Electromagnetismul

 

Fig. 3.2

 

. (3.1)

unde : i este curentul care circulã prin buclã;

A este aria suprafeþei închise de buclã;

este versorul normal la suprafaþã, al cãrui sens este asociat cu sensul curentului prin regula burghiului drept (sensul de înaintare a burghiului drept rãsucit în sensul curentului).

(3.2)

unde este vectorul arie al conturului ocupat de conductorul buclei. Dacã bucla se compune din mai multe spire suprapuse (de exemplu N), aria este: A=NA_s , în care A_s este aria unei spire.

. (3.4)

iar modulul sãu este:

(3.5)

unde s-a notat cu a unghiul format de momentul magnetic al buclei cu vectorul inducþie magneticã.

Dacã se exploreazã cu ajutorul buclei de curent tot spaþiul din jurul unui circuit oarecare parcurs de curent, se poate determina vectorul pentru toate punctele spaþiului (prin mãsurarea cuplului exercitat asupra buclei) ºi apoi se pot trasa o serie de linii, astfel încât tangenta la linie în orice punct al sãu sã coincidã ca direcþie cu vectorul inducþie magneticã . Aceste linii se numesc liniile vectorului inducþiei magnetice sau liniile câmpului magnetic; ele sunt prevãzute cu sãgeþi care indicã sensul vectorului . Inducþia magneticã este o mãrime fundamentalã ce caracterizeazã câmpul magnetic.

Flux magnetic. Se defineºte fluxul magnetic al vectorului inducþie magneticã printr-o suprafaþã oarecare S (deschisã):

(3.6)

unde a este unghiul format de normala la suprafaþa S ºi vectorul inducþie magneticã, iar B_n este componenta normalã a vectorului B (fig. 3.4).

Fluxul magnetic reprezintã totalitatea liniilor de câmp care strãbat o suprafaþã oarecare situatã în câmp, iar inducþia magneticã reprezintã o mãrime egalã cu densitatea de flux magnetic, reprezentând totalitatea liniilor de câmp care strãbat unitatea de suprafaþã.

În cazul câmpurilor magnetice uniforme, inducþia magneticã are aceeaºi valoare în orice punct al câmpului, iar fluxul magnetic printr-o suprafaþã S aflatã în câmp (fig. 3.5) are expresia:

Când suprafaþa S este normalã pe liniile de câmp, fluxul care strãbate suprafaþa este maxim:

. (3.8)

Unitatea de mãsurã a fluxului în MKSA (respectiv S.I.)

.

Unitatea de mãsurã pentru inducþia magneticã B este Wb/m₂ sau T (Tesla).

Fluxul magnetic se mãsoarã în Wb (weberi).

Unitãþile de mãsurã pentru momentul magnetic, inducþia magneticã ºi fluxul magnetic sunt aceleaºi în sistemul raþionalizat ºi neraþionalizat.

Continuitatea fluxului magnetic. Liniile câmpului magnetic sunt curbe închise; neavând început ºi sfârºit. Sensul liniilor de câmp este asociat sensului curentului prin regula burghiului drept. Continuitatea fluxului magnetic este o consecinþã a faptului cã nu existã sarcini magnetice, analoge sarcinilor electrice, câmpul magnetic fiind produs de conductoare parcurse de curent electric, iar în cazul magneþilor permanenþi de curenþii elementari din interiorul acestora; curenþii elementari se datoresc miºcãrii orbitale ºi miºcãrii de rotaþie a electronilor în jurul axelor proprii. Liniile magnetice în interiorul magneþilor reprezintã o continuare a liniilor care trec în afara magneþilor (fig. 3.6).

Fig. 3.6

Datoritã faptului cã liniile câmpului magnetic sunt curbe închise (neexistând sarcini magnetice), fluxul magnetic printr-o suprafaþã închisã S este întotdeauna egal cu zero:

(3.9)

Relaþia de mai sus reprezintã legea fluxului magnetic. Conform acestei legi: fluxul magnetic care strãbate o suprafaþã închisã este nul, adicã fluxul magnetic care intrã într-o suprafaþã închisã este egal cu fluxul magnetic ce iese din acea suprafaþã.

Conform acestei legi, fluxul magnetic are aceeaºi valoare prin toate suprafeþele deschise care se sprijinã pe acelaºi contur; deci fluxul magnetic depinde numai de conturul ce limiteazã o suprafaþã deschisã ºi nu depinde de forma ei.

Tubul de câmp magnetic este constuit dintr-un mãnunchi de linii ale câmpului magnetic, fiind mãrginit de o suprafaþã lateralã ºi având o anumitã secþiune transversalã DS (figura 3.7).

Fig 3.7

Tubul de câmp este elementar atunci când secþiunea sa transversalã DS este atât de micã încât vectorul nu se modificã de la un punct la altul al acestei secþiuni.

3.1.3 Permeabilitatea magneticã. Intensitatea câmpului   

magnetic

Permeabilitatea magneticã se noteazã cu m ºi este o mãrime fizicã ce defineºte proprietãþile magnetice ale mediului în care ia naºtere câmpul. Experimental se aratã cã inducþia magneticã ce apare, depinde de natura mediului, de mãrimea curenþilor din conductoare precum ºi de poziþia circuitelor.

Vidul se considerã ca fiind mediul de referinþã; permeabilitatea magneticã a vidului se noteazã cu m , iar permeabilitatea magneticã relativã (m_r) se defineºte ca raportul dintre inducþia magneticã într-un mediu oarecare ºi inducþia magneticã în vid, creatã de acelaºi sistem de conductoare.

(3.10)

Deoarece inducþia magneticã depinde de proprietãþile magnetice ale mediului, permeabilitatea relativã a unui mediu oarecare se mai defineºte ca fiind egalã cu raportul permeabilitãþilor magnetice absolute ale mediului respectiv ºi vidului

(3.11)

de unde:

(3.12)

Permeabilitatea magneticã relativã este o mãrime adimensionalã care se determinã pe cale experimentalã pentru fiecare material; pentru vid m_r­=1, iar pentru aer m_r

Permeabilitatea magneticã a vidului în sistemul MKSA este:

(3.13)

În relaþia de mai sus H (henry) este simbolul pentru unitatea de mãsurã a inductivitãþii.

În funcþie de permeabilitatea magneticã relativã, materialele se împart în douã grupe: materiale diamagnetice la care m_r­<1 ºi paramagnetice la care m_r­>1. Din grupa materialelor paramagnetice fac parte materialele feromagnetice (m_r­>>1) care au un rol important în construcþia maºinilor ºi aparatelor electrice.

Intensitatea câmpului magnetic este o mãrime vectorialã de stare localã a câmpului magnetic care nu depinde de proprietãþile fizice ale mediului în care ia naºtere câmpul magnetic, ci depinde numai de configuraþia sistemului de conductoare ºi de valorile curenþilor ce strãbat conductoarele. Aceastã mãrime se defineºte ca fiind raportul dintre inducþia magneticã B ºi permeabilitatea magneticã a mediului:

(3.14)

pentru vid:

. (3.15)

Unitatea de mãsurã se deduce din relaþia:

.

3.1.4 Forþe magnetice

Dupã cum s-a mai arãtat în paragrafele anterioare, forþele magnetice pot fi împãrþite în trei grupe: forþe electromagnetice, forþe electrodinamice ºi forþe magnetostatice.

3.1.4.1 Forþa electromagneticã

Este forþa ce se exercitã asupra unui conductor parcurs de curent electric ce se aflã într-un câmp magnetic. Mai este cunoscutã ºi sub denumirea de forþa Laplace.

Dacã se mãsoarã forþa ce se exercitã asupra unui conductor parcurs de curentul i, având lungimea aflat într-un câmp de inducþie , se constatã valabilitatea expresiei:

. (3.16)

Pentru demonstrarea relaþiei (3.16) se considerã cazul particular al unui cadru dreptunghiular de dimensiuni Dl ºi d (fig. 3.8), parcurs de curentul i ºi aºezat într-un câmp magnetic de inducþie , uniform . În conformitate cu relaþia (3.16), forþele ce se exercitã asupra laturilor sunt perpendiculare pe planul format de ºi .

Fig. 3.8

Cadrul se poate roti în jurul axei punctate. Forþele ce se exercitã pe laturi de lungime vor da momente.

Momentul cuplului este:

. (3.17)

Dacã se înlocuieºte expresia (3.16) în (3.17) se va obþine:

, (3.18)

deoarece , iar =,

(3.19)

care reprezintã modulul vectorului moment.

Pentru un element de conductor relaþia (3.16) devine:

(3.20)

3.1.4.2 Densitatea de forþã

Pentru conductoarele masive, se introduce mãrimea numitã densitate de volum a forþei. Pentru aceasta se poate considera un tub de curent, având intensitatea , plasat sub acþiunea unui câmp magnetic de inducþie (fig. 3.9).

În relaþia: , se înlocuieºte volumul tubului cu relaþia:

(3.21)

Se obþine:

iar:

. (3.22)

deoarece ,ºi sunt îndreptate în aceeaºi direcþie.

Densitatea de volum a forþei este:

. (3.23)

Asupra unui conductor masiv, strãbãtut de curentul de inducþie i, se exercitã o forþã a cãrei densitate de volum este egalã cu produsul vectorial dintre densitatea de curent ºi inducþia magneticã în punctul considerat.

3.1.4.3 Forþa electrodinamicã (forþa lui Ampère)

Este forþa ce se exercitã între douã conductoare paralele de lungime l, aflate în câmp la distanþa d unul de celãlalt ºi parcurse de curenþii I₁ ºi I₂ (fig. 3.10).

Prin experienþele sale André-Marié-Ampère a constatat (în 1820-1821) cã valoarea forþei este datã de relaþia:

Fiecare conductor parcurs de curent se aflã în câmpul magnetic creat de celãlalt conductor ºi de aceea va fi supus unei forþe electromagnetice. Asupra conductorului 1 acþioneazã forþa:

. (3.25)

unde B₂ este inducþia magneticã produsã de conductorul 2 de-a lungul conductorului 1, iar l este lungimea de paralelism a celor douã conductoare.

Dacã se þine cont de expresia intensitãþii câmpului magnetic pentru un conductor infinit lung se obþine:

,

relaþie ce se înlocuieºte în (3.25) ºi rezultã:

(3.26)

Asupra conductorului 2 acþioneazã forþa:

, (3.27)

unde B₂ este inducþia magneticã produsã de conductorul 2 de-a lungul conductorului 1 iar l este lungimea de paralelism a celor douã conductoare. Se deduce în felul acesta cã:

. (3.28)

Rezultã în felul acesta:

. (3.29)

Se observã din relaþiile (3.26) ºi (3.29) cã forþa ce se exercitã asupra conductoarelor este aceeaºi

F₁₂ = F₂₁ = F    (3.30)

ºi se numeºte forþã electrodinamicã.

Experimental se constatã cã cele douã conductoare se atrag când curenþii au acelaºi sens ºi se resping când curenþii au sensuri opuse

(fig. 3.11).

Fig. 3.11

Pe baza forþelor electrodinamice funcþioneazã o serie de aparate ca: wattmetre, contoare etc. De asemenea atunci când se proiecteazã aparatajul electric, precum ºi a diferitelor instalaþii, se þine cont de eforturile electrodinamice care apar.

În sistemul MKSA (respectiv SI), amperul absolut, unitatea de mãsurã a curentului electric s-a definit pe baza forþelor electrodinamice, astfel: intensitatea curentului constant care menþinut în douã conductoare filiforme paralele, rectilinii, de lungime practic infinitã, aºezate la o distanþã de un metru unul de altul, în vid, determinã între aceste conductoare o forþã de newtoni pe metru de lungime.

3.2 Formula lui Biot-Savart-Laplace

Pe baza rezultatelor experimentale, obþinute de Jean Baptiste Biot ºi Felix Savart în 1820, matematicianul ºi fizicianul francez Pierre Simon Laplace a stabilit expresia matematicã cu ajutorul cãreia se calculeazã câmpul elementar produs de un element de conductor dl parcurs de curentul i, într-un punct P aflat la distanþa R (fig. 3.12):

, (3.31)

în care: - este elementul de arc al conturului circuitului cu sensul dat de sensul pozitiv al curentului i;

este raza vectoare dirijatã de la punctul M unde este localizat elementul la punctul P, unde se calculeazã câmpul;

Aplicând principiul suprapunerii efectelor, Laplace a stabilit formula cu ajutorul cãreia se calculeazã intensitatea câmpului magnetic produs de un circuit filiform închis parcurs de curentul i:

. (3.32)

Când se lucreazã cu aceastã formulã trebuie sã se sublinieze cã integrala trebuie efectuatã numai asupra unor curbe închise, rezultatul aplicãrii relaþiei asupra unor circuite deschise nu are semnificaþie fizicã, deoarece curenþii continui sunt întotdeauna închiºi.

3.2.1 Câmpul magnetic al unui conductor rectiliniu, infinit

lung parcurs de curent

Se considerã un conductor filiform infinit lung (considerat cã se închide pe la infinit) parcurs de curentul i (fig. 3.13) ºi ne propunem sã determinãm intensitatea câmpului magnetic într-un punct P aflat la distanþã d de axul conductorului.

Fig. 3.13

, (3.33)

din figura 3.13 se pot determina urmãtoarele:

, iar relaþia (3.33) devine:

Sensul intensitãþii câmpului magnetic se stabileºte cu ajutorul regulii burghiului drept (sensul de rotaþie al burghiului drept care înainteazã în sensul curentului), liniile de câmp fiind circulare.

Spectrul liniilor de câmp magnetice este format din linii închise spre deosebire de spectrul câmpului electric, ale cãrui linii de câmp plecau de la sarcini pozitive la sarcinile negative.

Sensul forþelor electrodinamice se poate stabili intuitiv cu ajutorul spectrului liniilor de câmp (fig. 3.11), þinând seama de "compresiunea" lateralã ºi de "întinderea longitudinalã" pe care le exercitã liniile de câmp.

În ambele cazuri firele conductoare sunt împinse spre regiunea cu linii de câmp mai rare.

Tot cu ajutorul liniilor de câmp se poate determina sensul forþei

ce se exercitã asupra unui conductor parcurs de curentul i ce se aflã într-un câmp magnetic de inducþie (fig. 3.14).

Fig. 3.14

În figura 3.14b, sunt desenate liniile rezultante, din a cãror repartiþie se poate deduce urmãtoarea regulã: conductorul este acþionat de o forþã transversalã îndreptatã dinspre regiunea cu câmp magnetic mai intens spre regiunea cu câmp magnetic mai slab (regula lui Mitkevici).

3.2.2 Intensitatea câmpului magnetic într-un punct pe axa

unei spire circulare parcurse de curent electric

O spirã circularã de razã a este parcursã de curentul i (fig. 3.15). Se cere sã se determine intensitatea câmpului magnetic într-un punct P situat pe axa spirei la distanþa z de centrul acesteia.

Fig. 3.15

Intensitatea câmpului magnetic în punctul P corespunzãtoare unui element de lungime se poate exprima cu relaþia:

, (3.34)

unde s-a þinut cont cã unghiul dintre ºi este 90^o.

Vectorul are douã componente:

, (3.35)

unde: ºi .

Dacã se considerã elementul de arie în douã poziþii diametrale ale spirei, rezultã o sumã geometricã nulã a celor douã componente corespunzãtoare acestor poziþii. Deci pentru toatã spira, intensitatea câmpului magnetic rezultant nu are o componentã orizontalã, vectorul fiind situat pe axa spirei ºi obþinându-se prin însumarea (integrarea) componentelor dH_z , adicã:

(3.36)

unde, înlocuind se obþine:

, (3.37)

având în vedere cã: , rezultã

. (3.38)

în care: i este curentul care parcurge spira;

a este raza spirei;

z este distanþa pe ax a punctului P faþã de planul spirei.

Direcþia vectorului este cea a axei, iar sensul lui este dat de sensul de înaintare a burghiului drept rotit în sensul curentului.

Dacã punctul P se gãseºte în centrul spirei (z=0), atunci:

(3.39)

Pe baza relaþiei (3.39) se defineºte unitatea folositã pentru mãsurarea intensitãþii câmpului magnetic, denumitã amperspirã pe metru (Asp/m), care este intensitatea câmpului magnetic ce se stabileºte în centrul spirei cu diametrul de 1 m, prin care trece un curent de 1A.

3.2.3 Intensitatea câmpului magnetic pentru un conductor de

lungime finitã

Se pune problema determinãrii intensitãþii câmpului magnetic într-un punct M, la distanþa a de axa conductorului rectiliniu, filiform, situat în aer, de lungime l parcurs de curentul I (fig. 3.16).

Fig. 3.16

cu notaþiile din figurã, conform teoremei Biot-Savart-Laplace.

, unde este un versor perpendicular pe planul figurii, orientat spre figurã. Se observã cã: =; ºi .

Integrala devine:

3.2.4 Intensitatea câmpului magnetic în interiorul unei bobine

cilindrice

Se cere sã se determine intensitatea câmpului magnetic într-un punct de pe axa unei borne cilindrice parcursã de curentul I, având raza R, lungimea l ºi N numãrul de spire (fig. 3.17).

Fig. 3.17

Se considerã bobina cu stratul de spire foarte subþire ºi spirele foarte aproape una de alta. Un element de lungime dx al bobinei poate fi identificat de o altã spirã echivalentã filiformã, parcursã de curentul

. Conform relaþiei:

(3.40)

în care a=R, z=d, intensitatea câmpului magnetic produs de aceastã spirã într-un punct P de pe axa bobinei, la distanþa x de spira elementarã, este:

. (3.41)

Din figurã rezultã:

,

respectiv , cu care relaþia (3.41) devine:

. (3.42)

Pentru toatã lungimea bobinei, când b variazã între liniile b ºi b , rezultã:

,

de unde se vede cã intensitatea câmpului magnetic depinde de poziþia punctului P ºi de lungimea l a bobinei. La o bobinã de lungime mare în raport cu diametrul sãu ºi , deci:

. (3.43)

În cazul în care l>>2R, relaþia (3.43) devine:

H=NI. (3.44)

Sensul intensitãþii câmpului în interiorul solenoidului se determinã cu ajutorul regulii burghiului drept aplicate ca la spira circularã sau cu regula mâinii drepte, astfel: se apucã solenoidul cu mâna având degetele îndreptate în sensul curentului, iar degetul mare desfãcut la 90^o ne va indica sensul câmpului.

Relaþia (3.44) este precisã când solenoidul nu are suprafeþe terminale, adicã constituie un solenoid de formã toroidalã (inelarã) (figura 3.18). În acest caz liniile de câmp se închid în interiorul spirelor.

Dacã diametrul mediu al torului este mare în raport cu diametrul spirelor, câmpul este omogen; fluxul din secþiunea radialã a torului este:

, (3.45)