ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR
1. ECUAŢII DE BAZĂ
Miscari cu suprafata libera produse de:
vānt;
atractia Lunii;
miscarile seismice;
deplasarea unor corpuri la suprafata apei sau īn imediata ei apropiere;
miscarea frontierelor, atunci cānd lichidele sunt continute īn spatii īnchise.
Ipoteze: miscare potentiala, nepermanenta a unui lichid ideal.
Integrānd ecuatia lui Euler de-a lungul unei linii de curent vom avea:
(1)
Ecuatia lui Lagrange. (2)
(3)
Suprafata apei se afla la presiune atmosferica, .
Īn cazul frontierelor fixe ale acvatoriului, avem:
sau
, īn cazul frontierelor mobile.
2. VALURI PLANE CĂLĂTOARE, DE MICĂ AMPLITUDINE
Ipoteza suplimentara:
Amplitudinea valului mult mai mica decāt lungimea sa de unda.
Īn aceasta situatie ecuatia lui Laplace are o solutie de forma:
, īn care . . (4)
(5)
Modulul vitezei totale va fi:
Īn acelasi timp:
(6)
La timpul t particula se va afla īn punctul M(x,z), iar la timpul īn punctul
(7)
(8)
Din relatiile de mai sus rezulta ca traiectoriile particulelor de lichid sunt cercuri cu centrul īn punctul de coordonate si avānd ca raza , descrescatoare cu adāncimea.
Amplitudinea valului la suprafata este data de relatia:
(9)
Īnaltimea valului se defineste ca distanta dintre o creasta de val si un gol de val:
(10)
Īn ecuatia (3) neglijam termenul īn . Viteza o consideram destul de mica. Conditia la limita
ne permite introducerea termenului īn .
Rezulta:
. (11)
Viteza verticala a valului are expresia:
. (12)
Am presupus ca amplitudinea valului este mult mai mica ca lungimea de unda
Rezulta:
(13)
si
. (14)
Relatia (11) ne permite sa stabilim ecuatia suprafetei valului:
(15)
lungimea de unda a valului fiind:
(16)
Īn Fig. 1 sunt reprezentate caracteristicile valurilor plane mica amplitudine:
Fig. 1
reprezinta viteza unghiulara a particulei de fluid īn traiectoria ei circulara.
este perioada miscarii. (17)
Din ecuatia suprafetei valului se observa ca aceasta este invariabila īn timp. De-a lungul axei Ox viteza de deplasare sau de propagare a undei de val este:
(18)
c se mai numeste si viteza aparenta. De aici provine denumirea de val calator.
Fiind vorba de o miscare potentiala, putem studia problema valurilor calatoare cautānd un potential complex pentru care este o linie de curent.
Potentialul complex cautat este de forma:
(19)
Īntr-un sistem de axe mobil care se deplaseaza cu viteza c, fata de sistemul fix 0xz, de-a lungul axei Ox, miscarea devine permanenta (Fig. 2).
Fig. 2
Relatiile de legatura īntre cele doua sisteme de coordonate vor fi:
(20)
3. GRUPURI DE VALURI
Sa consideram doua valuri calatoare, de amplitudini egale si perioade apropiate:
(21)
Prin suprapunerea efectelor, rezulta urmatoarea suprafata de val:
(22)
Din suprapunerea celor doua valuri a rezultat un val calator cu amplitudine variabila:
(23)
Amplitudinea variabila poate fi considerata o unda calatoare cu viteza aparenta :
sau, la limita: . (24)
Sa consideram acum cazul general īn care mai multe valuri, de amplitudini diferite, lungimi de unda diferite (dar apropiate ca valoare) si defazate ( - diferitele defazari), se suprapun. Rezulta o suprafata de val de forma:
(25)
4. VALUL STAŢIONAR
Valul stationar este un caz particular de compunere a valurilor. Este vorba de compunerea a doua valuri avānd aceleasi caracteristici, dar mergānd īn sensuri contrare. Practic un astfel de val se obtine atunci cānd un val plan calator loveste un perete vertical, unda reflectata suprapunāndu-se peste unda initiala.
(26)
Valul stationar rezultat va avea suprafata de ecuatie:
(27)
5. VALURI ĪN LICHID DE ADĀNCIME FINITĂ
Conditii la limita pentru un val plan calator īn situatia unei adīncimi finite:
h = adāncimea lichidului. (28)
Ecuatia lui Laplace este satisfacuta de o solutie de forma (4) īn care:
(29)
Punānd conditia la limita (13) - la suprafata - si (28) - la fund - obtinem sistemul:
(30)
Sistemul (30) este un sistem omogen care admite solutii nenule daca :
(31)
Deci:
(32)
Relatiile (18) si (32) ne conduc la expresia:
(33)
Solutia (29) va lua forma:
, (34)
iar suprafata libera va avea o expresie similara cu cea a valului plan calator de mica amplitudine:
(35)
īn care:
(36)
este amplitudinea valului si
(37)
Procedānd la fel ca īn capitolul 2, obtinem traiectoriile particulelor de lichid, care de aceasta data sunt elipse.
|