īntindere si compresiune

Sa se dimensioneze o tija cilindrica din otel, solicitata Ia īntindere cu o forta N = 2 tf, īn doua ipoteze:

a) rezistenta admisibila este σ_a = l 500 kgf/cm²;

b) se admite o alungire specifica maxima ε = 0,05% .

Rezolvare

Conform primei ipoteze, formula (1) da:

d = 1,30 cm.

Īn a doua ipoteza, din formula de dimensionare (2), se obtine

d = 1,5 cm.

Sa se calculeze alungirea barei de la problema precedenta, īn ambele ipoteze, daca lugimea ei initiala este l =21 m si sa se verifice efortul unitar care se produce īn bara dimensionata īn ipoteza a 626u2014g doua, neglijīnd greutatea proprie.

Rezolvare

La prima ipoteza, deformatia este data de formula:

Īn acest caz, efortul unitar este tocmai _a si rezulta

Īn ipoteza a doua se cunoaste s = 0,0005, iar deformatia este data de formula de mai sus:

l = ε·l = 0,0005 · 2 100 = l ,05 cm.

Pentru verificarea efortului unitar la a doua ipoteza, se aplica formula:

Se observa ca aceasta valoare este mai mica decīt rezistenta admisibila din prima ipoteza.

O bara de otel, de sectiune constanta si lungime l= 600 mm, se alungeste sub actiunea    unei forte cu 0,6 mm. Sa se calculeze marimea fortei, stiind ca volumul barei este de 360 cm³.

Rezolvare

Formula care da alungirea se poate scrie:

de unde rezulta

O teava de otel, de diametru exterior D = 74 mm, diametru interior d = 68 mm si lungime l = 8 cm, este īntinsa cu o forta N = 6500 kgf. Sa se afle efortul unitar si alungirea tevii neglijānd greutatea proprie.

Rezolvare

5. O corniera cu aripi egale 100x100x10 STAS 424-66 este supusa unei forte de īntindere N = 25 tf, sub efectul careia selungeste cu 5 mm. Care a fost lungimea initiala a barei?

Se gaseste aria sectinii A = 19,2 cm². Din formula urmatoare se afla lungimea barei:

Sa se determine alungirea totala a unei bare de otel de diame­tru d = 30 mm si lungime 1= 900 mm, supusa sistemului de forte din figura 1, īn care Q = 5 000 kgf si P = 2 400 kgf

Rezolvare

 

Sa se dimensioneze o tija cilindrica de otel, lunga de 1000 m, īntinsa cu o forta de 2 tf, daca _a = 1000 kgf/cm², tinānd seama de greutatea proprie. Sa se calculeze deplasarea capatului liber al tijei. Sa se determine lungimea de rupere a materialului sub greutatea proprie, daca rezistenta de rupere este _r = 4000 kgf/cm².

Rezolvare

Se dimensioneaza bara cu ajutorul formulei:

Greutatea specifica a otelului este 7,85 kgf/dm³, ceea ce īn formula de dimensionare devine . Rezulta diametrul

D = 3,44 cm.

Greutatea totala a barei este

Deplasarea totala a capatului liber este data de relatia de mai jos:

Lungimea la care acest material s-ar rupe sub actiunea proprie, independent de sectiunea sa, este:

Sa se dimensioneze o tija verticala de otel, de lungime l = 1000 m, cu s_a = 1500 kgf/cm², avānd de suportat o forta de īntindere P = 1 tf aplicata īn capat, īn doua ipoteze: a) se face de sectiune constanta; b) se face din patru portiuni de lungimi egale, ca īn figura 2. Sa se compare greutatile barei īn cele doua alternative.

Rezolvare

Īn prima varianta, sectiunea se afla cu relatia:

Īn a doua varianta, se aplica succesiv relatia de mai jos. Pe intervalul cel mai de jos al barei, se obtine

Greutatea primei portiuni de bara este:

Pentru a doua portiune, dimensionarea se face adaugānd pe G₁ la forta exterioara p

G₂ = g·A₂ ·l₂ = 7,85 x 10^-3 x 0,88 x 25000 = 173 kgf

Procedānd pe aceeasi cale, se afla:

A₃ = 1,01 cm² ; G₃ = 197 kgf; A₄ = 1,16 cm² ; G₄ = 228 kgf

Greutatea totala a barei, īn a doua varianta, este:

G = G₁ + G₂ + G₃ + G₄ = 749 kgf

Īn prima varianta, greutatea este:

G = g · A·l = 7,85 x 10^-3 x 1,40 x 100000 = 1100 kgf.

Se observa ca īn varianta a doua se foloseste numai 68 % din materialul necesar īn prima varianta. Īn calculele facute nu s-a tinut seama de faptul ca dimensiunile obtinute sufera unele modificari, īn functie de dimensiunile standardizate de fabricatie.

Se cere:

1) Sa se determine sectiunea de otel, luānd si s_aOL = 1200 kgf/cm²

Sa se determine efortul unitar efectiv īn cupru.

Rezolvare

Se folosesc formulele urmatoare:

Īntre platourile unei prese (figura 3) se comprima un cilindru de cupru de sectiune A_Cu , asezat īn interiorul unui inel de otel de sectiune A_OL . Ambele piese au aceeasi lungime. Se cer fractiunile din forta N cu care se īncarca cele doua materiale si eforturile unitare care se produc īn ele. Se neglijeaza deformatiile transversale. Aplicatie numerica:

N = 20 tf , A_Cu - 10 cm² , A_OL = 15 cm² ,

Rezolvare

Scurtarile ambelor materiale, din cauza apropierii platourilor presei, sunt egale. Se aplica formulele:

N_Cu = s_CuA_Cu = 524 x 10 = 5240 kgf

N_OL = s_OLA_OL = 984 x 15 = 14760 kgf

N = N_Cu + N_OL = 5240 + 14760 = 20000 kgf

11. Sa se dimensioneze bara din figura 4 si sa se calculeze deformatia totala daca s_a = 150 N/mm² , E = 21 · 10⁴ N/mm².

Rezolvare

Se traseaza diagrama de forte axiale si se calculeaza diametrele folosind relatia. Astfel,

Figura 5

Se adopta d₁ = 30 mm; d₂ = 50 mm; d₃ = 40 mm. Deformatia totala a barei este

Sa se verifice bara din figura 6 si sa se calculeze deformatia totala tinānd seama si de greutatea proprie. Se dau _a = 100 N/mm², E = 21 · 10⁴ N/mm², g = 7,8 · 10^-5 N/mm³.

Rezolvare

Forta axiala si tensiunea īn sectiunea definita de x este:

N = P + Ag·x ;

astfel ca:

Deformatia totala este

Figura 6

Sa se calculeze sarcina capabila si deplasarea sectiunii 1 la bara din figura 7. Se dau: _a = 150 N/mm² , E = 21 · 10⁴ N/mm².

Rezolvare

Din conditiile de rezistenta ale celor doua segmente de bara, rezulta:

P′ = A₁· _a = 60000 N;

P′′ =

Sarcina capabila este P = P′ = 60 kN. Sectiunea 1 se deplaseaza cu :

Figura 7

14. Sa se traseze diagrama de variatie a tensiunilor īn lungul barei din figura 8 si sa se calculeze deplasarea sectiunii 1. Bara are modulul de elasticitate E.

Rezolvare

Figura 8

Sa se traseze diagrama de forte axiale la bara din figura 9, daca E = 2 · 10⁴ N/mm².

Rezolvare

Īn reazeme, ca urmare a deformarii barei iau nastere reactiunile H_A si H_B.

Ecuatia de echilibru static (S F_x = 0) si conditia de deformatie (SDl = s) sunt:

H_A - P + H_B = 0

Din relatiile de mai sus rezulta:

H_B = 33 kN

Avānd determinate reactiunile se traseaza diagrama de forte axiale.

Sa se determine tensiunile din barele 1 si 2 ale sistemului din figura 10.

Se da P/A = 160 N/mm²

Rezolvare

Īn reazeme apar reactiunile N₁ , N₂ , V si H. Scriind ecuatia de momente īn raport cu O si relatia geometrica dintre deformatii se obtine:

5N₁ - 4P + 3N₂ cosα = 0

rezultānd:   

17. Sa se determine pozitia centrului de greutate, tensiunile din elemente si deformatiile barei din figura 11. Se da E_OL = 3E_Al = 21 · 10⁴ N/mm².

Rezolvare

Modulul de rigiditate la īntindere si coordonatele centrului de greutate sunt:

;

Figura 11

Tensiunile din elementele de bare au valorile:

iar deformatia (lungirea) este:

Sa se calculeze tensiunile din elementele sistemului din fig. 8. Se da:

E_OL = 1,15 · E_Cu = 21 10⁴ N/mm² .

Rezolvare:

Modulele de rigiditate ale barei sunt:

Sistemul este static nedeterminat.

Figura 8

Ecuatia de echilibru static si conditia de deformatie sunt:

Tensiunile din bare au valorile:

19. Sa se determine tensiunile din barele sistemului din fīg. 9, daca temperatura creste cu Dt = 74 C Se dau: l₁ = 1,4 l₂ = 0,7 m; A = 0,8 A₂ ; E₁ = 1,5 E₂ = 2,1 10⁴ N/mm²; a a 10^-6 °C^-1 ; s = 0,58 mm .

Rezolvare:

rezulta ,N = 105 A₁.

Tensiunile din bare sunt:   

= 105 N/mm²; 84 N/mm².

Figura 9

20. Un fir de cupru de diametru d = 4 mm (fig. 10) este īntins īntre doi stālpi la distanta l = 40 m, la temperatura t₀ =15 C cu tensiunea s =70 N/mm. Sa se determine tensiunile din fir pentru urmatoarele cazuri: a) la temperatura t₁ = 5 C, cu polei de grosime a = 8 mm si vānt avānd presiunea p _v = 3 10⁴ N/mm ² ; b) la temperatura t₂ = 50 ° C fara vānt. Se dau: E= 14 10⁴ N/mm², a = 17 10⁶ C^-1, 10^-5 N/mm³, 10^-5 N/mm³.

Figura 10

Rezolvare:

Greutatea specifica a firului la temperatura t₁ este:

Din ecuatia:

sau rezulta

b) La temperatura t₂, , rezultānd ecuatia:

a carei solutie este: