Cazuri de reducere ale unui sistem de forte oarecare

Cazuri de reducere ale unui sistem de forte oarecare

Reducerea unui sistem de forte ce actioneaza asupra unui rigid revine la înlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem de forte care are acelasi torsor cu al sistemului dat. Cum momentul rezultant apare ca un cuplu de forte aplicat unui rigid, se poate enunta urmatoarea teorema fundamentala a reducerii:

Un sistem de forte aplicate unui rigid este echival 353s1820d ent cu o forta unica, egala cu rezultanta sistemului, aplicata într-un punct arbitrar O si un cuplu de forte al carui moment este momentul rezultant al sistemului în raport cu punctul O.

Functie de valorile modulelor celor doi vectori se disting urmatoarele cazuri:

I) : Un sistem de forte care are torsorul nul se numeste echivalent cu zero. Fortele acestui sistem îsi fac echilibrul si, în consecinta, un rigid actionat de un astfel de sistem de forte se afla în echilibru.

  II) : Un sistem de forte care are torsorul de reducere alcatuit doar din momentul este echivalent cu orice cuplu care actioneaza într-un plan (P) perpendicular pe si al carui moment sa coincida cu ca sens si marime, adica , unde d este bratul cuplului (figura T 3.11).

Figura T 3.11 Figura T 3.12

III) : Torsorul de reducere consta doar din rezultanta . Sistemul de forte este echivalent cu o forta unica egala cu si aplicata în O (figura T 3.12)

IV)

a) (adica ) : Sistemul de forte este echivalent cu o forta unica, egala cu , si care actioneaza chiar pe axa centrala a sistemului (figura T 3.13) deoarece în punctele ei momentul are valoarea minima, care în acest caz este nula .

b) (adica ) : Pentru a obtine un sistem echivalent, dar mai simplu, se descompune vectorul în doua componente si anume componenta pe directia rezultantei si componenta din planul (P) normal pe directia rezultantei (figura T 3.14). Vectorii si , perpendiculari între ei (cazul IV a), pot fi înlocuiti cu forta dirijata pe axa centrala astfel încât sistemul de forte este echivalent cu torsorul minimal, adica din forta aplicata pe axa centrala si un cuplu alcatuit din fortele si - din planul (P), bratul cuplului fiind iar sensul fortelor ales astfel încât momentul cuplului sa fie egal cu .

Figura T 3.13    Figura T 3.14

3.8. Reducerea sistemelor particulare de forte

3.8.1. Reducerea fortelor concurente

Definitia 3.6 : O multime de n forte, ale caror suporturi trec prin acelasi punct O, formeaza un sistem de forte concurente.

Toate fortele pot aluneca pe suporturile lor astfel încât punctele de aplicatie sa ajunga în O. Momentele acestor forte fata de punctul O sunt nule iar fortele pot fi înlocuite cu rezultanta lor. În concluzie, un sistem de forte concurente este echivalent cu o forta unica, egala cu rezultanta , al carui suport trece prin punctul O sau este echivalent cu zero daca .

3.8.2. Reducerea fortelor coplanare

Definitia 3.7 : O multime de n forte, ale caror suporturi sunt toate continute într-un acelasi plan (P) formeaza un sistem de forte coplanare (figura T 3.15).

Notând cu Oxyz planul fortelor si observând ca :

(3.17)

gasim pentru elementele torsorului în O expresiile analitice:

(3.18)

Deoarece rezulta ca sistemul de forte coplanare nu poate fi niciodata echivalent cu torsorul minimal. Cazurile de reducere pentru sistemul de forte coplanare rezulta din cazurile de reducere a fortelor oarecare si sunt urmatoarele:

I) : Sistemul de forte este echivalent cu zero.

II) : Sistemul de forte este echivalent cu un cuplu de moment .

III) : Sistemul de forte este echivalent cu o forta unica, egala cu rezultanta , aplicata în O.

IV) : Sistemul de forte este echivalent cu o forta unica, egala cu , aplicata într-un punct al axei centrale.

Ecuatiile axei centrale rezulta prin particularizarea ecuatiilor din cazul general . Se obtine:

(3.19)

adica dreapta de ecuatie din planul fortelor.

Figura T 3.15    Figura T 3.16

3.8.3. Reducerea fortelor paralele

Definitia 3.8 : O multime de n forte, , ale caror suporturi sunt drepte paralele între ele formeaza un sistem de forte paralele.

Fie versorul directiei comune pentru fortele paralele (figura T 3.16). Putem scrie ca , unde daca sensul fortei coincide cu sensul versorului si în caz contrar.

Elementele torsorului de reducere în O sunt :

(3.20)

(3.21)

În consecinta, iar cazurile de reducere ale unui sistem de forte paralele sunt aceleasi cu cele din cazul fortelor coplanare. Pentru determinarea axei centrale vom folosi relatia (3.21) si observatia ca într-un punct al axei centrale momentul rezultant este nul. Pentru un punct arbitrar P al axei centrale putem scrie:

(3.22)

Notând :

(3.22)

obtinem urmatoarea ecuatie numita ecuatia vectoriala a axei centrale :

(3.23)

Ecuatia (3.23) reprezinta ecuatia unei drepte ce trece prin punctul fix C (numit

  centrul fortelor paralele) si care este paralela cu axa de versor (vezi figura T 3.17).

Figura T 3.17

Într-un sistem cartezian Oxyz coordonatele centrului fortelor paralele sunt :

, , (3.24)

Centrul fortelor paralele are urmatoarele proprietati (fara demonstratie):

P1) Se poate schimba directia tuturor fortelor cu acelasi unghi si în acelasi sens si axa centrala va trece tot prin punctul C ;

P2) Se poate multiplica marimea tuturor fortelor cu acelasi scalar si centrul fortelor paralele ramâne nemodificat;

P3) Pozitia centrului fortelor paralele nu depinde de alegerea sistemului de referinta (este o proprietate intrinseca a sistemului de forte).

3.9. Probleme rezolvate

  R 3.1) Asupra unei bare cotite ABCD actioneaza forta , de modul 100 N. Sa se determine momentul fortei fata de punctele A si B (figura R 3.1). Dimensiunile sunt date în cm.

Figura R 3.1    Figura R 3.2

Rezolvare: Ca un prim pas sa determinam expresia analitica a fortei :

(N)

Conform definitiei 3.1 avem ca:

(N)

În plus,

sau

(N)

R 3.2) Pe diagonala AC a paralelipipedului dreptunghic din figura R 3.2 actioneaza forta , de modul 1000 N. Aflati momentul acestei forte fata de dreapta orientata DC. Dimensiunile sunt date in cm.

Rezolvare: Folosind definitia 3.2 obtinem ca:

(*)

Dar A(10, 0, 0), B(0, 20, 10), C(0, 20, 0) si D(10, 20, 10), astfel încât:

,

Din (*) gasim acum ca:

(N).

Figura R 3.3.1.    Figura R 3.3.2.

R 3.3) Asupra cubului OABCDEFG de latura a din figura R 3.3.1. actioneaza un sistem de patru forte, având punctele de aplicatie, directiile si sensurile din figura si modulele si un cuplu de moment pe directia OD. Se cere:

a)      Sa se calculeze si sa se reprezinte torsorul de reducere în punctul O;

b)      Cu ce este echivalent sistemul de forte ?

c)      Sa se calculeze, daca este cazul, momentul minim;

d)      Sa se determine ecuatiile axei centrale;

e)      Sa se determine torsorul de reducere în punctul E.

Rezolvare: a) Elementele torsorului de reducere în punctul O sunt:

Se vor proiecta pe rând fortele , pe axele sistemului Oxyz si se vor determina apoi momentele acestor forte în raport cu punctul O. Rezultatele vor fi trecute în tabelul T 3.1.

Forta : Fiind dirijata pe o paralela la axa Oy se proiecteaza numai pe aceasta axa.

Deci : . Momentul fortei în raport cu punctul O este dat de

relatia:

deoarece A(a, 0, 0).

Forta : , deoarece D(0,0,a). În plus, .

Forta : si .

Forta : Fiind paralela cu axa Ox se proiecteaza în adevarata marime pe aceasta axa, adica . În plus, .

Momentul .

Tabelul T 3.1

Din tabelul T 3.1 deducem ca:

si . Elementele torsorului de reducere sunt reprezentate în figura R 3.3.2.

b) Deoarece si , sistemul de forte este echivalent cu un torsor minimal.

c) .

d) Ecuatiile generale ale axei centrale (3.11) se rescriu pentru aceasta problema sub forma:

.

Observatie: Axa centrala a fost obtinuta ca intersectie a planelor de ecuatie si .

e) Torsorul în punctul E(a,0,a) este format din vectorul forta rezultanta si vectorul moment rezultant:

.

R 3.4) Placa hexagonala OABCDE de latura a din figura R 3.4.1 este solicitata de patru forte , situate în planul sau si un cuplu de forte de moment (perpendicular pe planul placii). Daca , , se cere:

a)      Torsorul de reducere în O (discutie în functie de valorile parametrului );

b)      Ecuatia axei centrale;

c)      Reprezentarea grafica a torsorului în O si a axei centrale.