GEOMETRIA SECTIUNII BAREI

1. MOMENTE DE INERTIE

1.1. DEFINITII

1.1.1. Moment de inertie AXIAL

Fie suprafata sectiunii (de arie A) si axa D cuprinsa în planul ei (fig.2.1.)

Momentul de inertie axial al suprafetei sectiunii în raport cu axa este definitiv de expresia

D = a²dA, (2.1.)

unde a reprezinta distantele de la elementele de arie dA (apartinând suprafata sectiunii) la axa D

fig.2.1.

1.1.2. Moment de inertie polar

Fie suprafata sectiunii (de arie A) si punctul 0 cuprins în planul ei (fig.2.2).

Momentul de inertie polar al suprafetei sectiunii în raport cu polul s este definit de expresia.

Io = r² dA (2.2)

unde r reprezinta distantele de la elementele de arie dA (apartinând suprafetei sectiunii) la polul 0.

Fig.2.2.

Observatie. Fata de orice sistem ortogonal de axe Oxy (cu originea în polul 0),

Ix + Iy = Io = const. (2.3)

caci x² + y² = 2² (fig.2.3)

fig.2.3.

1.1.2. Moment de inertie centrifugal

Fig.2.4.

Momentul de inertie centrifugal al suprafetei sectiunii în raport cu cele doua axe este definit de expresia:

Ixy = V_A xy dA,    (2.4.)

unde x si y reprezinta distantele de la elementele de arie dA la cele doua axe.

1.2.1. Momentul de inertie al unei sectiuni dreptunghiulare în raport cu o axa de simetrie

Fie o suprafata dreptunghiulara cu laturile b, h si axa x paralela cu latura b (fig. 2.5).

I_x =

Nota: în produsul de la numarator, la puterea întâi intervine dimensiunea laturii paralele cu axa

In mod similar, în raport cu axa y, paralela cu latura h,

I_y = (2.5)

fig.2.5.

1.2.1. Momentul de inertie al unei sectiuni circulare în raport cu un diametru

I_D = (2.6)

unde D este diametrul cercului

1.3. MOMENTE DE INERTIE IN RAPORT CU AXE PARALELE

Fie I_G momentul de inertie al unei suprafete de arie A în raport cu axa D_G ce trece prin centrul de greutate al suprafetei (axa centrala). Sa se determine momentul de inertie al aceleasi suprafete în raport cu axa D paralela cu axa D_G, la distanta d (fig.2.6).

V_Aa²d_A= V_A (a_G = d)² da;

I = V_Aa² _Gd_A + 2d V_A a_bd_A + d²V_Ad_A;

întrucât

V_A a_Gd_A = 0

(caci reprezinta momentul static al unei suprafete în raport cu s axa centrala),

I = I_G + Ad² (2.7)

epresie cunoscuta sub numele de formula lui Steiner

Momentul de inertie în raport cu o axa centrala are valoare minima (caci cantitatea Ad² este nula).

1.4. MOMENTE DE INERTIE IN RAPORT CU AXE CONCURENTE. MOMENTE PRINCIPALE DE INERTIE. AXE PRINCIPALE DE INERTIE.

In raport cu diferite axe trecând prin punctul 0 cuprins în planul suprafetei momentele de inertie au valori diferite.

Intrucât în raport cu doua axe perpendiculare (D₁ si D₂) suma momentelor de inertie este o constanta - conf. relatiei (2.3) stabilita anterior - daca I1 (în raport cu axa D) are valoare maxima, rezulta ca I2 (în raport cu axa D2) are valoare minima.

Momentele de inertie cu valori extreme, I₁ = I_max si I₂ = I _min, se numesc momente principale de inertie; cele doua axe perpendiculare între ele - în raport cu care momentele de inertie ating aceste valori se numesc axe principale de inertie. Când punctul 0 este centrul de greutate al suprafetei, momentele extreme se numesc momente centrale principale de inertie, iar axele - axe centrale principale de inertie.

Daca suprafata are o axa de simetrie, ea este axa centrala principala de inertie (fara demonstratie); perpendicular pe ea se afla, desigur, cea de-a doua axa principala (fig.2.7).

Fig.2.7

Pe baza relatiei de definitie (2.1) în care intervin distantele a, pentru anumite forme de sectiuni, la care suprafata este distribuita evident în lungul uneia din cele doua axe, se poate aprecia (fara calcul) ca în raport cu aceasta axa momentul de inertie este minim; este cazul sectiunilor b, c, d din fig.2.7.

La suprafetele pentru care I₁ = I₂ (adica I_max = I_min) toate momentele de inertie centrale sunt egale si toate axele centrale sunt axele principale de inertie; este cazul suprafetelor cu mai mult de doua axe de simetrie (suprafetele poligoanelor regulate, inclusiv cercul).

CALCULUL MOMENTELOR DE INERTIE LA SECTIUNI DE FORMA OARECARE

Fie o suprafata de arie A compusa din mai multe suprafate cu ariile A_I, A_II, A_III..

Integrala pe aria A, reprezentând expresia momentului de inertie se poate descompune în integrale pe ariile partiale AI, AII, AIII.., reprezentând momentele de inertie ale suprafetelor partiale:

I = V_A a²d_A = V_AI a²d_A + V _AII a²d_A + V_AIII a²d_A + ..

adica

I = I_I + I_II + I_III + .. (2.8)

Momentul de inertie al unei suprafete în raport cu o axa este egal cu suma momentelor de inertie al unor suprafete componente, în raport cu aceeasi axa.

Observatia serveste la calculul momentului de inertie al suprafetelor compuse din figuri geometrice regulate (de obicei dreptunghiuri), pentru care momentul de inertie este usor de calculat.

Cu notatiile din fig.2.8, unde G_I si G_II sunt centrale de greutate ale celor doua suprafete partiale de forma dreptunghiulara, în baza relatiilor (2.7), (2.5) si (2.8), momentul de inertie I al întregii suprafete în raport cu axa D este

I = I_I + I_II =

Fig.2.8

2. MODUL DE REZISTENTA

2.1. DEFINITIE

Modulul de rezistenta este o caracteristica geometrica a suprafetei sectiunii definita în raport cu una din cele doua axe principale centrale de inertie.

Modulul de rezistenta Wx în raport cu axa x are expresia.

Wx =

unde :

- Ix este momentul de inertie al suprafetei în raport cu axa x;

- Y_max este distanta, de-a lungul axei y (cea de-a doua axa principala de inertie) , de la axa x la extremitatile sectiunii (fig.2.9)

Daca axa x nu este axa de simetrie, se definesc doua valori ale modulului de rezistenta - W^I_x si W_x^II - corespunzatoare celor doua distante maxime. I^I_max si I^II _max.

2.2.1. Modulul de rezistenta al unei sectiuni dreptunghiulare

Fie o suprafata dreptunghiulara cu laturile b, h si axa x paralela cu latura b în baza relatiilor (2-9) si (2.5)

Wx =

Wx = (2.10)

2.2.2. Modulul de rezistenta al unei sectiuni circulare

In baza relatiilor (2.9) si (2.b), daca d este diametrul cercului,

W = ,

W = (2.11)

3. RAZA DE INERTIE (RAZA DE GIRATIE)

3.1. DEFINITIE

Rapa de inertie este o caracteristica geometrica a suprafetei sectiunii definita în raport cu una din cele doua axe principale de inertie.

Raza de inertie ix în raport cu axa x are expresia

ix ) , (2.12)

unde

- Ix este momentul de inertie al suprafetei în raport cu axa x,

- A este aria sectiunii

4. TABELE DE CARACTERISTICI GEOMETRICE

Urmatoarele tabele cuprind caracteristicile geometrice ale sectiunilor profilelor laminate I si U din otel si ale sectiunilor dreptunghiulare din lemn ecarisat, cu dimensiuni standardizate în România*.

LEMN ECARISAT

(dupa STAS 942-71)

*) In tabele, pentru axele principale de inertie ale sectiunii, s-au folosit notatiile y si z.