Electromagnetismul

 

Fig. 3.2

 

. (3.1)

unde : i este curentul care circulă prin buclă;

A este aria suprafeței închise de buclă;

este versorul normal la suprafață, al cărui sens este asociat cu sensul curentului prin regula burghiului drept (sensul de înaintare a burghiului drept răsucit în sensul curentului).

(3.2)

unde este vectorul arie al conturului ocupat de conductorul buclei. Dacă bucla se compune din mai multe spire suprapuse (de exemplu N), aria este: A=NA_s , în care A_s este aria unei spire.

. (3.4)

iar modulul său este:

(3.5)

unde s-a notat cu a unghiul format de momentul magnetic al buclei cu vectorul inducție magnetică.

Dacă se explorează cu ajutorul buclei de curent tot spațiul din jurul unui circuit oarecare parcurs de curent, se poate determina vectorul pentru toate punctele spațiului (prin măsurarea cuplului exercitat asupra buclei) și apoi se pot trasa o serie de linii, astfel încât tangenta la linie în orice punct al său să coincidă ca direcție cu vectorul inducție magnetică . Aceste linii se numesc liniile vectorului inducției magnetice sau liniile câmpului magnetic; ele sunt prevăzute cu săgeți care indică sensul vectorului . Inducția magnetică este o mărime fundamentală ce caracterizează câmpul magnetic.

Flux magnetic. Se definește fluxul magnetic al vectorului inducție magnetică printr-o suprafață oarecare S (deschisă):

(3.6)

unde a este unghiul format de normala la suprafața S și vectorul inducție magnetică, iar B_n este componenta normală a vectorului B (fig. 3.4).

Fluxul magnetic reprezintă totalitatea liniilor de câmp care străbat o suprafață oarecare situată în câmp, iar inducția magnetică reprezintă o mărime egală cu densitatea de flux magnetic, reprezentând totalitatea liniilor de câmp care străbat unitatea de suprafață.

În cazul câmpurilor magnetice uniforme, inducția magnetică are aceeași valoare în orice punct al câmpului, iar fluxul magnetic printr-o suprafață S aflată în câmp (fig. 3.5) are expresia:

Când suprafața S este normală pe liniile de câmp, fluxul care străbate suprafața este maxim:

. (3.8)

Unitatea de măsură a fluxului în MKSA (respectiv S.I.)

.

Unitatea de măsură pentru inducția magnetică B este Wb/m₂ sau T (Tesla).

Fluxul magnetic se măsoară în Wb (weberi).

Unitățile de măsură pentru momentul magnetic, inducția magnetică și fluxul magnetic sunt aceleași în sistemul raționalizat și neraționalizat.

Continuitatea fluxului magnetic. Liniile câmpului magnetic sunt curbe închise; neavând început și sfârșit. Sensul liniilor de câmp este asociat sensului curentului prin regula burghiului drept. Continuitatea fluxului magnetic este o consecință a faptului că nu există sarcini magnetice, analoge sarcinilor electrice, câmpul magnetic fiind produs de conductoare parcurse de curent electric, iar în cazul magneților permanenți de curenții elementari din interiorul acestora; curenții elementari se datoresc mișcării orbitale și mișcării de rotație a electronilor în jurul axelor proprii. Liniile magnetice în interiorul magneților reprezintă o continuare a liniilor care trec în afara magneților (fig. 3.6).

Fig. 3.6

Datorită faptului că liniile câmpului magnetic sunt curbe închise (neexistând sarcini magnetice), fluxul magnetic printr-o suprafață închisă S este întotdeauna egal cu zero:

(3.9)

Relația de mai sus reprezintă legea fluxului magnetic. Conform acestei legi: fluxul magnetic care străbate o suprafață închisă este nul, adică fluxul magnetic care intră într-o suprafață închisă este egal cu fluxul magnetic ce iese din acea suprafață.

Conform acestei legi, fluxul magnetic are aceeași valoare prin toate suprafețele deschise care se sprijină pe același contur; deci fluxul magnetic depinde numai de conturul ce limitează o suprafață deschisă și nu depinde de forma ei.

Tubul de câmp magnetic este constuit dintr-un mănunchi de linii ale câmpului magnetic, fiind mărginit de o suprafață laterală și având o anumită secțiune transversală DS (figura 3.7).

Fig 3.7

Tubul de câmp este elementar atunci când secțiunea sa transversală DS este atât de mică încât vectorul nu se modifică de la un punct la altul al acestei secțiuni.

3.1.3 Permeabilitatea magnetică. Intensitatea câmpului   

magnetic

Permeabilitatea magnetică se notează cu m și este o mărime fizică ce definește proprietățile magnetice ale mediului în care ia naștere câmpul. Experimental se arată că inducția magnetică ce apare, depinde de natura mediului, de mărimea curenților din conductoare precum și de poziția circuitelor.

Vidul se consideră ca fiind mediul de referință; permeabilitatea magnetică a vidului se notează cu m , iar permeabilitatea magnetică relativă (m_r) se definește ca raportul dintre inducția magnetică într-un mediu oarecare și inducția magnetică în vid, creată de același sistem de conductoare.

(3.10)

Deoarece inducția magnetică depinde de proprietățile magnetice ale mediului, permeabilitatea relativă a unui mediu oarecare se mai definește ca fiind egală cu raportul permeabilităților magnetice absolute ale mediului respectiv și vidului

(3.11)

de unde:

(3.12)

Permeabilitatea magnetică relativă este o mărime adimensională care se determină pe cale experimentală pentru fiecare material; pentru vid m_r­=1, iar pentru aer m_r

Permeabilitatea magnetică a vidului în sistemul MKSA este:

(3.13)

În relația de mai sus H (henry) este simbolul pentru unitatea de măsură a inductivității.

În funcție de permeabilitatea magnetică relativă, materialele se împart în două grupe: materiale diamagnetice la care m_r­<1 și paramagnetice la care m_r­>1. Din grupa materialelor paramagnetice fac parte materialele feromagnetice (m_r­>>1) care au un rol important în construcția mașinilor și aparatelor electrice.

Intensitatea câmpului magnetic este o mărime vectorială de stare locală a câmpului magnetic care nu depinde de proprietățile fizice ale mediului în care ia naștere câmpul magnetic, ci depinde numai de configurația sistemului de conductoare și de valorile curenților ce străbat conductoarele. Această mărime se definește ca fiind raportul dintre inducția magnetică B și permeabilitatea magnetică a mediului:

(3.14)

pentru vid:

. (3.15)

Unitatea de măsură se deduce din relația:

.

3.1.4 Forțe magnetice

După cum s-a mai arătat în paragrafele anterioare, forțele magnetice pot fi împărțite în trei grupe: forțe electromagnetice, forțe electrodinamice și forțe magnetostatice.

3.1.4.1 Forța electromagnetică

Este forța ce se exercită asupra unui conductor parcurs de curent electric ce se află într-un câmp magnetic. Mai este cunoscută și sub denumirea de forța Laplace.

Dacă se măsoară forța ce se exercită asupra unui conductor parcurs de curentul i, având lungimea aflat într-un câmp de inducție , se constată valabilitatea expresiei:

. (3.16)

Pentru demonstrarea relației (3.16) se consideră cazul particular al unui cadru dreptunghiular de dimensiuni Dl și d (fig. 3.8), parcurs de curentul i și așezat într-un câmp magnetic de inducție , uniform . În conformitate cu relația (3.16), forțele ce se exercită asupra laturilor sunt perpendiculare pe planul format de și .

Fig. 3.8

Cadrul se poate roti în jurul axei punctate. Forțele ce se exercită pe laturi de lungime vor da momente.

Momentul cuplului este:

. (3.17)

Dacă se înlocuiește expresia (3.16) în (3.17) se va obține:

, (3.18)

deoarece , iar =,

(3.19)

care reprezintă modulul vectorului moment.

Pentru un element de conductor relația (3.16) devine:

(3.20)

3.1.4.2 Densitatea de forță

Pentru conductoarele masive, se introduce mărimea numită densitate de volum a forței. Pentru aceasta se poate considera un tub de curent, având intensitatea , plasat sub acțiunea unui câmp magnetic de inducție (fig. 3.9).

În relația: , se înlocuiește volumul tubului cu relația:

(3.21)

Se obține:

iar:

. (3.22)

deoarece ,și sunt îndreptate în aceeași direcție.

Densitatea de volum a forței este:

. (3.23)

Asupra unui conductor masiv, străbătut de curentul de inducție i, se exercită o forță a cărei densitate de volum este egală cu produsul vectorial dintre densitatea de curent și inducția magnetică în punctul considerat.

3.1.4.3 Forța electrodinamică (forța lui Ampère)

Este forța ce se exercită între două conductoare paralele de lungime l, aflate în câmp la distanța d unul de celălalt și parcurse de curenții I₁ și I₂ (fig. 3.10).

Prin experiențele sale André-Marié-Ampère a constatat (în 1820-1821) că valoarea forței este dată de relația:

Fiecare conductor parcurs de curent se află în câmpul magnetic creat de celălalt conductor și de aceea va fi supus unei forțe electromagnetice. Asupra conductorului 1 acționează forța:

. (3.25)

unde B₂ este inducția magnetică produsă de conductorul 2 de-a lungul conductorului 1, iar l este lungimea de paralelism a celor două conductoare.

Dacă se ține cont de expresia intensității câmpului magnetic pentru un conductor infinit lung se obține:

,

relație ce se înlocuiește în (3.25) și rezultă:

(3.26)

Asupra conductorului 2 acționează forța:

, (3.27)

unde B₂ este inducția magnetică produsă de conductorul 2 de-a lungul conductorului 1 iar l este lungimea de paralelism a celor două conductoare. Se deduce în felul acesta că:

. (3.28)

Rezultă în felul acesta:

. (3.29)

Se observă din relațiile (3.26) și (3.29) că forța ce se exercită asupra conductoarelor este aceeași

F₁₂ = F₂₁ = F    (3.30)

și se numește forță electrodinamică.

Experimental se constată că cele două conductoare se atrag când curenții au același sens și se resping când curenții au sensuri opuse

(fig. 3.11).

Fig. 3.11

Pe baza forțelor electrodinamice funcționează o serie de aparate ca: wattmetre, contoare etc. De asemenea atunci când se proiectează aparatajul electric, precum și a diferitelor instalații, se ține cont de eforturile electrodinamice care apar.

În sistemul MKSA (respectiv SI), amperul absolut, unitatea de măsură a curentului electric s-a definit pe baza forțelor electrodinamice, astfel: intensitatea curentului constant care menținut în două conductoare filiforme paralele, rectilinii, de lungime practic infinită, așezate la o distanță de un metru unul de altul, în vid, determină între aceste conductoare o forță de newtoni pe metru de lungime.

3.2 Formula lui Biot-Savart-Laplace

Pe baza rezultatelor experimentale, obținute de Jean Baptiste Biot și Felix Savart în 1820, matematicianul și fizicianul francez Pierre Simon Laplace a stabilit expresia matematică cu ajutorul căreia se calculează câmpul elementar produs de un element de conductor dl parcurs de curentul i, într-un punct P aflat la distanța R (fig. 3.12):

, (3.31)

în care: - este elementul de arc al conturului circuitului cu sensul dat de sensul pozitiv al curentului i;

este raza vectoare dirijată de la punctul M unde este localizat elementul la punctul P, unde se calculează câmpul;

Aplicând principiul suprapunerii efectelor, Laplace a stabilit formula cu ajutorul căreia se calculează intensitatea câmpului magnetic produs de un circuit filiform închis parcurs de curentul i:

. (3.32)

Când se lucrează cu această formulă trebuie să se sublinieze că integrala trebuie efectuată numai asupra unor curbe închise, rezultatul aplicării relației asupra unor circuite deschise nu are semnificație fizică, deoarece curenții continui sunt întotdeauna închiși.

3.2.1 Câmpul magnetic al unui conductor rectiliniu, infinit

lung parcurs de curent

Se consideră un conductor filiform infinit lung (considerat că se închide pe la infinit) parcurs de curentul i (fig. 3.13) și ne propunem să determinăm intensitatea câmpului magnetic într-un punct P aflat la distanță d de axul conductorului.

Fig. 3.13

, (3.33)

din figura 3.13 se pot determina următoarele:

, iar relația (3.33) devine:

Sensul intensității câmpului magnetic se stabilește cu ajutorul regulii burghiului drept (sensul de rotație al burghiului drept care înaintează în sensul curentului), liniile de câmp fiind circulare.

Spectrul liniilor de câmp magnetice este format din linii închise spre deosebire de spectrul câmpului electric, ale cărui linii de câmp plecau de la sarcini pozitive la sarcinile negative.

Sensul forțelor electrodinamice se poate stabili intuitiv cu ajutorul spectrului liniilor de câmp (fig. 3.11), ținând seama de "compresiunea" laterală și de "întinderea longitudinală" pe care le exercită liniile de câmp.

În ambele cazuri firele conductoare sunt împinse spre regiunea cu linii de câmp mai rare.

Tot cu ajutorul liniilor de câmp se poate determina sensul forței

ce se exercită asupra unui conductor parcurs de curentul i ce se află într-un câmp magnetic de inducție (fig. 3.14).

Fig. 3.14

În figura 3.14b, sunt desenate liniile rezultante, din a căror repartiție se poate deduce următoarea regulă: conductorul este acționat de o forță transversală îndreptată dinspre regiunea cu câmp magnetic mai intens spre regiunea cu câmp magnetic mai slab (regula lui Mitkevici).

3.2.2 Intensitatea câmpului magnetic într-un punct pe axa

unei spire circulare parcurse de curent electric

O spiră circulară de rază a este parcursă de curentul i (fig. 3.15). Se cere să se determine intensitatea câmpului magnetic într-un punct P situat pe axa spirei la distanța z de centrul acesteia.

Fig. 3.15

Intensitatea câmpului magnetic în punctul P corespunzătoare unui element de lungime se poate exprima cu relația:

, (3.34)

unde s-a ținut cont că unghiul dintre și este 90^o.

Vectorul are două componente:

, (3.35)

unde: și .

Dacă se consideră elementul de arie în două poziții diametrale ale spirei, rezultă o sumă geometrică nulă a celor două componente corespunzătoare acestor poziții. Deci pentru toată spira, intensitatea câmpului magnetic rezultant nu are o componentă orizontală, vectorul fiind situat pe axa spirei și obținându-se prin însumarea (integrarea) componentelor dH_z , adică:

(3.36)

unde, înlocuind se obține:

, (3.37)

având în vedere că: , rezultă

. (3.38)

în care: i este curentul care parcurge spira;

a este raza spirei;

z este distanța pe ax a punctului P față de planul spirei.

Direcția vectorului este cea a axei, iar sensul lui este dat de sensul de înaintare a burghiului drept rotit în sensul curentului.

Dacă punctul P se găsește în centrul spirei (z=0), atunci:

(3.39)

Pe baza relației (3.39) se definește unitatea folosită pentru măsurarea intensității câmpului magnetic, denumită amperspiră pe metru (Asp/m), care este intensitatea câmpului magnetic ce se stabilește în centrul spirei cu diametrul de 1 m, prin care trece un curent de 1A.

3.2.3 Intensitatea câmpului magnetic pentru un conductor de

lungime finită

Se pune problema determinării intensității câmpului magnetic într-un punct M, la distanța a de axa conductorului rectiliniu, filiform, situat în aer, de lungime l parcurs de curentul I (fig. 3.16).

Fig. 3.16

cu notațiile din figură, conform teoremei Biot-Savart-Laplace.

, unde este un versor perpendicular pe planul figurii, orientat spre figură. Se observă că: =; și .

Integrala devine:

3.2.4 Intensitatea câmpului magnetic în interiorul unei bobine

cilindrice

Se cere să se determine intensitatea câmpului magnetic într-un punct de pe axa unei borne cilindrice parcursă de curentul I, având raza R, lungimea l și N numărul de spire (fig. 3.17).

Fig. 3.17

Se consideră bobina cu stratul de spire foarte subțire și spirele foarte aproape una de alta. Un element de lungime dx al bobinei poate fi identificat de o altă spiră echivalentă filiformă, parcursă de curentul

. Conform relației:

(3.40)

în care a=R, z=d, intensitatea câmpului magnetic produs de această spiră într-un punct P de pe axa bobinei, la distanța x de spira elementară, este:

. (3.41)

Din figură rezultă:

,

respectiv , cu care relația (3.41) devine:

. (3.42)

Pentru toată lungimea bobinei, când b variază între liniile b și b , rezultă:

,

de unde se vede că intensitatea câmpului magnetic depinde de poziția punctului P și de lungimea l a bobinei. La o bobină de lungime mare în raport cu diametrul său și , deci:

. (3.43)

În cazul în care l>>2R, relația (3.43) devine:

H=NI. (3.44)

Sensul intensității câmpului în interiorul solenoidului se determină cu ajutorul regulii burghiului drept aplicate ca la spira circulară sau cu regula mâinii drepte, astfel: se apucă solenoidul cu mâna având degetele îndreptate în sensul curentului, iar degetul mare desfăcut la 90^o ne va indica sensul câmpului.

Relația (3.44) este precisă când solenoidul nu are suprafețe terminale, adică constituie un solenoid de formă toroidală (inelară) (figura 3.18). În acest caz liniile de câmp se închid în interiorul spirelor.

Dacă diametrul mediu al torului este mare în raport cu diametrul spirelor, câmpul este omogen; fluxul din secțiunea radială a torului este:

, (3.45)