MATERIALE FEROELECTRICE

MATERIALE FEROELECTRICE

Scopul lucrarii

Scopul acestei lucrari este determinarea dependentei de frecventa si temperatura a permitivitatii complexe relative si studiul efectului piezoelectric pentru materiale ceramice feroelectrice.

I. Introducere teoretica

Materialele cu polarizare spontana s 929q165j unt materiale care se caracterizeaza prin existenta unui moment electric nenul al unitatii de volum în absenta unui câmp electric exterior. Celula elementara a unui asemenea material prezinta moment dipolar spontan printr-unul din urmatoarele mecanisme:

o axa de rotatie de ordinul care contine dreapta suport a vectorului

Figura 1. Materiale feroelectrice de speta I si II.

Principalele caracteristici ale materialelor feroelectrice sunt dependenta de tip histerezis a inductiei electrice de intensitatea câmpului electric aplicat si dependenta permitivitatii complexe relative de intensitatea câmpului electric, de frecventa si temperatura.

Materialele feroelectrice care prezinta la nivel macroscopic polarizatie remanenta nenula se caracterizeaza prin efect piezoelectric direct si invers, care consta în interactiunea dintre marimile electrice (intensitatea câmpului electric si inductia electrica ) si marimile mecanice (tensiunea mecanica si deformatia mecanica relativa ). În domeniul liniar, de semnal mic, în regim armonic (când marimile cauza mecanice si electrice variaza sinusoidal în timp) efectul piezoelectric poate fi descris cantitativ prin urmatorul sistem de ecuatii:

[D]=e e^T][E]+[d][T]    ₍₁₎

[S]=[d_t][E]+[s^E][T]

unde

[E] este reprezentarea în complex simplificat a vectorului câmp electric;

[T] - reprezentarea în complex simplificat a tensorului tensiune mecanica;

[D] - reprezentarea în complex simplificat a vectorului inductie electrica;

[S] - reprezentarea în complex simplificat a tensorului deformatie elastica.

Factorii de proportionalitate sunt parametri de material.

Proprietatile elastice ale unui material anizotrop sunt, deci, descrise de un tensor de ordinul doi în spatiul hexadimensional având 36 de componente:

₍₂₎

Primul indice reprezinta directia deformatiei elastice, iar cel de-al doilea directia deformatiei elastice relative.

Din relatia de definitie a coeficientului de complianta rezulta ca s_ij este în general o marime complexa, dat fiind faptul ca S_n nu este în faza cu T_m :

s_mn = s'_mn - js''_mn (3)

Componenta imaginara s''_mn caracterizeaza pierderile de putere activa de natura elastica datorate frecarilor interne ale materialului. Practic aceste pierderi sunt evaluate cu ajutorul factorului de calitate mecanic Q_m definit de relatia:

(4)

Proprietatile electrice ale materialelor anizotrope sunt caracterizate de coeficientul tensorial de permitivitate dielectrica absoluta care este un tensor de ordinul doi în spatiul tridimensional, având 9 componente:

(5)

Primul indice reprezinta directia câmpului electric, iar al doilea indica directia inductiei electrice.

În general coeficientii e_ij sunt marimi complexe, deoarece inductia electrica D_i produsa de câmpul electric E_j este defazata fata de acesta datorita pierderilor de energie de natura dielectrica:

e_ij e'_ij - je''_ij     (6)

Factorul de calitate electric Q_e care caracterizeaza acest tip de pierderi este definit cu ajutorul urmatoarei formule:

(7)

În sfârsit, coeficientul piezoelectric care caracterizeaza proprietatile piezoelectrice ale materialelor anizotrope contine 18 elemente si are urmatoarea configuratie matriceala:

(8)

Un parametru important care caracterizeaza sintetic materialele din punct de vedere piezoelectric este coeficientul de cuplaj piezoelectric K. Patratul sau reprezinta fractiunea din energia electrica, respectiv mecanica de excitare care se transforma în energie mecanica, respectiv electrica, fiind înmagazinata în traductorul piezoelectric.

Lucrarea de fata îsi propune determinarea parametrilor de material caracteristici ceramicelor piezoelectrice de tip PZT care contin titanati si zirconati de plumb în diferite concentratii si se obtin prin sinterizare. Din punct de vedere al proprietatilor electroelastice, ceramicele de tip PZT prezinta o simetrie de tip m, determinata de existenta unei axe polare pe directia x₃, fiind caracterizate de urmatoarele configuratii ale matricilor de material:

⁽⁹⁾

II. Metoda de masura

1. Determinarea dependentei de frecventa a permitivitatii complexe relative

Se utilizeaza plachete din material feroelectric ceramic de tip PZT (solutie solida de titanat-zirconat de plumb) de lungime l, latime a si grosime b, având armaturile depuse pe suprafetele mari (a l). Schema electrica echivalenta a probei este compusa dintr-un condensator plan si un rezistor R₀ conform Figurii 2:

Figura 2. Schema echivalenta a unei probe de material ceramic de tip PZT.

Se masoara prin metoda Q-metrului prin metoda compensatiei la diferite frecvente folosind inductante auxiliare adecvate capacitatea si factorul de calitate Q_e ale probei la temperatura ambianta.

Se determina permitivitatea relativa reala e', permitivitatea relativa imaginara e'' si tangenta unghiului de pierderi tgd_e cu relatiile:

(10)

unde e este permitivitatea electrica absoluta a vidului:e 10^-12 F/m

2. Determinarea dependentei de temperatura a permitivitatii complexe relative

Se determina variatia cu temperatura a capacitatii si a conductantei G₀ = 1/R₀ cu ajutorul montajului din Figura 3.

Figura 3. Montajul folosit pentru determinarea dependentei de temperatura a permitivitatii.

Cuptorul (1) este încalzit cu o rezistenta (3) aflata în peretii cuptorului. Rezistenta de încalzire este alimentata de la retea prin intermediul unui autotransformator (6). Temperatura din interiorul cuptorului se determina cu ajutorul termometru (5). Cuptorul gliseaza pe sina astfel încât sa poata fi introdusa proba (2) care este fixata cu ajutorul a doua tije de ceramica refractara care apasa elastic asupra probei. Prin aceste tije trec doua fire de conexiune, fiecare fiind în contact cu câte o armatura a probei. Cele doua fire sunt conectate la o punte RLC care masoara elementele si G₀ ale probei.

Se determina variatia lui si R₀ în intervalul de temperaturi 20 C.

Se calculeaza parametrii de material cu urmatoarele relatii:

(11)

unde w este frecventa unghiulara a semnalului de lucru al puntii: w =10⁴ rad/s.

Temperatura Curie corespunde maximului curbei e'(T), reprezentând temperatura la care dispare ordinea dielectrica în material.

Conform teoriei fenomenologice a feroelectricitatii pentru materialele feroelectrice cu tranzitie de faza de ordinul II dependenta permitivitatii relative reale de temperatura este de tipul:

pentru T<T_C (12)

si

pentru T>T_C (13)

unde A₀ este o constanta fenomenologica.

Conform acestei teorii graficul arata ca în Figura 4, pantele celor doua drepte ale lui pentru T<T_C si T>T_C având raportul:

(14)

Figura 4. Dependenta pentru materiale feroelectrice.

3. Determinarea parametrilor de material elastici si piezoelectrici

Metoda de determinare a proprietatilor materialelor piezoelectrice este o metoda dinamica de rezonanta. Ea se bazeaza pe faptul ca prin aplicarea unui câmp electric sinusoidal de frecventa f punctele materiale ale unei probe piezoelectrice vor oscila elastic fortat cu aceeasi frecventa f. Amplitudinea oscilatiilor elastice este maxima daca nu exista forte elastice externe care sa le atenueze. Unda elastica determinata de oscilatiile elastice se propaga fie pe o directie paralela cu directia de oscilatie, în acest caz unda elastica numindu-se unda longitudinala, fie pe o directie perpendiculara, corespunzator obtinându-se o unda elastica transversala.

Lungimea de unda l care caracterizeaza propagarea undei elastice este data de relatia:

unde v_f este viteza de propagare a undei elastice în materialul piezoelectric, iar f frecventa oscilatiei elastice.

În cazul când dimensiunea probei pe directia de propagare a undei elastice este un multiplu al jumatatii lungimii de unda, în proba piezoelectrica se stabileste un regim de unda elastica stationara, determinând fenomenul de rezonanta elastica. În acest caz oscilatiile sunt maxime, singurul fenomen care limiteaza amplitudinea lor fiind frecarea interna. Deci, rezonatorul piezoelectric este un dispozitiv electronic care functioneaza la frecventa electrica corespunzatoare regimului de unda stationara. El este construit dintr-o structura de forma si dimensiuni oarecare, confectionata din material piezoelectric si doua armaturi metalice pe care aplicând o tensiune electrica de frecventa dorita se induce în structura un câmp electric corespunzator de comanda care va genera oscilatii si unde elastice. Modul fundamental de vibratie la rezonanta este caracterizat de frecventa f_s data de urmatoarea relatie:

(15)

Indiferent de forma constructiva si tipul de material piezoelectric, schema electrica echivalenta, general valabila, a unui rezonator piezoelectric în regiunea rezonantei fundamentale este prezentata în Figura 5.

Figura 5. Schema echivalenta a unui rezonator piezoelectric.

Elementele din schema echivalenta au urmatoarele semnificatii:

este capacitatea electrica prezentata de rezonator daca se împiedica, printr-o metoda oarecare (de exemplu încastrare), oscilatia elastica;

R₀ este rezistenta echivalenta a pierderilor de putere activa de natura dielectrica;

reactanta L-C modeleaza electric rezonanta elastica; inductanta L este determinata de masa rezonatorului, iar C de coeficientul de elasticitate;

R este o rezistenta care atenueaza oscilatia electrica a circuitului serie L-C, fiind determinata de pierderile de putere activa de natura elastica, datorate vâscozitatii interne a materialului piezoelectric.

Circuitul serie R-L-C este activ numai în apropierea rezonantei elastice, în orice alt domeniu de frecventa el fiind pasiv, prezentând o impedanta mult mai mare decât circuitul derivatie -R_e: pentru frecvente mult mai mici decât f_s impedanta mare este determinata de C, iar pentru frecvente superioare lui f_s impedanta mare este determinata de L. Dependenta admitantei de intrare a unui rezonator piezoelectric de frecventa electrica este caracterizata de un grup de sase frecvente cu urmatoarele semnificatii:

f_s - frecventa de rezonanta serie a circuitului L-C;

f_p - frecventa de rezonanta derivatie a circuitului (L-C)-;

f_m - frecventa la care modulul admitantei este maxim;

f_n - frecventa la care modulul admitantei este minim;

f_r si f_a - frecventele la care susceptanta este nula.

În cazul rezonatoarelor piezoelectrice cu pierderi de natura dielectrica si elastica neglijabile cele trei perechi de frecvente coincid:

f_m = f_n = f_s

f_r = f_a = f_p

La rezonatoarele piezoelectrice realizate din materiale ceramice piezoelectrice cu coeficient de cuplaj piezoelectric mare si cu factori de calitate electrici si elastici de valori medii, desi aceste frecvente sunt foarte apropiate, nu mai pot fi neglijate pierderile elastice care separa frecventele f_s si f_p de f_n si f_m astfel:

(16)

unde Q_m este factorul de calitate elastic.

Diferenta între aceste doua frecvente este mai mica de 1% daca este îndeplinita conditia urmatoare:

(17)

Caracteristica de frecventa a modulului admitantei de intrare a unui rezonator piezoelectric ceramic este prezentata în Figura 6.

Figura 6. Caracteristica de frecventa a modulului admitantei de intrare a unui rezonator piezoelectric ceramic

Aceasta caracteristica poate fi obtinuta cu ajutorul montajului din Figura 7, unde:

O - generator sinusoidal de frecventa variabila;

F - frecventmetru numeric;

V - voltmetru numeric;

R_Z - rezonator piezoelectric;

Figura 7. Montaj experimental pentru determinarea caracteristicii de frecventa pentru un rezonator piezoelectric ceramic

Utilizând acest montaj tensiunea citita pe voltmetrul electronic este proportionala cu modulul admitantei rezonatorului piezoelectric.

Capacitatea electrica prezentata de rezonatorul piezoelectric la frecventa f<<f_s este , inductanta L contribuind cu o reactanta neglijabila.

Capacitatea electrica prezentata de rezonator la frecventa f>>f_s este. Indicele superior T exprima faptul ca la f<<f_s exista oscilatii elastice, iar tensiunile elastice sunt nule (T = 0), iar S exprima faptul ca la f>>f_s oscilatiile elastice sunt complet suprimate (S = 0), având o situatie echivalenta cu încastrarea completa a rezonatorului. Acest fapt se explica prin inertia materialului datorita careia punctele materiale nu mai pot urmari comanda electrica la aceste frecvente.

Ţinând seama de faptul ca rezonatoarele au o forma de disc cu raza a si grosimea b, conform Figurii 8, rezulta pentru coeficientii de permitivitate dielectrica absoluta si relativa urmatoarele expresii:

; ; (18)

  ; ; (19)

unde e este permitivitatea absoluta a vidului.

Elementele schemei echivalente se pot determina folosind urmatoarele relatii:

; ; (20)

unde Q_e este factorul de calitate electric al rezonatorului determinat la o frecventa f₀<<f_m.

Rezonatoarele piezoelectrice ceramice sub forma de disc vibreaza sub actiunea unei tensiuni electrice aplicate pe armaturi (care genereaza câmpul electric E₃) pe cele doua directii principale ale sale:

de-a lungul razei discului, deci perpendicular pe axa x₃ si cu simetrie cilindrica;

de-a lungul axei x₃ (modul longitudinal).

Ambele moduri sunt caracterizate de un fenomen de rezonanta elastica, conform Figurii 6.

Fie si frecventele caracteristice modului de vibratie radial si modulul impedantei de intrare a rezonatorului la frecventa .

Coeficientul de cuplaj piezoelectric planar caracteristic modului de vibratie radial K_P poate fi determinat din urmatoarea relatie:

(21)

Coeficientul de cuplaj transversal K₃₁ se obtine astfel:

(22)

unde s^E este coeficientul Poisson la câmp electric constant.

Coeficientii de complianta pot fi determinati cu urmatoarele relatii:

(23)

unde r este densitatea materialului piezoelectric:

; .

Coeficientii piezoelectrici corespunzatori modului de vibratie transversal rezulta din formulele urmatoare:

; ; (24)

Din caracteristica modului de vibratie longitudinal se obtin , si . Coeficientul de cuplaj piezoelectric corespunzator K₃₃ se obtine astfel:

(25)

Cu aceste elemente se pot determina urmatoarele elemente ale tensorului de complianta:

unde:

(26)

; (27)

1. Determinarea dependentei de frecventa a permitivitatii complexe relative.

Se foloseste o placheta de PZT cu grosimea b = 3 mm care se introduce într-un dispozitiv de proba cu aria armaturilor A = 80 mm². Masuratorile se fac cu ajutorul Q-metrului. Pentru fiecare frecventa se foloseste o bobina auxiliara (vezi Tabelul 1) pentru a fi posibila realizarea acordului aparatului. Se executa doua determinari: prima - fara proba, notându-se capacitatea de acord interna a Q-metrului C_v0 si factorul de calitate Q₀; a doua - utilizând proba din PZT, refacându-se acordul si notându-se C_v1 si Q₁. Se completeaza Tabelul 1 cu valorile masurate, iar apoi se calculeaza si Q_e folosind urmatoarele relatii:

= C_v0 - C_v1

Ultima sectiune a Tabelului 1 se completeaza folosind relatiile (10).

Tabelul 1

Laux	L1	L2	L3	L5	L6	L7	L9	L10	L11	L12
f [MHz]
Cv0 [pF]
Q0
Cv1 [pF]
Q1
[pF]
Qe
e
e"
tgde

Se traseaza diagramele e'(f), e''(f), tgd_e(f) si diagrama Cole-Cole e"(e

2. Determinarea dependentei de temperatura a permitivitatii complexe relative.

Proba de material feroelectric are grosimea b=3 mm si aria armaturilor A=80 mm².

Se face montajul din Figura 3 si se efectueaza o determinare la temperatura ambianta.

Se regleaza autotransformatorul pe pozitia de 100 V astfel încât cuptorul sa-si modifice lent temperatura si se fac citiri din 5 C în 5 C pâna la temperatura de 250 C (pâna la o temperatura cu aproximativ 50 C mai mare decât T_C). La fiecare valoare a temperaturii se masoara si R₀. Valorile acestora se trec în Tabelul 2.

ambianta

[nF]

R₀ [KW

e

e"

tgd_e