Exemplu de proces cu parametri distribuiti. Schimbatorul de caldura tubular īn regim tranzitoriu

Se considera un schimbator de caldura tubular, la care se va studia regimul tranzitoriu indus la schimbari ale debitului de fluid, temperaturii de alimentare a fluidului sau temperaturii agentului termic. Pentru simplitate, temperatura agentului termic se considera uniforma īn tot spatiul schimbatorului, situatie posibila atunci cānd agentul termic este abur saturat īn condensare, un lichid la fierbere, sau un lichid supus unei agitari suficient de intense (fig 11).

Fig. 11. Schimbatoare de caldura cu temperatura agentului termic uniforma spatial

Temperatura fluidului supus īncalzirii sau racirii este dependenta de pozitia īn lungul tevii si respectiv de timp. Modelul matematic ce exprima aceste dependente se obtine din ecuatia de bilant termic. Īn ipotezele ca circulatia fluidului īn teava este de tip deplasare totala, nu au loc schimbari de faza, procesul este izobar si proprietatile fluidului sunt constante, aceasta ecuatie este de forma:

(97)

T, T_a - temperaturile fluidului si respectiv agentului termic;

r, c_p - densitatea si caldura specifica ale fluidului;

u - viteza de curgere a fluidului, presupusa constanta īn raport cu z (ipoteza nu īntotdeauna acceptabila);

z - coordonata axiala (īn lungul tevii);

P, A - perimetrul si respectiv aria sectiunii transversale.

La tevi circulare (d_t - diametrul tevii).

Conditiile initiale si la limita asociate ecuatiei (97) sunt:

(98)

Īn scrierea ecuatiei (97) s-a considerat ca peretele metalic nu influenteaza dinamica schimbatorului (capacitatea calorica a peretelui metalic neglijabila). Ecuatia p 434b13e ermite calculul evolutiei temperaturii fluidului, T, īn timp si īn lungul axei schimbatorului. Īn continuare, se vor calcula evolutii generate de modificari ale temperaturii agentului termic, T_a, temperaturii de intrare a fluidului, T_i si respectiv vitezei u (debitului de fluid). Ecuatia (97) este o ecuatie diferentiala cu derivate partiale de ordinul I, care, daca debitul de fluid este variabil īn timp, este neliniara si nu admite solutie analitica. O solutie aproximativa se poate obtine totusi pe cale analitica, prin liniarizarea ecuatiei diferentiale īn jurul unei stari stationare. O astfel de solutie va fi dedusa īn continuare, presupunānd ca la schimbatorul se afla la starea stationara:

si .

Ecuatia (97) se transcrie īn forma echivalenta:

; (99)

Īn regim stationar ():

(100)

Scazānd (100) din (93) se obtine:

; ; ; (101)

Termenul neliniar se poate liniariza prin dezvoltare īn serie Taylor, īn jurul starii stationare:

(102)

Din (101) si (102) rezulta (cu w=u-u_s):

(103)

Īn regim stationar, evolutia temperaturii īn lungul schimbatorului se obtine prin integrarea ecuatiei (100):

, sau (104)

(105)

Īnlocuind (105) īn (103) rezulta:

(106)

Ecuatia (106) este liniara si poate fi integrata pe cale analitica. Se va utiliza īn acest scop metoda Transformatei Laplace. Transformata ecuatiei (106) īn domeniul complex este:

(107)

Ecuatia (107) se integreaza īn raport cu z prin metoda "variatiei constantei". Īn acest scop se rezolva ecuatia omogena corespunzatoare:

(108)

Aceasta are solutia:

(109)

Solutia ecuatiei (107) se considera de forma (109), īn care constanta de integrare j devine o functie de z, ce urmeaza a fi determinata.

Din (109) si (107) rezulta:

(110)

Integrānd īn raport cu z se obtine:

(111)

C - constanta de integrare.

Īnlocuind expresia lui j īn (109) se obtine:

(112)

Din conditia initiala: , rezulta:

(113)

Din (112) si (113) se obtine expresia solutiei ecuatiei liniarizate, īn domeniul complex (Laplace): (114)

Introducānd functiile de transfer:

(115)

(116)

, (117)

transformata Laplace a functiei are expresia:

(118)

Cei trei termeni ai expresiei astfel obtinute, reprezinta efectele individuale ale temperaturii de intrare, temperaturii agentului termic si respectiv vitezei fluidului (debitului) asupra temperaturii fluidului la iesirea din teava schimbatorului. Īn continuare, se vor calcula, cu ajutorul relatiei (118), evolutiile īn timp ale temperaturii la iesirea din teava schimbatorului pentru modificari treapta ale celor trei variabile independente.

Analiza unor utilaje de transfer de masa operate īn regim nestationar

Modelul matematic al unei coloane de rectificare discontinua a amestecurilor binare

Regimul de functionare este īn acest caz nestationar prin natura intrinseca a procesului. Cantitatea de amestec din blaz si compozitia acestuia sunt continuu variabile īn timp. Mentinerea constanta a compozitiei distilatului presupune cresterea continua a raportului de reflux al coloanei.

De asemenea, va exista o tendinta de reducere continua a debitului de vapori care circula prin coloana, ca urmare a cresterii continue a temperaturii de fierbere a amestecului din blaz (a carei concentratie īn component usor este din ce īn ce mai redusa, pe masura ce separarea avanseaza ).

Se considera procesul de separare a unui amestec binar, īntr-o coloana cu talere (fig. 14), pentru descrierea careia se introduc urmatoarele ipoteze simplificatoare:

n=1,2, N

īn care:

L_n, V_n - debitele molare de lichid si respectiv vapori rezultate de pe talerul n;

H_n - cantitatea de amestec (retentia) pe talerul n al coloanei.

Debitul molar de vapori fiind constant īn lungul coloanei: V_n+1=V_n=.=V.

Ecuatia (128) devine:

; n=1,2, N (129)

Bilantul masic partial al componentului volatil pe talerul n al coloanei este exprimat prin ecuatia:

; n=1,2, N

x_n, y_n - fractiile molare ale componentului volatil īn fazele lichida si respectiv de vapori, continute pe talerul n al coloanei.

Fig. 14 Coloana de rectificare discontinua

Pentru blazul coloanei, cele doua ecuatii de bilant masic, total si partial, au expresiile:

(131)

(132)

Pentru rezervorul de reflux, ecuatiile de bilant masic sunt:

(133)

(134)

Din ipoteza echilibrului termodinamic lichid-vapori pe talerul n, īn ipoteza comportarii ideale a celor doua faze, se pot scrie relatiile (date de legea Raoult):

(135)

; n=1,2, N

p - presiunea de lucru

P₁, P₂ - presiuni de vapori ale componentilor puri ai amestecului, la temperatura de lucru.

Din (135) si (136) se obtine relatia Fenske:

; n=1,2, N (137)

- volatilitatea relativa

Din punct de vedere hidrodinamic, se presupune ca debitul de lichid ce paraseste talerul n este suma īntre debitul ce deverseaza peste pragul talerului (L_n,p) si debitul ce se scurge prin orificiile talerului sub forma de picaturi (L_n,o). Acestea se pot calcula din relatiile semiempirice:

; n=1,2, N (138)

H_n,s - cantitatea statica (corespunzatoare regimului stationar) de lichid de pe talerul n.

; n=1,2, N (L_n,p = 0 pentru H_n < H_n,s). (139)

K₁, K₂ - constante obtinute experimental sau din relatii empirice

; n=1,2, N

Modelul matematic al coloanei este format din 2N+2 ecuatii diferentiale de bilant masic (128) - (134) din care se obtin prin integrare retentiile de lichid pe talere, H₁, H₂, ., H_N, cantitatile de lichid din blaz, H_w si rezervorul de distilat, H_D si respectiv concentratiile corespunzatoare ale compusului volatil, x₁, x₂, .x_N, x_w si x_D. Concentratiile īn faza de vapori (y_n) se obtin din (137). Debitele de lichid L₁, L₂, ., L_N se calculeaza din relatiile hidrodinamice (138) - (140). Debitul de distilat, D, se obtine din principiul de functionare a regulatorului de nivel al rezervorului de distilat, iar debitul de reflux, L₀, se fixeaza īn functie de puritatea dorita a distilatului obtinut la iesirea din condensatorul coloanei (x_D=y₁).

Debitul de vapori care circula prin coloana, V, este calculat din sarcina termica furnizata coloanei īn refierbator (debitul de abur de īncalzire).

Modelul matematic al unei coloane de rectificare continua īn regim tranzitoriu

Se considera o coloana cu talere de rectificare a unui amestec binar, cu functionare continua (fig. 15). Regimurile tranzitorii apar la un astfel de utilaj īn perioadele de pornire, oprire sau modificare a punctelor de functionare stationara (modificarea puritatii distilatului, schimbarea compozitiei sau debitului īn alimentare etc).

Ecuatiile modelului matematic ce descrie regimul tranzitoriu al coloanei se obtin din bilantul masic al componentului volatil si respectiv bilantul termic pe talerele coloanei.

Ipotezele introduse īn scrierea ecuatiilor de bilant sunt asemanatoare celor īntālnite la coloana de rectificare discontinua:

n=1,2, N

Īn zona de epuizare (sub talerul de alimentare), debitele de lichid si vapori sunt diferite fata de cele din zona de concentrare, fiind influentate de valoarea debitului de alimentare, compozitia amestecului alimentat, precum si de starea termica a alimentarii.

Bilantul componentului volatil pe talerul de alimentare este exprimat prin ecuatia (v. fig. 15b):

(142)

F, x_F - debitul molar de alimentare si respectiv fractia molara a componentului volatil īn alimentare.

Fig. 15 Coloana de rectificare continua cu talere ; (a) coloana cu talere ;(b) talerul de alimentare.

Relatia īntre debitele ce intervin īn ecuatia de bilant (142) se obtine din bilantul masic total īn jurul talerului de alimentare:

(143)

Alte relatii īntre debitele de lichid si vapori ce intra si ies de pe talerul de alimentare, se obtin din ecuatia de bilant termic pentru acest taler.

Se noteaza:

i - entalpia amestecului alimentat (kJ/mol); i', i" - entalpiile lichidului, respectiv vaporilor la starea de saturatie (kJ/mol); i_vap - entalpia latenta de vaporizare a amestecului;

Starea termica a alimentarii, q, este definita prin relatia:

(144)

Din aceasta relatie se observa ca valoarea q=1 corespunde alimentarii cu lichid la temperatura de fierbere (i=i'), q>1 daca i<i' (lichid la o temperatura mai mica decāt cea de fierbere) si q=0 daca i=i" (alimentare cu vapori saturati). Considerānd talerele īn regim izoterm (temperatura constanta īn timp), ecuatia de bilant termic pentru talerul de alimentare este de forma:

(145)

Īn aceasta ecuatie se fac substitutiile:

i" = i' + i_vap

i =i"- q i_vap = i' + (1-q) i_vap (dedusa din (144)).

Ecuatia (145) devine:

(146)

Din (146) si (143) se deduce relatia:

(147)

Din aceasta relatie se observa ca:

n=1,2, N

iar īn blazul coloanei:

(150)

Īn acelasi mod se scrie ecuatia de bilant pentru componentul volatil īn rezervorul de distilat:

(151)

La ecuatiile de mai sus, se adauga relatii ce decurg din existenta elementelor de reglare a nivelului īn blaz si īn rezervorul de distilat:

W = f( H_W )    si respectiv D = f( H_D ) (152)

Īn ipotezele de lucru prezentate, apar 2 N + 5 variabile de timp ale coloanei: x₁, x₂, .x_N, x_D, x_w, y₁.y_N, y_w, V, V', L'. Acestea se calculeaza din cele N+2 ecuatii de bilant al componentului volatil pe talere, īn rezervorul de distilat si īn blaz, la care se adauga relatiile de tip Fenske (137), īn numar de N+1 (din care se calculeaza concentratiile īn faza de vapori y₁, y₂.y_N, y_W īn functie de concentratiile corespunzatoare īn faza lichida) si respectiv relatiile īntre debite, (147) si (148).

Īn ecuatiile de mai sus, V' se calculeaza functie de sarcina termica a refierbatorului, H_n rezulta din caracteristicile talerului, debitele W si D se calculeaza din relatiile (152) īn care H_W si H_D sunt fixate si pastrate constante prin sisteme de reglare, iar refluxul se fixeaza īn raport cu compozitia dorita a distilatului. Sunt presupuse de asemenea cunoscute, debitul de alimentare, compozitia si starea termica ale alimentarii.

Separarea prin rectificare a amestecurilor multicomponente

Pentru un amestec format din n_c componente, pe fiecare din talerele coloanei se pot scrie n_c-1 ecuatii de bilant masic independente, corespunzatoare la n_c-1 substante din amestec. Pentru talerul n al coloanei aceste ecuatii sunt de forma:

(153)

Relatiile īntre concentratiile din faza de vapori si cele din faza lichida se deduc de asemenea presupunānd stabilirea echilibrului termodinamic pe toate elementele coloanei. Pentru amestecurile avānd comportare ideala, se pot deduce relatii de tip Fenske plecānd de la legea Raoult, la fel ca si pentru amestecurile binare:

(154)

(155)

Din (154) si (155) rezulta:

(156)

Pentru amestecurile ce prezinta comportare neideala īn faza lichida si ideala īn faza de vapori relatiile de echilibru sunt de forma:

(157)

sau (158)

Din (153) si (158) rezulta pentru talerul n:

, j=1, 2,.n_c-1 (159)

Din ecuatia (159) rezulta expresia constantei de timp a variatiei concentratiei componentului j pe talerul n:

(160)

Pentru amestecurile de substante cu volatilitatile foarte diferite, valorile constantelor de timp pot diferi mult de la o substanta la alta, ceea ce conduce adesea la probleme de stabilitate a integrarii numerice. O solutie simplificatoare aplicabila īn astfel de situatii este neglijarea constantelor de timp mici (corespunzatoare componentilor cu volatilitati ridicate). Ecuatiile de bilant (159) se particularizeaza pentru acesti componenti sub forma:

(161)

Ipoteza de echilibru termodinamic īntre fazele lichida si de vapori existente pe talerele coloanei nu este īn general acceptabila. O descriere mai apropiata de realitatea fizica este realizabila introducānd notiunea de eficienta a talerului sau, si mai exact, tinānd seama de cinetica transferului de masa interfazic (lichid - vapori).