CURENTUL ELECTRIC CONTINUU

CURENTUL ELECTRIC CONTINUU

Prin curent electric se intelege deplasarea ordonata a purtatorilor de sarcina electrica. Mediile care contin purtatori de sarcina capabili sa se deplaseze se numesc conductori. Un mediu fara purtatori de sarcina capabili sa se deplaseze mai mult sau mai putin liberi in mediul respectiv se numeste izolator.

Curentul electric datorat deplasarii purtatorilor de sarcina microscopici intr-un mediu macroscopic considerat fix se numeste curent de conductie. Curentul datorat deplasarii unor particule macroscopice incarcate cu sarcina electrica, se numeste curent de convectie.

5.1. Densitatea de curent

Se considera o distributie de purtatori punctuali de sarcina in care fiecare purtator P_i are o masa m_i si o viteza v_i in raport cu un sistem de referinta dat. Transportul de materie asociat unei particule cu masa m_i si viteza v_i este caracterizat prin impulsul m_iv_i. Intr-o maniera asemanatoare, transportul de sarcina, datorat purtatorilor poate fi caracterizat prin cantitatea q_iv_i, unde q_i este sarcina purtatorului i. In fiecare punct P al distributiei poate fi definit vectorul densitate de curent (curent volumic) prin relatia:

(5.1)

unde V este elementul de volum ce contine punctul P.

Cum in materialul conductor pot exista mai multe tipuri de purtatori de sarcina, pentru calculul densitatii de curent se separa diversele tipuri a de purtatori:

(5.2)

Se defineste viteza medie sau viteza de drift (deriva) a ansamblului de purtatori de tip a prin:

(5.3)

unde este numarul de purtatori de tip a continuti in volumul V. In aceste conditii relatia (5.2) devine:

(5.4)

unde si este densitatea de purtatori de tip a si este densitatea de sarcina a purtatorilor de tip a. Vectorul densitate de curent total apare deci ca suma vectoriala a densitatilor de curent partiale.

Ca si distributiile de sarcina, distributiile de curent pot prezenta simetrii. Astfel, se spune ca distributia este invarianta la simetrie in raport cu planul xOy daca densitatile de curent asociate la doua puncte simetrice fata de acest plan verifica relatiile:

sau

Se vorbeste de un plan de antisimetrie pentru distributia de curent, daca adica este opusul simetricului lui .

Distributia este invarianta la translatia paralela cu axa Oz daca densitatea de curent are aceeasi valoare in punctul M si in orice punct M' obtinut din M prin translatie paralela cu acea axa, deci

Distributia este invarianta la rotatie dupa axa Oz daca densitatea de curent verifica relatia

5.2. Intensitatea curentului electric

Intensitatea curentului electric ce traverseaza o suprafata orientata S este definita prin fluxul vectorului prin aceasta suprafata:

(5.6)

In cazul unei suprafete inchise, normala fiind orientata spre exterior, se poate scrie:

Pentru un element de suprafata d S in jurul unui punct P, curentul elementar este:

d I =. Astfel intensitatea este o marime algebrica pozitiva daca sensul ales pentru coincide cu sensul de deplasare a sarcinii pozitive (pentru ). Unitatea de masura pentru intensitate este amperul (A), iar pentru densitatea de curent A/m².

Intensitatea d I ce traverseaza elementul de suprafata d S poate fi scrisa:

(5.7)

unde este sarcina mobila continuta intr-un cilindru cu axa paralela cu viteza ce se sprijina pe elementul de suprafata d S si care are lungimea vdt (Fig. 5.1).

Intensitatea reprezinta deci sarcina ce traverseaza suprafata dS in unitatea de timp.

Figura 5.1

5.3. Ecuatia de conservare a sarcinii electrice

Se considera un volum V in care cantitatea de sarcina electrica Q variaza in timp. Intensitatea curentului ce traverseaza suprafata S ce delimiteaza volumul V, la momentul t este:

unde dQ_e este cantitatea de sarcina ce iese prin suprafata S intre momentele t si t+d t. Cum in volumul V nu are loc producere de sarcini electrice, variatia cantitatii de sarcina din volumul V este dQ=-dQ_e. Tinand seama ca sarcina totala din volumul V poate fi exprimata prin , se obtine:

Cum volumul V este arbitrar, se obtine:

(5.8)

relatie ce exprima forma locala a legii conservarii sarcinii electrice. Relatia (5.8) poarta, de asemenea, numele de ecuatia de continuitate pentru sarcina electrica.

In regim stationar, adica atunci cand sarcina in orice punct M nu depinde explicit de timp, si deci:

(5.9)

In aceste conditii intr-un volum V, delimitat de suprafata S, sarcina totala este constanta:

Curentul I ce traverseaza suprafata S se scrie:

deci in volumul V cantitatea de sarcina care intra este egala cu cea care iese.

Consecinta

Se considera doua suprafete S₁ si S₂, deschise, ce se sprijina pe acelasi contur inchis C (Fig. 5.2). Volumul cuprins intre cele doua suprafete contine, in regim stationar,

Figura 5.2

o sarcina constanta. In acest caz, curentul ce traverseaza suprafata inchisa constituita prin reunirea celor doua suprafete S₁ si S₂ este nul:

Tinand seama de orientarea suprafetelor, se gaseste:

Se spune ca vectorul densitate de curent este cu flux conservativ.

Daca in materialul conductor exista mai multe tipuri de purtatori de sarcina, acestia se pot neutraliza prin recombinari sau pot apare preocese de generare de perechi de purtatori. In aceste cazuri, conservarea numarului de purtatori de un anumit tip nu este respectata. Se poate scrie:

fiind productia de purtatori de tip a in unitatea de timp si de volum. Ecuatia precedenta poate fi scrisa sub forma:

(5.10)

ecuatie ce pune in evidenta cele doua procese ce sunt la originea variatiei locale a sarcinii purtatorilor de tip a: pe de o parte intrarea (algebrica) a purtatorilor in elementul de volum si pe de alta parte productia (algebrica) ce traduce aparitia () sau dispartitia () de sarcini de tip a din elementul de volum. Bilantul global ce tine seama de diferitele tipuri de purtatori conduce bineinteles la ecuatia (5.9).

5.4. Legea lui Ohm

Legea lui Ohm este o relatie ce leaga intensitatea curentului ce apare intr-un conductor dat de cauzele ce-l produc. Legea reprezinta deci o relatie de material sau o lege constitutiva.

5.4.1. Forma locala a legii lui Ohm. Conductivitatea

Aparitia unui curent intr-un conductor reprezinta ruperea echilibrului datorita unui camp electric exterior. In general, relatia ce leaga vectorul densitate de curent de intensitatea campului electric depinde de mediul considerat. Intr-o prima aproximatie putem considera ca este direct proportional cu , si legatura se scrie:

(5.11)

Relatia (5.11) constituie forma locala a legii lui Ohm, iar coeficientul g se numeste conductivitatea mediului considerat. Atunci cand pentru mediul considerat relatia (5.11) este verificata, mediul se numeste liniar pentru conductia electrica. In acest caz g nu depinde de . In majoritatea materialelor vectorii sunt paraleli. Aceste medii se numesc izotrope referitor la conductivitatea electrica si g est un scalar pozitiv. Unitatea de masura pentru conductivitate este siemens pe metru (S/m).

Uneori, in locul conductivitatii se foloseste inversul acesteia: , marime numita rezistivitate.

Daca mediul este anizotrop, vectorii nu mai sunt paraleli, iar conductivitatea nu mai este o marime scalara, ci una tensoriala. Intr-un mediu anizotrop din punct de vedere electric, legea lui Ohm se scrie:

(5.12)

Daca conductorul este parcurs de un curent stationar si omogen, ecuatia de continuitate si legea lui Ohm implica:

Aceasta relatie nu implica faptul ca sa fie uniform. Intr-adevar, pentru un conductor cu sectiunea variabila, intensitatea I este aceasi prin oricare sectiune. In aceste conditii J si E variaza de la o sectiune la alta dupa legea:

Pe de alta parte, cum si din legea lui Gauss , rezulta ca in volumul conductorului, in regim stationar, densitatea sarcinilor mobile este compensata de cea a sarcinilor fixe. Invers, se poate afirma ca un mediu conductor aflat in regim stationar si care nu este neutru, nu satisface legea lui Ohm (este cazul semiconductorilor).

5.4.2. Teoria elementara a conductiei electrice (P.K. Drude 1900)

Scopul acestui paragraf este interpretarea legii lui Ohm pornind de la structura microscopica a materiei. Se va considera cazul unui conductor in care sarcinile mobile nu sunt complet libere, acestea interactioneaza intre ele si cu sarcinile fixe din structura conductorului. Modelarea acestor interactiuni este, in general, complicata si se realizeaza in cadrul mecanicii cuantice.

Un model fenomenologic, introdus de P.K. Drude in 1900, consta in modelarea interactiunii dintre sarcinile mobile, de masa m si sarcina q, cu cele fixe printr-o forta de frecare vascoasa, .

Admitand ca deplasarea sarcinilor mobile se efectueaza sub actiunea unui camp electric extern, ecuatia diferentiala ce descrie deplasarea unui purtator liber este:

(5.13)

Considerand ca se aplica la momentul t=0, cand purtatorii au viteza nula, ecuatia (5.13) devine

Ecuatia are solutia (tinand cont de conditia initiala):

(5.14)

unde

are dimensiunile unei durate si se numeste timp de relaxare ( pentru metale).

Dupa un timp t mult mai mare decat timpul de relaxare, viteza atinge valoarea limita

(5.15)

care este o valoare medie ce poate fi luata in considerare la descrierea fenomenelor macroscopice.

Inmultind ambii membri ai relatiei (5.15) cu densitatea de sarcina se obtine:

sau

adica expresia locala a legii lui Ohm.

Relatia (5.15) poate fi scrisa si sub forma

(5.16)

unde

se numeste mobilitatea purtatorului de sarcina, care in SI se masoara in . Mobilitatea unui purtator reprezinta deci viteza pe care acesta o capata intr-un camp electric de intensitate egala cu unitatea.

5.4.3. Forma integrala a legii lui Ohm. Rezistenta

Se considera o portiune dintr-un conductor izotrop, cuprinsa intre sectiunile S₁ si S₂, intre care se stabileste o diferenta de potential U=V₁-V₂. Orice sectiune a conductorului va fi traversata de un curent de aceeasi intesitate. Valorile tensiunii si intensitatii pot fi calculate pornind de la valorile locale:

Este evident, daca tinem seama de forma locala a legii lui Ohm, ca raportul:

este constant si pozitiv. R poarta numele de rezistenta portiunii de conductor considerata. Se poate deci scrie:

(5.17)

relatie ce constituie forma integrala a legii lui Ohm pentru o portiune de circuit.

Pentru o portiune a unui conductor omogen de lungime l si de sectiune constanta S, valoarea diferentei de potential intre capetele conductorului este: U=E l. Valoarea curentului care circula prin portiunea de conductor este:

de unde expresia lui R

(5.18)

Unitatea de masura pentru rezistenta este ohmul (W). Inversul rezistentei G=1/R se numeste conductanta si se masoara in siemens (S sau W

5.4.4. Gruparea rezistoarelor

Se considera un ansamblu de n rezistori, cu rezistentele R_k, grupati in serie. Intensitatea curentului este aceasi in orice sectiune a circuitului, iar tensiunea la bornele circuitului este data de suma tensiunilor la bornele fiecarui rezistor. Se poate deci scrie :

Rezulta ca

(5.19)

deci rezistenta echivalenta gruparii in serie a celor n rezistente este suma rezistentelor.

La gruparea paralel, pentru determinarea rezistentei echivalente, se porneste de la faptul ca tensiunea la bornele rezistentelor este aceeasi U si de la relatia :

unde I_k este curentul prin rezistenta k, iar I este curentul total prin circuit. I_k se poate scrie este conductanta rezistorului k. Se obtine

Rezulta in final

(5.20)

deci conductantele unui sistem de rezistori legati in paralel se aduna.

5.5. Puterea electrica

5.5.1. Puterea electrica primita de sarcinile mobile dintr-un element de volum al unui conductor

Se considera un element de volum dV apartinand unui material conductor in care exista un camp electric si o densitate de curent . In functie de densitatea locala de sarcini r si de viteza medie a purtatorilor , densitatea de curent este :

Lucrul mecanic efectuat de forta electrica , in timpul dt este :

si puterea electrica primita de sarcinile mobile din volumul dV :

(5.21)

in care produsul , masurat in W/m³, reprezinta densitatea volumica de putere electrica.

5.5.2. Puterea electrica primita de un dipol electrocinetic in regim stationar

Prin integrarea expresiei (5.21) se determina puterea electrica primita de catre sarcinile mobile dintr-un volum V oarecare :

(5.22)

Cum campul electric nu furnizeaza lucru mecanic sarcinilor fixe, expresia (5.22) reprezinta puterea electrica primita de catre intreg conductorul.

Se considera o portiune AB dintr-un circuit (Fig. 5.3) in regim stationar parcurs de

Figura 5.3

curentul I care circula de la A la B. Intre cele doua extremitati, puterea se obtine sumand dupa sectinea transversala si apoi dupa linia ce uneste A cu B :

Cum in regim stationar I nu depinde de S, poate fi scos de sub integrala si se obtine :

(5.23)

sau

(5.23')

5.6. Efectul Joule

5.6.1. Efect Joule local

Tinand seama de forma locala a legii lui Ohm, expresia (5.21) poate fi scrisa :

Interactiunea sarcinilor mobile cu reteaua poate fi modelata printr-o forta de frecare vascoasa. Daca notam puterea dezvoltata de aceasta forta, bilantul energetic intre momentele t si t+dt da, tinand seama ca energia cinetica a ansamblului sarcinilor mobile este constanta:

(5.24)

Se constata deci ca efectul Joule local este determinat de densitatea de curent si nu de catre intensitatea curentului I.

5.6.2. Efect Joule global

Puterea electrica disipata prin efect Joule intr-un conductor de volum V se obtine prin integrarea relatiei (5.20):

In cazl unui dipol ohmic de rezistenta R, aceasta se scrie:

(5.25)

tinand seama de forma globala a legii lui Ohm (U=RI) si de definitia conductantei electrice (G=1/R).

Astfel, puterea primita de catre un ansamblu de sarcini mobile intr-un dipol pur ohmic, este totdeauna pozitiva. Aceasta putere este disipata sub forma de caldura.

5.7. Legea lui Ohm generalizata. Tensiunea electromotoare

5.7.1. Forma integrala

In regim stationar, puterea electrica totala primita de catre ansamblul sarcinilor mobile dintr-un circuit conductor inchis este nula deoarece :

Pentru ca un curent sa poata circula printr-un astfel de mediu este necesara furnizarea de energie de natura neelectrica. Dispozitivul capabil sa transforme in energie electrica alte forme de energie se numeste convertizor.

Consideram, in regim stationar, un dipol care contine un convertizor. Pentru scrierea bilantului lucrului mecanic primit de catre sarcinile mobile se aplica teorema energiei cinetice, sarcinilor mobile dintre sectiunile A si B ale dipolului, intre momentele t si t +dt:

unde este lucrul mecanic al fortelor electrice, este lucrul mecanic al fortelor ce sunt la originea efectului Joule si este lucrul mecanic furnizat de convertizor.

Cum

deoarece sensul curentului in generator este opus celui din circuitul exterior, se obtine

(5.26)

Impartind relatia (5.22) prin dt se obtine bilantul puterilor sub forma

(5.27)

Pornind de la relatia (5.27), convertizorul poate fi caracterizat printr-o marime electrica interna, numita tensiune electromotoare, E, definita prin relatia:

(5.28)

Marimea E are dimensiunea unei diferente de potential si se exprima in volti. Aceasta caracterizeaza un generator din punct de vedere al capacitatii de a intretine un curent intr-un circuit.

Cu definitia (5.28) relatia (5.27) devine

(5.29)

Introducand rezistenta electrica se obtine:

si impartind prin I

(5.30)

relatie ce constituie expresia legii lui Ohm generalizate pentru o portiune de circuit ce contine un generator.

Pentru un circuit inchis ce contine un generator cu tensiunea electromotoare E si rezistenta interna r si rezistoare a caror rezistenta echivalenta este R, relatia (5.30) devine

(5.31)

5.7.2. Forma locala

Se considera un circuit care contine si un convertizor (generator). Lucrul mecanic al fortei electrice fiind nul si cel al fortei de frecare (care este la originea efectului Joule) fiind negativ, este necesara introducerea unei forte care sa produca un lucru mecanic pozitiv atunci cand q>0. Aceast lucru mecanic apare in convertizor.

Scriind bilantul energetic pentru un element de volum din convertizor se obtine :

(5.32)

unde este puterea primita din partea campului electric, este puterea disipata prin efect Joule si este puterea primita din partea convertizorului. Relatia (5.32) se scrie :

(5.33)

In expresia (5.33) apare natural vectorul

(5.34)

care are dimensiunea unui camp electric si care poarta numele de camp electromotor.

Folosind relatia (5.34) in (5.33) se obtine :

(5.35)

Relatia (5.35) poarta numele de forma locala a legii lui Ohm generalizate.

5.7.3. Relatia dintre tensiunea electromotoare si campul electromotor

Intr-un circuit electric inchis, de rezistenta R, in care circula un curent de densitate volumica , se poate scrie :

(5.36)

Pe de alta parte

si

Rezulta, tinand seama de legerea lui Ohm pentru un circuit inchis (E=R I)

(5.37)

Se constata ca circulatia campului electromotor nu este conservativa aceasta identificandu-se cu tensiunea electromotoare. Frecvent relatia (5.37) este folosita pentru definirea tensiunii electromotoare.

5.8. Gruparea generatoarelor

5.8.1. Gruparea serie

Vom considera numai cazul gruparii a n generatoare identice, de tensiune electromotoare E si rezistenta interna r si vom presupune ca la bornele gruparii este conectat un singur rezistor de rezistenta R. Aplicand legea lui Ohm generalizata se obtine

(5.38)

Deci gruparea se comporta ca un generator cu tensiunea electromotoare nE si de rezistenta interna nr.

5.8.2. Gruparea paralel

Vom considera numai cazul gruparii a n generatoare identice, de tensiune electromotoare E si rezistenta interna r si vom presupune ca la bornele gruparii este conectat un singur rezistor de rezistenta R. Aplicand legea lui Ohm generalizata se obtine

(5.39)

Deci gruparea se comporta ca un generator cu tensiunea electromotoare E si de rezistenta interna r/n. Gruparea se utilizeaza deoarece in ciruitul exterior se poate obtine un curent maxim egal cu suma curentilor maximi pe care ii pot debita generatoarele.

5.8.2. Gruparea mixta

Se considera p serii de q elemente legate in serie, cele p serii fiind legate in paralel. Aceasta grupare este echivalenta cu un generator ce are tensiunea electromotoare qE si rezistenta interna qr/p. Daca numarul total de generatoare este n=qp atunci:

(5.40)