_{1 max} + M_{2 min}. Ecuatiile (6.65) si (6.58) devin:

(6.68)

(6.69)

(6.70)

in care rezulta din conditii de procent minim de armare, numar minim de bare si diametru minim.

Cazul II se refera la situatia in care armatura din zona comprimata este cunoscuta. In acest context, din ecuatia de momente (6.65) se calculeaza:

(6.71)

In cazul in care m > m_max, armatura este insuficienta, ea trebuie deci majorata astfel incat coeficientul m, obtinut din relatia (6.71), sa se inscrie in valorile tabelului anexei 13.

Pentru valori m>0, din anexa 13 se determina x si p - procentul de armare corespunzator armaturii A_a1; in corelatie cu conditia (6.57), pot interveni doua situatii:

caz in care (6.72)

caz in care din relatia (6.67) rezulta:                (6.73)

Daca m 0, armatura comprimata este prea puternica, ceea ce este echivalent cu in consecinta, pentru determinarea ariei armaturii intinse A_a se foloseste relatia (6.73).

Verificarea sectiunii dreptunghiulare, dublu armate, a elementelor incovoiate

Se cunosc caracteristicile sectiunii b, h, A_a, , calitatile materialelor si solicitarea de calcul. Necunoscutele sunt M_cap si x, care se determina din ecuatiile de echilibru static (SN = 0 si SM = 0).

Calculul se poate conduce direct prin rezolvarea sistemului de ecuatii sau cu ajutorul anexei 13.

a. Calculul direct

Se determina pozitia axei neutre din relatia (6.61):

Daca , capacitatea portanta rezulta din relatia (6.63):

dar, daca , se aplica relatia (6.67):

In cazul in care , capacitatea portanta se limiteaza la valoarea data de relatia .

b. Calculul cu anexa 13

Din relatia (6.72) se calculeaza:

(6.74)

Acest procent de armare corespunde armaturii A_a1 a sectiunii dreptunghiulare simplu armate. Din anexa 13 se determina valoarea relativa a pozitiei axei neutre x si coeficientul m:

atunci cand , capacitatea portanta se determina din relatia (6.64):

(6.75)

atunci cand , capacitatea portanta se determina din relatia (6.67):

Daca p > p_max , capacitatea portanta se limiteaza la valoarea:

Sectiunea satisface starea limita de rezistenta daca este indeplinita conditia M M_cap.

3 Elemente cu sectiune in forma de T cu placa in zona comprimata

Sectiunile in forma de T se intalnesc frecvent la grinzi independente, la grinzile planseelor monolite si la alte elem. de rezistenta cu sectiuni in forma de I, sau chesonate, care sunt asimilabile cu sectiunile in forma T.

Sect. se considera in forma de T daca inima grinzii si placa, dispusa in zona comprimata, sunt legate monolit, fiind capabile sa conlucreze solidar pana la rupere.

           (6.76)

In situatiile in care conditia (6.76) nu este indeplinita, aportul placii se poate neglija si sectiunile se vor calcula ca sectiuni dreptunghiulare obisnuite, cu dimensiunile b si h.

3.1 Latimea activa a placii

Datorita conlucrarii ce exista intre inima grinzii si placa, aceasta urmareste deformatiile inimii. Deformatia placii se atenueaza pe masura indepartarii de inima, deoarece rigiditatea placii este mult mai mica decat a inimii (fig. 6.26a). De aceea distributia eforturilor unitare de compresiune pe latimea placii este neuniforma, avand intensitatea maxima in dreptul inimii (fig. 6.26b).

Latimea teoretica activa a placii rezulta din conditia ca suprafata distributiei teoretice a ef. unitare sa fie egala cu suprafata curbei reale de distributie, acceptand acelasi efort unitar maxim in dreptul inimii s_b = R_c.

Fig. 6.26 Conlucrarea placii cu inima

Determinarea latimii de calcul b_p, conform celor de mai sus, este dificila pentru calculele uzuale, de aceea pentru elementele constructiilor civile si industriale se foloseste procedura simplificata din anexa 11.

3.2 Sectiune in forma de T, simplu armata

Calculul se face in functie de pozitia axei neutre pe inaltimea sect. transv., deosebindu-se doua situatii: axa neutra in placa sau in inima grinzii. Pt. estimarea pozitiei axei neutre, se pleaca de la situatia ipotetica a axei neutre plasate la marginea inferioara a placii, cand x = h_p, scriind cele doua ecuatii de echilibru static.

Din ecuatia de proiectii N_a - N_b = b_ph_pR_c - A_{a lim}R_a = 0, se determina aria armaturii care echilibreaza compresiunile din placa in aceasta situatie limita:

(6.77)

Din ecuatia de momente scrisa in raport cu armatura intinsa rezulta:

            (6.78)

Cele doua relatii se folosesc in functie de scopul calculului; astfel, daca la proiectare:

M M_lim                 (6.79)

respectiv la verificare:

A_a A_{a lim}                (6.80)

atunci axa neutra este plasata in placa (x h_p). Evident, in caz contrar, axa neutra este plasata in inima.

Proiectarea sectiunii in forma de T, simplu armata, a elementelor incovoiate

Cunoscandu-se dimensiunile sectiunii transversale b, h, b_p, h_p, calitatea materialelor si solicitarea de calcul M, se calculeaza M_lim cu relatia (6.78).

Daca M M_lim , axa neutra se afla in placa (fig. 6.27b). Deoarece forma de calcul a sectiunii depinde de forma zonei comprimate (zona intinsa, fiind fisurata, nu are nici o influenta), din punctul de vedere al calculului sectiunea se considera de forma dreptunghiulara de inaltime h si latime b_p. Pentru calculul ariei de armatura se folosesc relatiile (6.55) si (6.56), in care b se inlocuieste cu b_p.

si din anexa 13 rezulta:

Daca M > M_lim , axa neutra se afla in inima. Pentru simplitate, solicitarea de calcul a sectiunii se descompune in doua cupluri, M₁ si M₂, ca in figura 6.27d. Se constata ca o parte din armatura intinsa A_al echilibreaza compresiunile din inima, in timp ce armatura A_a2 echilibreaza compresiunile din aripile sectiunii.

Fig. 6.27 Sectiune in forma de T cu placa in zona comprimata

Ecuatiile de echilibru static sunt:

ecuatia de proiectii, obtinuta din relatia (6.32):

ecuatia de momente, scrisa in raport cu punctul de aplicatie al rezultantei N_a:

Determinarea pozitiei axei neutre se face pe baza ecuatiei de proiectii, scrisa sub forma:

(6.81)

De asemenea, din figura 6.27d se observa ca N_a2 = N_b2 rezultand:

(6.82)

Ecuatia de momente se scrie sub forma:

(6.83a,b)

Se observa ca primul termen, reprezinta momentul incovoietor preluat de sectiunea dreptunghiulara simplu armata, in timp ce al doilea termen,   , reprezinta aportul aripilor sectiunii. Avand in vedere ca N_a2 = N_b2, momentul incovoietor M₂ se poate determina si cu relatia:

               (6.84)

Aria de armatura A_al corespunzatoare mom. incov. M₁ se obtine conform procedeului de la punctul 1: se calculeaza M₂ din relatia (6.84), apoi M₁ = M - M₂; in functie de coeficientul , din anexa 13 se determina procentul de armare p si se calculeaza aria de armatura

Aria de armatura intinsa necesara este:

Daca m > m_max, sectiunea T este insuficienta in varianta armarii simple.

Daca este satisfacuta cond. b_p / b 5, se accepta determinarea simplificata a ariei de armatura cu relatia de mai jos, obtinuta din ecuatia de mom. in raport cu rezultanta compresiunilor din beton, admitand ca x = h_p:

(6.85)

Verificarea sectiunii in forma de T, simplu armata, a elementelor incovoiate

Pentru o sectiune cu caracteristicile b, h, b_p, h_p, A_a, solicitarea de calcul M si calitatile materialelor R_c si R_a cunoscute, se pune problema determinarii capacitatii portante.

In vederea estimarii pozitiei axei neutre, se calculeaza A_{a lim} cu relatia (6.77). Daca A_a A_{a lim}, axa neutra se afla in placa (fig. 6.27b) si capacitatea portanta se determina ca pentru o sectiune dreptunghiulara de inaltime h si latime b_p. Succesiunea operatiilor este urmatoarea: se calculeaza procentul de armare p = 100 A_a/b_ph₀, se determina m din anexa 13 rezulta si se calculeaza:

Daca A_a >A_{a lim} axa neutra se afla in inima (fig. 6.27c). Din relatiile (6.82) si (6.84) se obtine respectiv Pe baza valorii    A_a1 = A_a - A_a2 se calculeaza procentul de armare p = 100 A_a1/bh₀, din anexa 13 se obtine coeficientul m si apoi se determina momentul incovoietor Capacitatea portanta a sectiunii este:

Daca p p_max, capacitatea portanta se limiteaza la valoarea:

Sectiunea in forma de T, indiferent de pozitia axei neutre, satisface starea limita de rezistenta daca este indeplinita conditia M M_cap.

Pentru cazurile in care b_p/b 5 se accepta pentru verificarea sectiunii utilizarea relatiei (6.85):

3.3 Sectiune in forma de T dublu armata

Sectiunile in forma de T dublu armate, la care in afara de armatura intinsa A_a exista dispusa si armatura de rezistenta in zona comprimata a sectiunii transversale (fig. 6.27c,e), pot sa apara in cazul grinzilor supuse la solicitari alternante de incovoiere produse de actiuni gravitationale (de exemplu, convoaie de forte mobile) sau seismice. Cazul curent intalnit in practica este acela cand armatura comprimata este cunoscuta, situatie care este tratata in continuare.

Ca si in cazul sectiunii dreptunghiulare dublu armate, armatura intinsa echilibreaza atat rezultanta compresiunilor din beton, cat si forta de compresiune din armatura .

Pentru estimarea pozitiei axei neutre este necesar sa se cunoasca valorile M_lim si A_{a lim}. Acestea se obtin prin suplimentarea valorilor date de relatiile (6.77, 6.78) cu aportul armaturii comprimate, rezultand:

(6.86)

(6.87)

Poz. axei neutre se apreciaza prin relatia (6.79) la proiectare, si prin relatia (6.80) la verif. sectiunii.

Proiectarea sectiunii in forma de T, dublu armata, a elementelor incovoiate

Cunoscand caracteristicile sectiunii transversale b, h, b_p, h_p,, calitatea materialelor si solicitarea de calcul M, se calculeaza M_lim cu relatia (6.87).

Daca M M_lim , axa neutra se afla in placa (fig. 6.27c) si din punctul de vedere al calculului, sectiunea se considera de forma dreptunghiulara, de inaltime h si latime b_p.

In succesiunea operatiilor, se calculeaza coeficientul m, din relatia (6.71), inlocuind b cu b_p:

coeficient care corespunde sectiunii T simplu armate cu axa neutra in placa.

daca m > 0, din anexa 13 se determina procentul de armare p si pozitia relativa a axei neutre x; raportat la conditia (6.57), pot interveni doua situatii:

caz in care (6.88)

caz in care din relatia (6.67)                   (6.89)

daca m 0, rezulta ca armatura comprimata este prea puternica, ceea ce este echivalent cu ; in consecinta se foloseste relatia (6.89) pentru determinarea ariei de armatura A_a.

Daca M > M_lim , axa neutra se afla in inima (fig. 6.27e). In acest caz este evident ca , deoarece x > h_p si in mod curent .

Ecuatiile de echilibru static sunt:

ecuatia de proiectii, obtinuta din relatia (6.32):

ecuatia de momente in raport cu punctul de aplicatie al rezultantei N_a:

Ecuatia de proiectii, cu A_b=bx +(b_p –b)h_p, devine:

(6.90)

si permite determinarea pozitiei axei neutre.

Pt. simplitate, solicitarea de calcul a sectiunii se descompune in trei cupluri, M₁, M₂ si M₃, ca in figura 6.27e. Suma M_l + M₂ corespunde sectiunii T simplu armate cu axa neutra in inima, caz in care armaturile A_al si A_a2 echilibreaza compresiunea rezultanta   N_b = N_bl + N_b2. M₃ reprezinta aportul armaturii comprimate .

Din figura 6.27d se observa ca exista egalitatea N_a2 = N_b2 si deci relatia (6.82) permite calculul armaturii A_a2. De asemenea, din figura 6.27e rezulta ca echilibrul conduce la .

Ecuatia de momente in raport cu punctul de aplicatie al rezultantei N_a se scrie sub forma:

(6.91)

(6.91a)

(6.91b)

(6.91c)

Se calculeaza , corespunzator sectiunii dreptunghiulare simplu armate, iar din anexa 13 se determina procentul de armare p.

Aria necesara de armatura rezulta din relatia:

Daca m > m_max, sectiunea este insuficienta.

Verificarea sectiunii in forma de T, dublu armata, a elementelor incovoiate

Pentru o sectiune cu caracteristicile b, h, b_p, h_p, A_a, , rezistentele materialelor R_c si R_a, si solicitarea de calcul M cunoscute, se pune problema determinarii capacitatii portante M_cap.

In vederea estimarii pozitiei axei neutre, se calculeaza A_{a lim} cu relatia (6.86).

Daca A_a A_{a lim}, axa neutra se afla in placa (fig. 6.27c) si capacitatea portanta se determina ca pentru o sectiune dreptunghiulara de inaltime h si latime b_p.

Succesiunea operatiilor este urmatoarea: se calculeaza procentul de armare in functie de care, din anexa 13, se determina coeficientii m si x

Momentul incovoietor capabil se obtine dupa cum urmeaza:

• daca           (6.92)

• daca

Daca A_a > A_{a lim}, axa neutra se afla in inima (fig. 6.27e). Din relatia (6.82) se obtine , iar din relatia (6.84) se obtine momentul incovoietor Pe baza valorii se calculeaza procentul de armare p = 100 A_a1/bh₀, iar din anexa 13 se determina coeficientul m si apoi se calculeaza momentul incovoietor M₁ cu relatia (6.91a). Momentele incovoietoarea M₂ si M₃ se calculeaza cu relatiile (6.91b, c). Capacit. portanta a sect. este:

M_cap = M_l + M₂ + M₃

Daca p p_max capacitatea portanta se limiteaza la valoarea:

Sectiunea in forma de T, indiferent de pozitia axei neutre, satisface starea limita de rezistenta daca este indeplinita conditia M M_cap .